Modélisation par morceaux en multiples fonctions : dette fédérale

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Aperçu

Les élèves participant à cette leçon extrairont des données sur la dette fédérale canadienne à partir de la base de données E-STAT de Statistique Canada. La classe fera ensemble l'analyse des données sur la dette fédérale de 1867 à 2007, puis leur modélisation à l'aide d'une fonction mathématique. Ensuite, les élèves analyseront, en petits groupes, des données tirées de différentes périodes. En appliquant des modèles de fonction à différentes périodes, les élèves constateront qu'il est préférable de modéliser la dette fédérale canadienne en utilisant plusieurs types de fonctions. Les élèves devront justifier leur choix de type de fonction pour la période attribuée au moyen de tables de différences et par l'analyse des valeurs r² et des résidus.

Collaboratrice : Jennifer Hall, Statistique Canada

Objectifs

• Recueillir des données secondaires qui peuvent être représentées au moyen d'une séquence combinée de fonctions linéaires, quadratiques et exponentielles au fil des ans;
• Déterminer, par la recherche, les rapports entre les diagrammes et les équations des fonctions linéaires, quadratiques et exponentielles;
• Utiliser des tables de différences et des valeurs r² pour cerner les types d'équations qui sont les plus représentatifs des données;
• Expliquer le rôle de variables particulières dans les fonctions linéaires, quadratiques et exponentielles;
• Ajuster les équations des fonctions linéaires, quadratiques et exponentielles à un nuage de points au moyen d'un processus informel et en mettant à profit la technologie;
• Trouver les raisons sociales, politiques et économiques qui pourraient expliquer les types de modèle associés à différentes époques.

Niveaux d'études et matières suggérées

12^e année (première année de cégep)
Mathématiques (fonctions avancées)

Durée

De deux à trois cours de 75 minutes

Matériel

• Ordinateurs ayant un accès à Internet et un logiciel permettant d'estimer des modèles p. ex., Fathom, Excel,...)
• Projecteur d'ordinateur
• Instructions de l'élève
• Feuille de travail de l'élève
• Feuille de travail de l'élève – Version de l'enseignant
• Diagramme des années 1867 à 2008

Connaissances préalables

• Fonctions linéaires (équation définie par l'intersection entre l'axe et la pente) : y = mx + b
• Fonctions quadratiques de forme vertex : y = a (x – h)² + k
• Fonctions exponentielles de forme y = ca^x
• Tables de différences et résidus
• Coefficient de détermination, r²
• Connaissance de base d'E-STAT et d'un logiciel dynamique de statistique (p. ex., Fathom)

Enseignement en classe

1. Au besoin, revoir les propriétés importantes des fonctions linéaires, quadratiques et exponentielles, ainsi que les notions relatives aux tables de différences, aux résidus et au coefficient de détermination.
2. Amorcer la leçon en montrant, à l'aide d'un projecteur, la présentation de Statistique Canada (Flash) intitulée « Les événements qui ont marqué la vie des centenaires ». Cette présentation souligne les principaux événements qui ont jalonné l'histoire canadienne de 1901 à 2001. Vous y trouverez cette présentation, ainsi qu'une version textuelle de son contenu.
3. Tenir une brève discussion en classe au sujet de la dette fédérale canadienne pour évaluer les connaissances préalables des élèves et partager l'information à ce sujet. Inviter les élèves à suggérer des hypothèses sur les effets qu'ont pu avoir sur la dette fédérale certains grands événements de l'histoire relatés dans la présentation.
4. À l'aide d'un projecteur, présenter le diagramme des données d'E-STAT se rapportant à la dette fédérale de 1867 à 2007. Demander aux élèves de déterminer, par inspection visuelle, le type de fonction qui correspond de plus près aux données. (Réponse : la fonction exponentielle.)
5. Importer les données relatives à la dette fédérale dans un logiciel en suivant les étapes indiquées à la section « Instructions de l'élève ». Montrer la marche à suivre pour ajuster une fonction exponentielle aux données, en modifiant les valeurs des variables. Discuter avec les élèves des moyens qu'ils utiliseraient pour déterminer quel type de fonction serait le mieux adapté à la pente (Réponses : tables de différences, résidus, valeurs r²).
6. Discuter avec les élèves comment il serait possible, à l'aide de différentes fonctions mathématiques, de mieux interpréter ces données si on les scindait en plusieurs périodes. De nouveau, demander aux élèves de cerner, par inspection visuelle, la fonction qui correspond de plus près aux données pour différentes périodes. (Les réponses peuvent varier – p. ex.,  fonction linéaire jusqu'en 1945, fonction exponentielle jusqu'à la fin des années 1990 et fonction linéaire par la suite.)
7. Diviser la classe en équipes de deux ou plus, et demander aux élèves de remplir une feuille de travail pour chacune des 10 périodes suivantes :
   1. De 1867 à 1883 [Fonction linéaire]
   2. De 1884 à 1908 [Fonction linéaire]
   3. De 1909 à 1920 [Fonction quadratique]
   4. De 1921 à 1930 [Fonction linéaire]
   5. De 1931 à 1937 [Fonction linéaire]
   6. De 1938 à 1946 [Fonction exponentielle, R²=0.97. fonction quadratique, R²=0.998]
   7. De 1947 à 1974 [Fonction quadratique]
   8. De 1975 à 1988 [les fonctions exponentielle et quadratique ont le même R²]
   9. De 1989 à 1997 [Fonction linéaire]
   10. De 1998 à 2008 [Fonction quadratique]
   La liste ci-dessus indique entre crochets, après la période, le type de fonction correspondant de plus près aux données relatives à cette période. L'enseignant peut diviser la classe en dix groupes, (un pour chaque période) ou demander à un groupe d'analyser plusieurs périodes pour s'assurer que les élèves soient capables de modéliser des données à partir de plusieurs types de fonctions. Nota : À la question 9 de la feuille de travail, les groupes auxquels auront été attribuée la première et la dernière période (de 1867 à 1883 et de 1998 à 2008) n'établiront des comparaisons qu'avec un seul autre groupe.
8. Lorsque chaque groupe a terminé son analyse, l'enseignant peut présenter l'ensemble des diagrammes (p. ex., en les collant au tableau) afin d'illustrer la répartition des données selon plusieurs types de fonctions. Demander aux élèves de vérifier si certaines tendances communes se dégagent de diverses périodes, et de discuter des événements historiques s'étant produits durant ces périodes (p. ex., Première Guerre mondiale, Deuxième Guerre mondiale et Crise de 1929).

Enrichissement

Demander aux élèves de répéter ce processus en l'appliquant à la dette de leur province et en se servant du tableau 385-0014, qui contient des données provinciales à partir de 1970. (Nota : Dans la page « Choix des sous-ensembles », sous « Secteurs d'administration », sélectionner « Administrations publiques générales provinciales et territoriales » et sous « Bilan », sélectionner « Dette financière nette ».)

Demander aux élèves d'effectuer une recherche sur les facteurs économiques qui influent sur la dette fédérale, comme le rôle de la Banque du Canada. Les références ci-dessous constituent un bon point de départ :

• Foire aux questions au sujet de la Banque du Canada
• Modèle canadien de gestion de la dette

Mettre les élèves au défi de trouver d'autres données chronologiques pouvant être modélisées au moyen d'une combinaison de fonctions, à partir de la base de données CANSIM dans E-STAT  (qui contient plus de 38 millions de séries chronologiques). Les élèves peuvent importer ces séries dans un logiciel de statistique et essayer d'effectuer une représentation graphique des fonctions qui correspondent aux données. Nota : Vous trouverez plusieurs exemples de fonctions individuelles et combinées à La modélisation des fonctions en utilisant des données secondaires d'E-STAT. Si vos élèves trouvent d'autres sujets intéressants à modéliser, prière de nous envoyer une note. Nous prendrons plaisir à voir ces sujets et les ajouterons peut-être à notre liste d'exemples.

Évaluation

Cette activité permet à l'enseignant de procéder à une évaluation informelle des habitudes de travail des élèves et de leurs connaissances informatiques. L'enseignant peut se livrer à une évaluation officielle en corrigeant, au moyen du système de correction de son choix, la feuille de travail de l'élève. Nous fournissons un échantillon d'une feuille de travail remplie pour une période spécifique. Nous offrons également des exemples de diagrammes, illustrant les fonctions qui représentent approximativement les données.

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