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Calcul de la moyenne

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On calcule la moyenne d'une variable numérique en additionnant les valeurs de toutes les observations incluses dans un ensemble de données, puis en divisant cette somme par le nombre d'observations qui font partie de l'ensemble. Ce calcul permet d'obtenir la valeur moyenne de toutes les données.

Moyenne = Somme de toutes les valeurs d'observation ÷ nombre d'observations

Il y a deux types de variables : discrètes et continues. On définit les variables discrètes comme des variables qui ne peuvent être divisées intérieurement. Un joueur de hockey, par exemple, peut compter 1 ou 2 buts, mais jamais 1 but et demi. On peut cependant diviser des variables continues en unités plus petites. Un élève peut avoir 11 ans, 7 mois et 3 jours, plutôt que simplement 11 ou 12 ans.

Il est important que vous compreniez la différence entre ces deux types de variables pour pouvoir calculer correctement la moyenne dans une situation donnée. Nous utilisons dans les exemples suivants des variables discrètes pour calculer la moyenne.


Exemple 1 – Tournoi de soccer au Mont Rival I

Le Mont Rival organise un tournoi de soccer une fois par année. Au cours de la présente saison, le marqueur en tête de l'équipe hôte a compté 7, 5, 0, 7, 8, 5, 5, 4, 1 et 5 buts en dix parties. Quelle était sa moyenne de buts comptés?

Moyenne = somme de toutes les valeurs observées ÷ nombre d'observations
= (7 + 5 + 0 + 7 + 8 + 5 + 5 + 4 + 5 + 1) ÷ 10
= 47 ÷ 10
= 4,7

Donc, au cours d'un tournoi de 10 parties, le joueur a compté en moyenne 4,7 buts par partie. La moyenne de 4,7 n'est pas un nombre entier; elle n'a donc de signification que statistiquement. En réalité, il est impossible de compter 4,7 buts, même si on est un marqueur de premier plan.

Voici la notation mathématique pour calculer la moyenne d'une variable discrète :

ou
Sommation de valeurs
x ÷ n

x représente une valeur observée, n représente le nombre d'observations incluses dans l'ensemble de données,

Sommation de valeurs
x représente la somme de toutes les valeurs x observées,

Symbole mathématique de la moyenne
représente la valeur moyenne de x.

Exemple 2 – Accidents de la route

Le tableau qui suit indique le nombre de personnes décédées dans des accidents de la route durant une période de 10 ans. Durant cette période, quel a été le nombre moyen de personnes tuées annuellement sur les routes? Combien de personnes sont mortes en moyenne chaque jour dans des accidents de la route durant cette période?

Tableau 1. Nombre de décès dus aux accidents de la route
Année Décès
1
959
2
1 037
3
960
4
797
5
663
6
652
7
560
8
619
9
623
100
583

Vous le constaterez en utilisant la formule ci-dessous pour calculer la moyenne :

Moyenne =
Sommation de valeurs
x ÷ n

= (959 + 1 037 + 960 + 797 + 663 + 652 + 560 + 619 + 623 + 583) ÷ 10
= 7 453 ÷ 10
= 745,3

Le nombre de personnes tuées annuellement sur les routes s'établit à 745,3.

Pour calculer le taux quotidien moyen de décès attribuables à des accidents de la route, on divise le taux annuel moyen de décès par le nombre de jours dans une année (ici on n'a pas tenu compte des années bissextiles).

= 745,3 ÷ 365
= 2,0

Par conséquent, environ 2 personnes sont mortes en moyenne chaque jour dans des accidents de la route.

Tableaux de fréquences

Un tableau de fréquences indique le nombre d'observations à l'intérieur d'un ensemble de données. On peut l'utiliser aussi bien pour les variables groupées que les variables non groupées.

Par exemple, pour avoir un tableau de fréquences sur l'âge d'une personne dans un ensemble de données, vous pouvez produire un tableau qui comporte des variables (non groupées) relatives à l'âge exact ou des variables par groupe d'âge (variables groupées).

Une variable non groupée peut être considérée comme une variable groupée présentant un cas particulier (c.-à-d. un groupe). Vous pouvez calculer la moyenne de la variable discrète à l'aide du tableau de fréquences. Cette méthode permet d'avoir une approximation de la vraie moyenne d'une variable non groupée. Le degré d'exactitude de l'approximation dépend du degré d'égalité de la dispersion des valeurs observées à l'intérieur de chaque groupe.

Exemple 3 –Tournoi de soccer au Mont Rival II

Grouper des observations à l'intérieur de tableaux est utile lorsqu'on traite de grandes quantités de données. On peut présenter à l'intérieur d'un tableau de fréquences les chiffres (tirés de l'exemple ci-dessous) sur les buts comptés par le joueur en tête au tournoi de soccer :

Tableau 2. Fréquence des buts comptés par le joueur en tête au tournoi de soccer de Mont Rival
Nombre de buts (x) Fréquence (f) Nombre total de buts comptés (xf)
0
1
0
1
1
1
4
1
4
5
4
20
7
2
14
8
1
8
Total (
Symbole mathématique de sommation de valeurs
)
10
47

La notation mathématique change légèrement, parce que les observations sont groupées.

La moyenne d'une variable discrète à l'intérieur d'un tableau de fréquences se calcule comme suit :

Formule pour la calcul de la moyenne en utilisent un tableau de fréquence.
ou
Sommation de valeurs
xf ÷
Sommation de valeurs
f

  • x représente une valeur observée,
  • xf représente le résultat d'une valeur observée, multiplié par la fréquence,
  • xf représente la somme de toutes les valeurs xf,
  • f représente la somme de toutes les fréquences,
  • représente la valeur moyenne de x.

 

La moyenne des buts comptés par le joueur en tête se calcule comme suit :

Moyenne =
Sommation de valeurs
xf ÷
Sommation de valeurs
f

= (0 + 1 + 4 + 20 + 14 + 8) ÷ (1 + 1 + 1 + 4 + 2 + 1)
= 47 ÷ 10
= 4,7

Il s'agit d'une moyenne exacte, puisque la variable est non groupée. L'exemple qui suit montre ce qui se produit lorsqu'on utilise des variables groupées.

Exemple 4 – Tailles de 50 filles de 10e année

Le tableau qui suit montre les tailles de 50 filles de 10e année sélectionnées au hasard. Quelle est la taille moyenne des filles?

Déterminez le point milieu de chaque intervalle de classe avant de calculer la moyenne à partir d'un tableau de fréquences.

Tableau 3. Taille de 50 filles de 10e année
Taille (cm) Point milieu (x) Fréquence (f) Total des points milieux (xf)
150 –< 155
152,5
4
610,0
155 –< 160
157,5
7
1 102,5
160 –< 165
162,5
18
2 925,0
165 –< 170
167,5
11
1 842,5
170 –< 175
172,5
6
1 035,0
175 –< 180
177,5
4
710,0
-
-
50
8 225,0

Le calcul est le même que celui utilisé dans l'exemple ci-dessus sur le tournoi de soccer, sauf que xf représente maintenant le résultat du point milieu de l'intervalle, multiplié par la fréquence de ce dernier. Cette approximation est nécessaire puisque nous ne connaissons pas la taille exacte de chaque fille.

Par conséquent, nous devons traiter toutes les tailles consignées comme si elles représentaient le point milieu de leur intervalle respectif. Par exemple, comme l'intervalle 150 –< 155cm compte quatre filles, nous devons traiter chacune d'elles comme si elles mesuraient 152,5 cm. Comme il a été mentionné dans l'exemple sur le tournoi de soccer, l'exactitude de l'approximation dépendra de la mesure dans laquelle la taille de chacune des filles se rapprochera du point milieu de leur intervalle respectif.

Ainsi,

Moyenne =
Sommation de valeurs
xf ÷
Sommation de valeurs
f

= (610,0 + 1 102,5 + 2 925,0 + 1 842,5 + 1 035,0 + 710,0) ÷ (4 + 7 + 18 + 11 + 6 + 4)
= 8 225,0 ÷ 50
= 164,5 cm

La taille moyenne des 50 filles de 10e année est donc 164,5 cm.

Résumé

La moyenne sert à calculer d'autres statistiques (comme la variance) et n'existe pas pour des distributions de fréquences groupées qui sont ouvertes. Elle n'est souvent pas appropriée pour des distributions désaxées (ou déséquilibrées) comme de l'information salariale. (Voir Mesures de dispersion pour plus de renseignements sur la variance.)