La modélisation espace-état appliquée aux séries chronologiques de l’Enquête sur la population active des Pays-Bas : sélection de modèles et estimation de l’erreur quadratique moyenne
Section 3. Modes d’estimation EQM

D’ordinaire, on ajuste les modèles structurels linéaires de séries chronologiques ayant des composantes inobservées en appliquant le filtre de Kalman à l’espace-état une fois formé à partir de ces composantes. On peut voir dans Bollineni-Balabay, van den Brakel et Palm (2016b) quelle est la représentation en espace-état du modèle SCS pour l’EPA. Le vecteur d’état α t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCySdmaaBa aaleaacaWG0baabeaaaaa@365C@ contient les variables d’état définies à la section précédente, c’est-à-dire la tendance, la pente, les harmoniques saisonnières, le BRE, le bruit blanc de population et les erreurs d’enquête. Nous initialisons toutes les variables d’état non stationnaires en prenant une distribution antérieure diffuse (à moyenne nulle et à très grande variance). Les cinq composantes des erreurs d’enquête e ˜ t j , j = { 1,2,3,4,5 } MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabmyzayaaia Waa0baaSqaaiaadshaaeaacaWGQbaaaOGaaGilaiaadQgacaaI9aWa aiWaaeaacaaIXaGaaGilaiaaikdacaaISaGaaG4maiaaiYcacaaI0a GaaGilaiaaiwdaaiaawUhacaGL9baaaaa@4238@ et le bruit blanc de population ε t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyTdu2aaS baaSqaaiaadshaaeqaaaaa@36C6@ sont des variables d’état stationnaires initialisées avec des zéros. Nous tenons la variance initiale des erreurs d’échantillonnage de la première vague pour égale à l’unité et nous considérons que la variance des autres vagues correspond à ( 1 ρ 2 ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaaca aIXaGaeyOeI0IaeqyWdi3aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGccaGLOaGa ayzkaaGaaiOlaaaa@3A90@ On pourrait même prendre une petite valeur pour la variance initiale de ε t . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyTdu2aaS baaSqaaiaadshaaeqaaOGaaiOlaaaa@3782@

On extrait habituellement des estimations filtrées du vecteur d’état α t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCySdmaaBa aaleaacaWG0baabeaaaaa@365C@ et de sa matrice des covariances P t | t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baaaaa@3B9D@ à l’aide du filtre de Kalman (voir Harvey 1989). Ainsi, P t | t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baaaaa@3B9D@ contient les EQM extraites par le filtre conditionnellement à l’information obtenue jusqu’au moment t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@34F3@ inclusivement :

P t | t = E t [ ( α ^ t | t ( θ ) α t ) ( α ^ t | t ( θ ) α t ) ] , ( 3.1 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baGccqGH9aqpcaqGfbWaaSbaaSqaaiaadshaaeqaaOWaamWaaeaada qadaqaaiqahg7agaqcamaaBaaaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oa caGLiWoacaaMc8UaamiDaaqabaGcdaqadaqaaiaahI7aaiaawIcaca GLPaaacqGHsislcaWHXoWaaSbaaSqaaiaadshaaeqaaaGccaGLOaGa ayzkaaWaaeWaaeaaceWHXoGbaKaadaWgaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0b GaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaadshaaeqaaOWaaeWaaeaacaWH4oaa caGLOaGaayzkaaGaeyOeI0IaaCySdmaaBaaaleaacaWG0baabeaaaO GaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGccWaGyBOmGikaaaGaay5waiaa w2faaiaacYcacaaMf8UaaGzbVlaaywW7caaMf8UaaGzbVlaacIcaca aIZaGaaiOlaiaaigdacaGGPaaaaa@6F45@

où nous posons que θ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiUdaaa@353E@ est la valeur réelle des hyperparamètres et où l’espérance se prend sur la codistribution du vecteur d’état et des valeurs Y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamywaaaa@34D8@ au moment t . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiaac6 caaaa@35A5@ Dans la pratique, le vecteur réel des hyperparamètres est remplacé par son estimation θ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja aaaa@354E@ dans les récursions par filtre de Kalman. Dans ce cas, l’EQM en (3.1) n’est plus l’EQM réelle. On la qualifie de « naïve », puisqu’elle ne tient pas compte de l’incertitude autour des estimations θ ^ . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja GaaiOlaaaa@3600@ L’EQM réelle devient ainsi :

E Q M t | t = E t [ ( α ^ t | t ( θ ^ ) α t ) ( α ^ t | t ( θ ^ ) α t ) ] , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyraiaahg facaWHnbWaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaa ykW7caWG0baabeaakiabg2da9iaabweadaWgaaWcbaGaamiDaaqaba GcdaWadaqaamaabmaabaGabCySdyaajaWaaSbaaSqaamaaeiaabaGa amiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabeaakmaabmaabaGabC iUdyaajaaacaGLOaGaayzkaaGaeyOeI0IaaCySdmaaBaaaleaacaWG 0baabeaaaOGaayjkaiaawMcaamaabmaabaGabCySdyaajaWaaSbaaS qaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabeaa kmaabmaabaGabCiUdyaajaaacaGLOaGaayzkaaGaeyOeI0IaaCySdm aaBaaaleaacaWG0baabeaaaOGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGc cWaGyBOmGikaaaGaay5waiaaw2faaiaacYcaaaa@65C1@

ce qui représente une valeur supérieure à la valeur EQM en (3.1) et peut se décomposer comme la somme de l’incertitude du filtre et de l’incertitude des paramètres dans une condition de normalité des termes d’erreur :

E Q M t | t = E t [ ( α ^ t | t ( θ ) α t ) ( α ^ t | t ( θ ) α t ) ] + E t [ ( α ^ t | t ( θ ^ ) α ^ t | t ( θ ) ) ( α ^ t | t ( θ ^ ) α ^ t | t ( θ ) ) ] . ( 3.2 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyraiaahg facaWHnbWaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaa ykW7caWG0baabeaakiabg2da9iaabweadaWgaaWcbaGaamiDaaqaba GcdaWadaqaamaabmaabaGabCySdyaajaWaaSbaaSqaamaaeiaabaGa amiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabeaakmaabmaabaGaaC iUdaGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTiaahg7adaWgaaWcbaGaamiDaaqa baaakiaawIcacaGLPaaadaqadaqaaiqahg7agaqcamaaBaaaleaada abcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqabaGcdaqa daqaaiaahI7aaiaawIcacaGLPaaacqGHsislcaWHXoWaaSbaaSqaai aadshaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaakiadaITHYaIO aaaacaGLBbGaayzxaaGaaGjbVlabgUcaRiaaysW7caqGfbWaaSbaaS qaaiaadshaaeqaaOWaamWaaeaadaqadaqaaiqahg7agaqcamaaBaaa leaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaba GcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTiqahg7a gaqcamaaBaaaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8 UaamiDaaqabaGcdaqadaqaaiaahI7aaiaawIcacaGLPaaaaiaawIca caGLPaaadaqadaqaaiqahg7agaqcamaaBaaaleaadaabcaqaaiaads hacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqabaGcdaqadaqaaiqahI7a gaqcaaGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTiqahg7agaqcamaaBaaaleaada abcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqabaGcdaqa daqaaiaahI7aaiaawIcacaGLPaaaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbe qaaOGamai2gkdiIcaaaiaawUfacaGLDbaacaaIUaGaaGzbVlaacIca caaIZaGaaiOlaiaaikdacaGGPaaaaa@A67B@

Le premier terme, l’incertitude du filtre, est ce qui est estimé par les estimations EQM P t | t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baaaaa@3B9D@ par le filtre de Kalman. Il faut aller plus loin pour estimer le deuxième terme, l’incertitude des paramètres. Les études spécialisées consacrées à l’estimation EQM proposent deux grandes méthodes, à savoir l’approximation asymptotique et le bootstrap. Le bootstrap peut être paramétrique ou non paramétrique. Quelques observations s’imposent ici au sujet de ces méthodes dans le contexte du modèle SCS appliqué à l’EPA.

Dans le cas du bootstrap paramétrique, les perturbations d’état, η t , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaC4TdmaaBa aaleaacaWG0baabeaakiaacYcaaaa@371C@ disons, sont tirées de coestimations de densité normale conditionnelle à plusieurs variables η t ~ iid MN ( 0 , Ω ^ ) , Ω ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaC4TdmaaBa aaleaacaWG0baabeaakiaaysW7caaMc8+aaCbiaeaacaGG+baaleqa baGaaeyAaiaabMgacaqGKbaaaOGaaGjbVlaaykW7caqGnbGaaeOtam aabmaabaGaaCimaiaacYcaceWHPoGbaKaaaiaawIcacaGLPaaacaGG SaGaaGjbVlqahM6agaqcaaaa@4A0A@ étant évalué à l’estimation θ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja aaaa@354E@ des hyperparamètres. Ces perturbations servent dans les récursions d’état par filtre de Kalman à produire les variables d’état. Par ailleurs, le bootstrap non paramétrique a pour avantage de ne dépendre d’aucune hypothèse particulière au sujet de cette codistribution. Si dans le bootstrap paramétrique les perturbations d’état viennent de l’estimation de leur distribution, dans le bootstrap non paramétrique il y a rééchantillonnage avec remise dans un nouvel ensemble normalisé en fonction des estimations initiales des hyperparamètres. Les nouveaux ensembles normalisés qui sont rééchantillonnés servent en outre à produire des séries bootstrap { Y 1 b , , Y T b } MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiWaaeaaca WHzbWaa0baaSqaaiaaigdaaeaacaWGIbaaaOGaaiilaiablAciljaa cYcacaWHzbWaa0baaSqaaiaadsfaaeaacaWGIbaaaaGccaGL7bGaay zFaaaaaa@3E41@ par ce qu’on appelle la forme d’innovation du filtre de Kalman (voir les détails dans Harvey 1989, ou Bollineni-Balabay et coll. 2016b). Dans le modèle de l’EPA, les 13 premiers points temporels d’un nouvel ensemble normalisé ne font pas l’objet d’un rééchantillonnage et ils constituent ce qu’on appelle l’échantillon diffus (c’est le temps dont on a besoin pour construire une distribution appropriée pour les variables d’état non stationnaires; voir dans Koopman (1997) l’initialisation de telles variables).

Si un modèle SCS compte des composantes non stationnaires comme dans le modèle de l’EPA, les séries produites divergeront probablement de l’ensemble de données au départ de l’application du bootstrap, c’est-à-dire de { Y 1 , , Y T } . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiWaaeaaca WHzbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaiilaiablAciljaacYcacaWH zbWaaSbaaSqaaiaadsfaaeqaaaGccaGL7bGaayzFaaGaaiOlaaaa@3D23@ Il nous faut donc recourir à une procédure spéciale pour que les échantillons bootstrap soient mis en correspondance avec la configuration de l’ensemble de données initial, ce qu’on peut faire à l’aide d’un algorithme de lissage par simulation qui a été conçu par Durbin et Koopman (2002). On trouvera les détails techniques sur cette application dans Koopman et coll. (2008), chapitre 8.4.2. On n’a pas à prévoir de corrections pour les erreurs d’enquête issues comme nous l’avons décrit des récursions inconditionnelles d’état par le bootstrap paramétrique ou non paramétrique, puisqu’il s’agit d’un bruit (en autocorrélation).

Dans les sections qui suivent, nous présenterons brièvement la méthode asymptotique, ainsi que les applications bootstrap récentes de Rodriguez et Ruiz (2012) (bootstrap RR) et de Pfeffermann et Tiller (2005) (bootstrap PT).

3.1 Application bootstrap de Rodriguez et Ruiz

Rodriguez et Ruiz (2012) ont conçu leur méthode bootstrap d’estimation EQM conditionnelle aux données, ce qui veut dire qu’on applique en plus les hyperparamètres bootstrap à l’ensemble de données initial pour obtenir des estimations bootstrap des variables d’état. Il peut s’agir d’un bootstrap paramétrique ou non avec les étapes suivantes :

  1. On estime le modèle et obtient les estimations θ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja aaaa@354E@ des hyperparamètres.
  2. On produit un échantillon bootstrap { Y 1 b , , Y T b } MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiWaaeaaca WHzbWaa0baaSqaaiaaigdaaeaacaWGIbaaaOGaaiilaiablAciljaa cYcacaWHzbWaa0baaSqaaiaadsfaaeaacaWGIbaaaaGccaGL7bGaay zFaaaaaa@3E41@ à l’aide de θ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja aaaa@354E@ par bootstrap paramétrique ou non (voir l’introduction de cette section). Si le modèle est non stationnaire, on se doit de corriger l’échantillon bootstrap par simulation de lissage.
  3. On se sert de l’ensemble bootstrap { Y 1 b , , Y T b } MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiWaaeaaca WHzbWaa0baaSqaaiaaigdaaeaacaWGIbaaaOGaaiilaiablAciljaa cYcacaWHzbWaa0baaSqaaiaadsfaaeaacaWGIbaaaaGccaGL7bGaay zFaaaaaa@3E41@ pour obtenir tant les estimations paramétriques d’autocorrélation des erreurs d’enquête ρ ^ b MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aadaahaaWcbeqaaiaadkgaaaaaaa@36DE@ que les estimations bootstrap de maximum de vraisemblance θ ^ σ b . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja Waa0baaSqaaiaaho8aaeaacaWGIbaaaOGaaiOlaaaa@386D@ On applique ensuite le filtre de Kalman à la série initiale { Y 1 , , Y T } MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiWaaeaaca WHzbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaiilaiablAciljaacYcacaWH zbWaaSbaaSqaaiaadsfaaeqaaaGccaGL7bGaayzFaaaaaa@3C71@ et aux θ ^ b , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja WaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaOGaaiilaaaa@371C@ nouvellement estimés, ce qui donne α ^ t | t ( θ ^ b ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCySdyaaja WaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG 0baabeaakmaabmaabaGabCiUdyaajaWaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaa GccaGLOaGaayzkaaaaaa@4016@ et P t | t ( θ ^ b ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baGcdaqadaqaaiqahI7agaqcamaaCaaaleqabaGaamOyaaaaaOGaay jkaiaawMcaaiaac6caaaa@4054@
  4. On reprend B MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqaaaa@34C1@ fois les étapes 2 et 3, puis procède à l’estimation EQM de la manière suivante :

E Q M ^ t | t RR = 1 B b = 1 B P t | t ( θ ^ b ) + 1 B b = 1 B [ α ^ t | t ( θ ^ b ) α ¯ t | t ] [ α ^ t | t ( θ ^ b ) α ¯ t | t ] , ( 3.3 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaecaaeaaca WHfbGaaCyuaiaah2eaaiaawkWaamaaDaaaleaadaabcaqaaiaadsha caaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaaiaabkfacaqGsbaaaOGaey ypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaeOqaaaadaaeWbqaaiaahcfadaWg aaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaadshaae qaaaqaaiaadkgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamOqaaqdcqGHris5aOWa aeWaaeaaceWH4oGbaKaadaahaaWcbeqaaiaadkgaaaaakiaawIcaca GLPaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaqGcbaaamaaqahabaWa amWaaeaaceWHXoGbaKaadaWgaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVd GaayjcSdGaaGPaVlaadshaaeqaaOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaadaah aaWcbeqaaiaadkgaaaaakiaawIcacaGLPaaacqGHsislceWHXoGbae badaWgaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaa dshaaeqaaaGccaGLBbGaayzxaaWaamWaaeaaceWHXoGbaKaadaWgaa WcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaadshaaeqa aOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaadaahaaWcbeqaaiaadkgaaaaakiaawI cacaGLPaaacqGHsislceWHXoGbaebadaWgaaWcbaWaaqGaaeaacaWG 0bGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaadshaaeqaaaGccaGLBbGaayzxaa WaaWbaaSqabeaakiadaITHYaIOaaGaaiilaaWcbaGaamOyaiabg2da 9iaaigdaaeaacaWGcbaaniabggHiLdGccaaMf8UaaGzbVlaaywW7ca GGOaGaaG4maiaac6cacaaIZaGaaiykaaaa@9607@

L’équation (3.3) est applicable aux estimations EQM par bootstrap paramétrique et non paramétrique (nous emploierons dans ce cas les abréviations EQMRR1 et EQMRR2 dans la suite du texte).

3.2 Application bootstrap de Pfeffermann et Tiller

La méthode bootstrap conçue par Pfeffermann et Tiller (2005) est un bootstrap inconditionnel, c’est-à-dire que variables d’état bootstrap sont dérivées de l’ensemble de données bootstrap { Y 1 b , , Y T b } , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiWaaeaaca WHzbWaa0baaSqaaiaaigdaaeaacaWGIbaaaOGaaiilaiablAciljaa cYcacaWHzbWaa0baaSqaaiaadsfaaeaacaWGIbaaaaGccaGL7bGaay zFaaGaaiilaaaa@3EF1@ et non de l’ensemble de données initial { Y 1 , , Y T } MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiWaaeaaca WHzbWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaiilaiablAciljaacYcacaWH zbWaaSbaaSqaaiaadsfaaeqaaaGccaGL7bGaayzFaaaaaa@3C71@ comme dans Rodriguez et Ruiz (2012). Pfeffermann et Tiller (2005) ont démontré que leur méthode approche l’EQM réelle jusqu’à un ordre de O ( 1 / T 2 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4tamaabm aabaWaaSGbaeaacaaIXaaabaGaamivamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaa aaaakiaawIcacaGLPaaaaaa@38F4@ (Pfeffermann et Tiller (2005), annexe C):

E Q M ^ t | t PT = 2 P t | t ( θ ^ ) 1 B b = 1 B P t | t ( θ ^ b ) + 1 B b = 1 B [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α ^ t | t b ( θ ^ ) ] [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α ^ t | t b ( θ ^ ) ] . ( 3.4 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaecaaeaaca WHfbGaaCyuaiaah2eaaiaawkWaamaaDaaaleaadaabcaqaaiaadsha caaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaaiaabcfacaqGubaaaOGaey ypa0JaaGOmaiaahcfadaWgaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGa ayjcSdGaaGPaVlaadshaaeqaaOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaaaiaawI cacaGLPaaacqGHsisldaWcaaqaaiaaigdaaeaacaqGcbaaamaaqaha baGaaCiuamaaBaaaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoaca aMc8UaamiDaaqabaGcdaqadaqaaiqahI7agaqcamaaCaaaleqabaGa amOyaaaaaOGaayjkaiaawMcaaaWcbaGaamOyaiabg2da9iaaigdaae aacaWGcbaaniabggHiLdGccaaMe8Uaey4kaSIaaGjbVpaalaaabaGa aGymaaqaaiaabkeaaaWaaabCaeaadaWadaqaaiqahg7agaqcamaaDa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa aiaadkgaaaGcdaqadaqaaiqahI7agaqcamaaCaaaleqabaGaamOyaa aaaOGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTiqahg7agaqcamaaDaaaleaadaab caqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaaiaadkgaaa GcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaaGaay5waiaaw2fa amaadmaabaGabCySdyaajaWaa0baaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaayk W7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabaGaamOyaaaakmaabmaabaGabCiU dyaajaWaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyOeI0 IabCySdyaajaWaa0baaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7 aiaaykW7caWG0baabaGaamOyaaaakmaabmaabaGabCiUdyaajaaaca GLOaGaayzkaaaacaGLBbGaayzxaaWaaWbaaSqabeaakiadaITHYaIO aaaaleaacaWGIbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaadkeaa0GaeyyeIuoaki aac6cacaaMf8UaaGzbVlaacIcacaaIZaGaaiOlaiaaisdacaGGPaaa aa@AD28@

L’équation (3.4) est applicable aux estimateurs EQM par bootstrap paramétrique ou non (nous emploierons dans ce cas les abréviations EQMPT1 et EQMPT2 dans la suite du texte). Le calcul EQM en (3.4) exige deux exécutions du filtre de Kalman pour chaque série bootstrap. À la première exécution, α ^ t | t b ( θ ^ b ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCySdyaaja Waa0baaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG 0baabaGaamOyaaaakmaabmaabaGabCiUdyaajaWaaWbaaSqabeaaca WGIbaaaaGccaGLOaGaayzkaaaaaa@40FE@ est estimé à partir de l’ensemble bootstrap { Y 1 b , , Y T b } MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiWaaeaaca WHzbWaa0baaSqaaiaaigdaaeaacaWGIbaaaOGaaiilaiablAciljaa cYcacaWHzbWaa0baaSqaaiaadsfaaeaacaWGIbaaaaGccaGL7bGaay zFaaaaaa@3E41@ et des paramètres bootstrap θ ^ b . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja WaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaOGaaiOlaaaa@371E@ Dans cette exécution, on peut aussi obtenir P t | t ( θ ^ b ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baGcdaqadaqaaiqahI7agaqcamaaCaaaleqabaGaamOyaaaaaOGaay jkaiaawMcaaaaa@3FA2@ par θ ^ b , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja WaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaOGaaiilaaaa@371C@ puisque la matrice P t | t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baaaaa@3B9D@ ne dépend pas des données. Il faut appliquer le filtre de Kalman une deuxième fois pour produire les estimations d’état α ^ t | t b ( θ ^ ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCySdyaaja Waa0baaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG 0baabaGaamOyaaaakmaabmaabaGabCiUdyaajaaacaGLOaGaayzkaa aaaa@3FE0@ en fonction de { Y 1 b , , Y T b } MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiWaaeaaca WHzbWaa0baaSqaaiaaigdaaeaacaWGIbaaaOGaaiilaiablAciljaa cYcacaWHzbWaa0baaSqaaiaadsfaaeaacaWGIbaaaaGccaGL7bGaay zFaaaaaa@3E41@ et des estimations θ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja aaaa@354E@ tirées de l’ensemble initial. La procédure se résume ainsi :

  1. Estimer le modèle à l’aide de l’ensemble de données initial et obtenir les estimations θ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja aaaa@354E@ du vecteur des hyperparamètres. Garder les estimations EQM « naïves » P t | t ( θ ^ ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baGcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaaaa@3E84@ pour une utilisation future en (3.4).
  2. Utiliser le bootstrap paramétrique ou non pour produire un échantillon bootstrap { Y 1 b , , Y T b } . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaiWaaeaaca WHzbWaa0baaSqaaiaaigdaaeaacaWGIbaaaOGaaiilaiablAciljaa cYcacaWHzbWaa0baaSqaaiaadsfaaeaacaWGIbaaaaGccaGL7bGaay zFaaGaaiOlaaaa@3EF3@ Apporter la correction par simulation de lissage si le modèle est non stationnaire.
  3. Établir les estimations bootstrap θ ^ b MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja WaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaaaa@3662@ des hyperparamètres à partir de l’ensemble bootstrap nouvellement produit. Appliquer le filtre de Kalman une première fois pour obtenir α ^ t | t b ( θ ^ b ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCySdyaaja Waa0baaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG 0baabaGaamOyaaaakmaabmaabaGabCiUdyaajaWaaWbaaSqabeaaca WGIbaaaaGccaGLOaGaayzkaaaaaa@40FE@ et P t | t ( θ ^ b ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baGcdaqadaqaaiqahI7agaqcamaaCaaaleqabaGaamOyaaaaaOGaay jkaiaawMcaaiaacYcaaaa@4052@ et une autre fois pour dégager α ^ t | t b ( θ ^ ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCySdyaaja Waa0baaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG 0baabaGaamOyaaaakmaabmaabaGabCiUdyaajaaacaGLOaGaayzkaa Gaaiilaaaa@4090@ comme décrit en (3.4).
  4. Répéter B MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqaaaa@34C1@ fois les étapes 2 et 3, puis procéder à l’estimation EQM en (3.4).

Pfeffermann et Tiller (2005) signalent que, dans le cas du bootstrap paramétrique, il est possible d’éviter le deuxième filtre de Kalman, parce que le vecteur d’état réel est produit (et donc connu) pour chaque série bootstrap. On peut donc remplacer les estimations d’état α ^ t | t b ( θ ^ ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCySdyaaja Waa0baaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG 0baabaGaamOyaaaakmaabmaabaGabCiUdyaajaaacaGLOaGaayzkaa aaaa@3FE0@ en (3.4) par le vecteur réel α t b MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCySdmaaDa aaleaacaWG0baabaGaamOyaaaaaaa@3744@ pour obtenir l’estimateur EQM suivant :

E Q M ^ t | t PT 1 = P t | t ( θ ^ ) 1 B b = 1 B P t | t ( θ ^ b ) + 1 B b = 1 B [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α t b ] [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α t b ] . ( 3.5 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaecaaeaaca WHfbGaaCyuaiaah2eaaiaawkWaamaaDaaaleaadaabcaqaaiaadsha caaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaaiaabcfacaqGubGaaGymaa aakiabg2da9iaahcfadaWgaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGa ayjcSdGaaGPaVlaadshaaeqaaOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaaaiaawI cacaGLPaaacqGHsisldaWcaaqaaiaaigdaaeaacaqGcbaaamaaqaha baGaaCiuamaaBaaaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoaca aMc8UaamiDaaqabaGcdaqadaqaaiqahI7agaqcamaaCaaaleqabaGa amOyaaaaaOGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRmaalaaabaGaaGymaaqaai aabkeaaaWaaabCaeaadaWadaqaaiqahg7agaqcamaaDaaaleaadaab caqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaaiaadkgaaa GcdaqadaqaaiqahI7agaqcamaaCaaaleqabaGaamOyaaaaaOGaayjk aiaawMcaaiabgkHiTiaahg7adaqhaaWcbaGaamiDaaqaaiaadkgaaa aakiaawUfacaGLDbaadaWadaqaaiqahg7agaqcamaaDaaaleaadaab caqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaaiaadkgaaa GcdaqadaqaaiqahI7agaqcamaaCaaaleqabaGaamOyaaaaaOGaayjk aiaawMcaaiabgkHiTiaahg7adaqhaaWcbaGaamiDaaqaaiaadkgaaa aakiaawUfacaGLDbaadaahaaWcbeqaaOGamai2gkdiIcaacaGGUaaa leaacaWGIbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaadkeaa0GaeyyeIuoaaSqaai aadkgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamOqaaqdcqGHris5aOGaaGzbVlaa ywW7caaMf8UaaiikaiaaiodacaGGUaGaaGynaiaacMcaaaa@9A6E@

Il y a un seul P t | t ( θ ^ ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baGcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaaaa@3E84@ du côté droit de (3.5), puisque le nouveau terme E B [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α t b ] [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α t b ] , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeyramaaBa aaleaacaWGcbaabeaakmaadmaabaGabCySdyaajaWaa0baaSqaamaa eiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabaGaamOyaa aakmaabmaabaGabCiUdyaajaWaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaaGccaGL OaGaayzkaaGaeyOeI0IaaCySdmaaDaaaleaacaWG0baabaGaamOyaa aaaOGaay5waiaaw2faamaadmaabaGabCySdyaajaWaa0baaSqaamaa eiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabaGaamOyaa aakmaabmaabaGabCiUdyaajaWaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaaGccaGL OaGaayzkaaGaeyOeI0IaaCySdmaaDaaaleaacaWG0baabaGaamOyaa aaaOGaay5waiaaw2faamaaCaaaleqabaGccWaGyBOmGikaaiaacYca aaa@5FF4@ qui correspond au dernier terme du côté droit de (3.5), peut lui-même se décomposer comme en (3.2) en une mesure de l’incertitude des paramètres E B [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α ^ t | t b ( θ ^ ) ] [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α ^ t | t b ( θ ^ ) ] MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeyramaaBa aaleaacaWGcbaabeaakmaadmaabaGabCySdyaajaWaa0baaSqaamaa eiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabaGaamOyaa aakmaabmaabaGabCiUdyaajaWaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaaGccaGL OaGaayzkaaGaeyOeI0IabCySdyaajaWaa0baaSqaamaaeiaabaGaam iDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabaGaamOyaaaakmaabmaa baGabCiUdyaajaaacaGLOaGaayzkaaaacaGLBbGaayzxaaWaamWaae aaceWHXoGbaKaadaqhaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGaayjc SdGaaGPaVlaadshaaeaacaWGIbaaaOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaada ahaaWcbeqaaiaadkgaaaaakiaawIcacaGLPaaacqGHsislceWHXoGb aKaadaqhaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVl aadshaaeaacaWGIbaaaOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaaaiaawIcacaGL PaaaaiaawUfacaGLDbaadaahaaWcbeqaaOGamai2gkdiIcaaaaa@7068@ et de l’incertitude du filtre P t | t b ( θ ^ ) = E [ α ^ t | t b ( θ ^ ) α t b ] [ α ^ t | t b ( θ ^ ) α t b ] , θ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaDa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa aiaadkgaaaGcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaiabg2 da9iaabweadaWadaqaaiqahg7agaqcamaaDaaaleaadaabcaqaaiaa dshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaaiaadkgaaaGcdaqada qaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTiaahg7adaqhaaWc baGaamiDaaqaaiaadkgaaaaakiaawUfacaGLDbaadaWadaqaaiqahg 7agaqcamaaDaaaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaM c8UaamiDaaqaaiaadkgaaaGcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkai aawMcaaiabgkHiTiaahg7adaqhaaWcbaGaamiDaaqaaiaadkgaaaaa kiaawUfacaGLDbaadaahaaWcbeqaaOGamai2gkdiIcaacaaMb8Uaai ilaiaaysW7ceWH4oGbaKaaaaa@6D9E@ étant le vecteur réel des paramètres par lequel on produit les variables d’état bootstrap α t b . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCySdmaaDa aaleaacaWG0baabaGaamOyaaaakiaac6caaaa@3800@ Toutefois, on aura peut-être à prévoir beaucoup plus d’itérations bootstrap pour le terme moyen bootstrap 1 B b = 1 B [ α ^ t | t b ( θ ^ ) α t b ] [ α ^ t | t b ( θ ^ ) α t b ] MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSqaaSqaai aaigdaaeaacaqGcbaaaOWaaabmaeaadaWadaqaaiqahg7agaqcamaa DaaaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaa qaaiaadkgaaaGcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaiaa ysW7caaMe8UaeyOeI0IaaGjbVlaaysW7caWHXoWaa0baaSqaaiaads haaeaacaWGIbaaaaGccaGLBbGaayzxaaWaamWaaeaaceWHXoGbaKaa daqhaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaads haaeaacaWGIbaaaOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaaaiaawIcacaGLPaaa caaMe8UaaGjbVlabgkHiTiaaysW7caaMe8UaaCySdmaaDaaaleaaca WG0baabaGaamOyaaaaaOGaay5waiaaw2faamaaCaaaleqabaGccWaG yBOmGikaaaWcbaGaamOyaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGcbaaniabgg HiLdaaaa@6EC2@ remplaçant P t | t ( θ ^ ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baGcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaaaa@3E84@ si on veut qu’il y ait convergence. Ajoutons que cette méthode simplifiée peut créer plus de biais si l’hypothèse de normalité n’est pas respectée au sujet des termes d’erreur du modèle. Dans ce cas, la décomposition du terme E B [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α t b ] [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α t b ] MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeyramaaBa aaleaacaWGcbaabeaakmaadmaabaGabCySdyaajaWaa0baaSqaamaa eiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabaGaamOyaa aakmaabmaabaGabCiUdyaajaWaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaaGccaGL OaGaayzkaaGaeyOeI0IaaCySdmaaDaaaleaacaWG0baabaGaamOyaa aaaOGaay5waiaaw2faamaadmaabaGabCySdyaajaWaa0baaSqaamaa eiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabaGaamOyaa aakmaabmaabaGabCiUdyaajaWaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaaGccaGL OaGaayzkaaGaeyOeI0IaaCySdmaaDaaaleaacaWG0baabaGaamOyaa aaaOGaay5waiaaw2faamaaCaaaleqabaGccWaGyBOmGikaaaaa@5F44@ comme en (3.2) laissera aussi un terme croisé non nul : E { [ α ^ t | t b ( θ ^ ) α t b ] [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α ^ t | t b ( θ ^ ) ] } . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeyramaacm aabaWaamWaaeaaceWHXoGbaKaadaqhaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGa aGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaadshaaeaacaWGIbaaaOWaaeWaaeaace WH4oGbaKaaaiaawIcacaGLPaaacqGHsislcaWHXoWaa0baaSqaaiaa dshaaeaacaWGIbaaaaGccaGLBbGaayzxaaWaamWaaeaaceWHXoGbaK aadaqhaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaa dshaaeaacaWGIbaaaOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaadaahaaWcbeqaai aadkgaaaaakiaawIcacaGLPaaacqGHsislceWHXoGbaKaadaqhaaWc baWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaadshaaeaaca WGIbaaaOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaaaiaawIcacaGLPaaaaiaawUfa caGLDbaaaiaawUhacaGL9baacaGGUaaaaa@6587@ Dans cette application, les moyennes bootstrap à terme croisé non nul se sont révélées négligeables, mais la moyenne bootstrap 1 B b = 1 B [ α ^ t | t b ( θ ^ ) α t b ] [ α ^ t | t b ( θ ^ ) α t b ] MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSqaaSqaai aaigdaaeaacaqGcbaaaOWaaabmaeaadaWadaqaaiqahg7agaqcamaa DaaaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaa qaaiaadkgaaaGcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaiab gkHiTiaahg7adaqhaaWcbaGaamiDaaqaaiaadkgaaaaakiaawUfaca GLDbaadaWadaqaaiqahg7agaqcamaaDaaaleaadaabcaqaaiaadsha caaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaaiaadkgaaaGcdaqadaqaai qahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTiaahg7adaqhaaWcbaGa amiDaaqaaiaadkgaaaaakiaawUfacaGLDbaadaahaaWcbeqaaOGama i2gkdiIcaaaSqaaiaadkgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamOqaaqdcqGH ris5aaaa@625A@ s’éloignait largement (dans les deux sens) du terme qu’elle était censée remplacer, ce qu’expliquerait le fait que l’EQM réelle par filtre de Kalman en (3.1) puisse être tirée de séries en simulation si, dans sa distribution, le vecteur d’état est suffisamment dispersé. Quand on met des modèles non stationnaires en bootstrap, les séries bootstrap suivent forcément la configuration de la série initiale sous-jacente, comme nous l’avons mentionné dans la description de l’algorithme de lissage par simulation. Il se peut donc que le terme 1 B b = 1 B [ α ^ t | t b ( θ ^ ) α t b ] [ α ^ t | t b ( θ ^ ) α t b ] , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSqaaSqaai aaigdaaeaacaqGcbaaaOWaaabmaeaadaWadaqaaiqahg7agaqcamaa DaaaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaa qaaiaadkgaaaGcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaiab gkHiTiaahg7adaqhaaWcbaGaamiDaaqaaiaadkgaaaaakiaawUfaca GLDbaadaWadaqaaiqahg7agaqcamaaDaaaleaadaabcaqaaiaadsha caaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaaiaadkgaaaGcdaqadaqaai qahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTiaahg7adaqhaaWcbaGa amiDaaqaaiaadkgaaaaakiaawUfacaGLDbaadaahaaWcbeqaaOGama i2gkdiIcaaaSqaaiaadkgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamOqaaqdcqGH ris5aOGaaiilaaaa@6314@ qui remplace P t | t ( θ ^ ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baGcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaaaa@3E84@ en (3.5), n’en soit pas suffisamment proche. C’est pourquoi le bootstrap paramétrique (PT1) ou non (PT2) dans cette application dépend de l’estimateur en (3.4).

Disons quelques mots du rôle de la simulation de lissage de Durbin et Koopman (2002) dont nous avons fait mention à la fin de l’introduction à la présente section. Nous avons proposé de l’employer à l’étape de la production des séries boostrap, sans quoi la distribution bootstrap des hyperparamètres tirée de séries non corrigées pour un modèle non stationnaire pourrait être fort différente de ce qu’elle devrait être pour une réalisation particulière des données dont nous disposons. Dans le cas de l’EPA du moins, les distributions bootstrap des hyperparamètres étaient bien plus diffuses sans la simulation de lissage qu’avec celle-ci. De plus, les distributions bootstrap des hyperparamètres qui viennent de séries non corrigées dans l’EPA sont centrées sur des valeurs bien supérieures aux valeurs des hyperparamètres qui ont servi à produire les séries. Le résultat est une moyenne bootstrap extrêmement élevée 1 B b = 1 B P t | t ( θ ^ b ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSqaaSqaai aaigdaaeaacaqGcbaaaOWaaabmaeaacaWHqbWaaSbaaSqaamaaeiaa baGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabeaakmaabmaaba GabCiUdyaajaWaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaaGccaGLOaGaayzkaaaa leaacaWGIbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaadkeaa0GaeyyeIuoaaaa@46B9@ (par rapport à P t | t ( θ ^ ) ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqa baGccaGGOaGabCiUdyaajaGaaiykaiaacMcaaaa@3F01@ et, par la suite, des estimations EQM même inférieures aux estimations naïves. Il faut aussi dire que le terme 1 B b = 1 B [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α ^ t | t b ( θ ^ ) ] [ α ^ t | t b ( θ ^ b ) α ^ t | t b ( θ ^ ) ] MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSqaaSqaai aaigdaaeaacaqGcbaaaOWaaabmaeaadaWadaqaaiqahg7agaqcamaa DaaaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaa qaaiaadkgaaaGcdaqadaqaaiqahI7agaqcamaaCaaaleqabaGaamOy aaaaaOGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTiqahg7agaqcamaaDaaaleaada abcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaaiaadkga aaGcdaqadaqaaiqahI7agaqcaaGaayjkaiaawMcaaaGaay5waiaaw2 faamaadmaabaGabCySdyaajaWaa0baaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaa ykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabaGaamOyaaaakmaabmaabaGabC iUdyaajaWaaWbaaSqabeaacaWGIbaaaaGccaGLOaGaayzkaaGaeyOe I0IabCySdyaajaWaa0baaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawI a7aiaaykW7caWG0baabaGaamOyaaaakmaabmaabaGabCiUdyaajaaa caGLOaGaayzkaaaacaGLBbGaayzxaaWaaWbaaSqabeaakiadaITHYa IOaaaaleaacaWGIbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaadkeaa0GaeyyeIuoa aaa@75BA@ devient très instable dans le temps et prend des proportions excessives quand il n’y a pas de simulation de lissage, ce qui ne compense pas le biais négatif en (3.4) sans la simulation de lissage.

3.3 Approximation asymptotique

Hamilton (1986) a conçu une approximation asymptotique (AA) de l’EQM réelle à l’équation (3.2). Cette approximation peut s’exprimer comme une espérance sur la codistribution asymptotique des hyperparamètres π ( θ ^ | Y ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWda3aae WaaeaadaabcaqaaiqahI7agaqcaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWH zbaacaGLOaGaayzkaaGaaiilaaaa@3ED2@ celle-ci étant conditionnelle à l’ensemble de données initial Y { Y 1 , , Y T } . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCywaiabgg Mi6oaacmaabaGaaCywamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaacYcacqWI MaYscaGGSaGaaCywamaaBaaaleaacaWGubaabeaaaOGaay5Eaiaaw2 haaiaac6caaaa@3FCE@ Dans la présente application, la partie du vecteur des hyperparamètres qui est estimée par la méthode du maximum de vraisemblance ( θ ^ σ ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaace WH4oGbaKaadaWgaaWcbaGaaC4WdaqabaaakiaawIcacaGLPaaaaaa@385C@ dépend de la valeur estimée du paramètre autorégressif ρ ^ . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aacaGGUaaaaa@367C@ Ainsi, la codistribution asymptotique de l’estimateur des hyperparamètres est de la forme suivante : π ( θ ^ | Y ) = π ( ρ ^ | Y ) π ( θ ^ σ | ρ ^ , Y ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWda3aae WaaeaadaabcaqaaiqahI7agaqcaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWH zbaacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaeqiWda3aaeWaaeaadaabcaqaai qbeg8aYzaajaGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaahMfaaiaawIcacaGL PaaacqaHapaCdaqadaqaamaaeiaabaGabCiUdyaajaWaaSbaaSqaai aaho8aaeqaaOGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlqbeg8aYzaajaGaaiil aiaahMfaaiaawIcacaGLPaaacaGGUaaaaa@58AB@ L’EQM est ainsi approchée :

E Q M t | t = E π ( θ ^ | Y ) [ P t | t ( θ ^ , Y ) ] + E π ( θ ^ | Y ) [ ( α ^ t | t ( θ ^ , Y ) α ^ t | t ( Y ) ) ( α ^ t | t ( θ ^ , Y ) α ^ t | t ( Y ) ) ] , ( 3.6 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCyraiaahg facaWHnbWaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaa ykW7caWG0baabeaakiabg2da9iaabweadaWgaaWcbaGaeqiWda3aae WaaeaadaabcaqaaiqahI7agaqcaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWH zbaacaGLOaGaayzkaaaabeaakmaadmaabaGaaCiuamaaBaaaleaada abcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqabaGcdaqa daqaaiqahI7agaqcaiaacYcacaWHzbaacaGLOaGaayzkaaaacaGLBb GaayzxaaGaaGPaVlabgUcaRiaaysW7caqGfbWaaSbaaSqaaiabec8a WnaabmaabaWaaqGaaeaaceWH4oGbaKaacaaMc8oacaGLiWoacaaMc8 UaaCywaaGaayjkaiaawMcaaaqabaGcdaWadaqaamaabmaabaGabCyS dyaajaWaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaayk W7caWG0baabeaakmaabmaabaGabCiUdyaajaGaaiilaiaahMfaaiaa wIcacaGLPaaacqGHsislceWHXoGbaKaadaWgaaWcbaWaaqGaaeaaca WG0bGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaadshaaeqaaOWaaeWaaeaacaWH zbaacaGLOaGaayzkaaaacaGLOaGaayzkaaWaaeWaaeaaceWHXoGbaK aadaWgaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaa dshaaeqaaOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaacaGGSaGaaCywaaGaayjkai aawMcaaiabgkHiTiqahg7agaqcamaaBaaaleaadaabcaqaaiaadsha caaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqabaGcdaqadaqaaiaahMfaai aawIcacaGLPaaaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaOGamai2gkdi IcaaaiaawUfacaGLDbaacaGGSaGaaGzbVlaaywW7caGGOaGaaG4mai aac6cacaaI2aGaaiykaaaa@A626@

E π ( θ ^ | Y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGPaVlaabw eadaWgaaWcbaGaeqiWda3aaeWaaeaadaabcaqaaiqahI7agaqcaiaa ykW7aiaawIa7aiaaykW7caWHzbaacaGLOaGaayzkaaaabeaaaaa@40A1@ est une espérance prise sur la codistribution asymptotique de l’estimateur des hyperparamètres π ( θ ^ | Y ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWda3aae WaaeaadaabcaqaaiqahI7agaqcaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWH zbaacaGLOaGaayzkaaGaaiilaaaa@3ED2@ et où les α ^ t | t ( Y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCySdyaaja WaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG 0baabeaakmaabmaabaGaaCywaaGaayjkaiaawMcaaaaa@3E86@ sont les estimations du vecteur d’état quand les hyperparamètres ne sont pas connus E π ( θ ^ | Y ) [ α ^ t | t ( θ ^ , Y ) ] . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeyramaaBa aaleaacqaHapaCdaqadaqaamaaeiaabaGabCiUdyaajaGaaGPaVdGa ayjcSdGaaGPaVlaahMfaaiaawIcacaGLPaaaaeqaaOWaamWaaeaace WHXoGbaKaadaWgaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGaayjcSdGa aGPaVlaadshaaeqaaOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaacaGGSaGaaCywaa GaayjkaiaawMcaaaGaay5waiaaw2faaiaac6caaaa@4E53@

Dans ce cas, nous choisissons la distribution N ( ρ ^ , Var ( ρ ^ ) ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOtamaabm aabaGafqyWdiNbaKaacaaISaGaaeOvaiaabggacaqGYbWaaeWaaeaa cuaHbpGCgaqcaaGaayjkaiaawMcaaaGaayjkaiaawMcaaaaa@3EE7@ comme la distribution asymptotique π ( ρ ^ | Y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWda3aae Waaeaadaabcaqaaiqbeg8aYzaajaGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaa hMfaaiaawIcacaGLPaaaaaa@3E9E@ des ρ ^ , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aacaGGSaaaaa@367A@ d’où sont tirées les réalisations aléatoires ρ ^ . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aacaGGUaaaaa@367C@ En général, la distribution d’échantillonnage du coefficient de corrélation revêt une forme complexe, mais elle peut fort bien être approchée par une distribution normale; tel était le cas dans cette application (la distribution normale était un très bon ajustement de la distribution en simulation et de la distribution bootstrap de ρ ^ ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aacaGGPaGaaiOlaaaa@3729@ Si on prend l’équation (3) dans Bartlett (1946) et qu’on considère que le coefficient autorégressif dans un processus AR(1) est égal à la corrélation pour le décalage 1, l’estimateur de variance de ρ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aaaaa@35CA@ devient Var ( ρ ^ ) ( 1 ρ ^ 2 ) / T . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeOvaiaabg gacaqGYbWaaeWaaeaacuaHbpGCgaqcaaGaayjkaiaawMcaaiabgIKi 7oaalyaabaWaaeWaaeaacaaIXaGaeyOeI0IafqyWdiNbaKaadaahaa WcbeqaaiaaikdaaaaakiaawIcacaGLPaaaaeaacaWGubaaaiaac6ca aaa@434B@ Dans le cas de l’EPA ρ ^ = 0,208 , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aacqGH9aqpcaqGWaGaaeilaiaabkdacaqGWaGaaeioaiaacYcaaaa@3B05@ cela veut dire que Var ^ ( ρ ^ ) 0,96 ( 1 / T ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaecaaeaaca qGwbGaaeyyaiaabkhaaiaawkWaamaabmaabaGafqyWdiNbaKaaaiaa wIcacaGLPaaacqGHijYUcaqGWaGaaeilaiaabMdacaqG2aWaaeWaae aadaWcgaqaaiaaigdaaeaacaWGubaaaaGaayjkaiaawMcaaiaac6ca aaa@4334@ Comme l’erreur-type des ρ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aaaaa@35CA@ sert à tirer des réalisations de la distribution asymptotique et que l’extraction de la racine carrée est une fonction concave, l’écart-type de l’échantillon serait une sous-estimation. En tirant donc ρ ^ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aaaaa@35CA@ réalisations au moyen de 1 / T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSGbaeaaca aIXaaabaWaaOaaaeaacaWGubaaleqaaaaaaaa@35BF@ comme écart-type de la distribution asymptotique, on ferait un choix raisonnable.

On obtient de la manière suivante un échantillon de B MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqaaaa@34C1@ réalisations de la distribution asymptotique des hyperparamètres. Après avoir tiré une valeur, ρ ^ a MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aadaahaaWcbeqaaiaadggaaaaaaa@36DD@ disons, de π ( ρ ^ | Y ) , MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWda3aae Waaeaadaabcaqaaiqbeg8aYzaajaGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaa hMfaaiaawIcacaGLPaaacaGGSaaaaa@3F4E@ nous réestimons les autres hyperparamètres de l’ensemble de données initial pour obtenir θ ^ σ MV | ρ ^ a , Y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaqGaaeaace WH4oGbaKaadaqhaaWcbaGaaC4Wdaqaaiaab2eacaqGwbaaaOGaaGPa VdGaayjcSdGaaGPaVlqbeg8aYzaajaWaaWbaaSqabeaacaWGHbaaaO GaaiilaiaahMfaaaa@41A8@ et la matrice d’information I ^ ( θ ^ σ MV | ρ ^ a , Y ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCysayaaja WaaeWaaeaadaabcaqaaiqahI7agaqcamaaDaaaleaacaWHdpaabaGa aeytaiaabAfaaaGccaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UafqyWdiNbaKaada ahaaWcbeqaaiaadggaaaGccaGGSaGaaCywaaGaayjkaiaawMcaaiaa c6caaaa@44C5@ Finalement, nous tirons une réalisation θ ^ σ a MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja Waa0baaSqaaiaaho8aaeaacaWGHbaaaaaa@37B0@ de la distribution MN ( θ ^ σ MV , I ^ 1 ( θ ^ σ MV | ρ ^ a , Y ) ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeytaiaab6 eadaqadaqaaiqahI7agaqcamaaDaaaleaacaWHdpaabaGaaeytaiaa bAfaaaGccaGGSaGabCysayaajaWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXa aaaOWaaeWaaeaadaabcaqaaiqahI7agaqcamaaDaaaleaacaWHdpaa baGaaeytaiaabAfaaaGccaaMc8oacaGLiWoacaaMc8UafqyWdiNbaK aadaahaaWcbeqaaiaadggaaaGccaGGSaGaaCywaaGaayjkaiaawMca aaGaayjkaiaawMcaaiaac6caaaa@4F01@ Nous appliquons à nouveau le filtre de Kalman avec les réalisations ρ ^ a MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aadaahaaWcbeqaaiaadggaaaaaaa@36DD@ et θ ^ σ a MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja Waa0baaSqaaiaaho8aaeaacaWGHbaaaaaa@37B0@ pour obtenir les estimations d’état α ^ t | t ( θ ^ a , Y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCySdyaaja WaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG 0baabeaakmaabmaabaGabCiUdyaajaWaaWbaaSqabeaacaWGHbaaaO GaaiilaiaahMfaaiaawIcacaGLPaaaaaa@41A7@ et leurs EQM P ^ t | t ( θ ^ a ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiuayaaja WaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaadshaaeqa aOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaadaahaaWcbeqaaiaadggaaaaakiaawI cacaGLPaaacaGGUaaaaa@3ED8@ La procédure se répète jusqu’à ce que B MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqaaaa@34C1@ itérations θ ^ a MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja WaaWbaaSqabeaacaWGHbaaaaaa@3661@ aient été effectuées, après quoi nous dégageons (3.6) en prenant la moyenne des quantités nécessaires sur B MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqaaaa@34C1@ itérations. Si tous les hyperparamètres du modèle sont estimés par la méthode du maximum de vraisemblance, B MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqaaaa@34C1@ itérations peuvent se faire directement à partir de MN ( θ ^ MV , I ^ 1 ( θ ^ MV ) ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeytaiaab6 eadaqadaqaaiqahI7agaqcamaaCaaaleqabaGaaeytaiaabAfaaaGc caGGSaGabCysayaajaWaaWbaaSqabeaacqGHsislcaaIXaaaaOWaae WaaeaaceWH4oGbaKaadaahaaWcbeqaaiaab2eacaqGwbaaaaGccaGL OaGaayzkaaaacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@4338@

On peut approcher le premier terme en (3.6) par la valeur moyenne de la variance P t | t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaCiuamaaBa aaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoacaWG0baabeaaaaa@3A12@ par filtre de Kalman sur B MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqaaaa@34C1@ réalisations du vecteur des hyperparamètres. Le deuxième terme peut être approché par la variance des estimations du vecteur d’état sur ces mêmes B MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOqaaaa@34C1@ itérations. Une approximation asymptotique des EQM pourrait se dégager de la manière suivante :

E Q M ^ t | t AA = 1 B a = 1 B P t | t ( θ ^ a ) + 1 B a = 1 B [ α ^ t | t ( θ ^ a , Y ) α ^ ¯ t | t ] [ α ^ t | t ( θ ^ a , Y ) α ^ ¯ t | t ] , ( 3.7 ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaecaaeaaca WHfbGaaCyuaiaah2eaaiaawkWaamaaDaaaleaadaabcaqaaiaadsha caaMc8oacaGLiWoacaaMc8UaamiDaaqaaiaabgeacaqGbbaaaOGaey ypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaeOqaaaadaaeWbqaaiaahcfadaWg aaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaadshaae qaaaqaaiaadggacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamOqaaqdcqGHris5aOWa aeWaaeaaceWH4oGbaKaadaahaaWcbeqaaiaadggaaaaakiaawIcaca GLPaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaqGcbaaamaaqahabaWa amWaaeaaceWHXoGbaKaadaWgaaWcbaWaaqGaaeaacaWG0bGaaGPaVd GaayjcSdGaaGPaVlaadshaaeqaaOWaaeWaaeaaceWH4oGbaKaadaah aaWcbeqaaiaadggaaaGccaGGSaGaaCywaaGaayjkaiaawMcaaiabgk HiTiqahg7agaqcgaqeamaaBaaaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oa caGLiWoacaaMc8UaamiDaaqabaaakiaawUfacaGLDbaadaWadaqaai qahg7agaqcamaaBaaaleaadaabcaqaaiaadshacaaMc8oacaGLiWoa caaMc8UaamiDaaqabaGcdaqadaqaaiqahI7agaqcamaaCaaaleqaba GaamyyaaaakiaacYcacaWHzbaacaGLOaGaayzkaaGaeyOeI0IabCyS dyaajyaaraWaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7ai aaykW7caWG0baabeaaaOGaay5waiaaw2faamaaCaaaleqabaGccWaG yBOmGikaaiaacYcaaSqaaiaadggacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamOqaa qdcqGHris5aOGaaGzbVlaaywW7caaMf8UaaGzbVlaaywW7caGGOaGa aG4maiaac6cacaaI3aGaaiykaaaa@9C42@

θ ^ a MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCiUdyaaja WaaWbaaSqabeaacaWGHbaaaaaa@3661@ est le résultat du a e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyamaaCa aaleqabaGaaeyzaaaaaaa@35F5@ tirage à partir de la distribution asymptotique π ( θ ^ | Y ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiWda3aae WaaeaadaabcaqaaiqahI7agaqcaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWH zbaacaGLOaGaayzkaaGaaiOlaaaa@3ED4@ Comme le propose Hamilton (1986), la moyenne d’échantillon α ^ ¯ t | t = 1 B a = 1 B α ^ t | t ( θ ^ a , Y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCySdyaajy aaraWaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7 caWG0baabeaakiabg2da9maaleaaleaacaaIXaaabaGaaeOqaaaakm aaqadabaGabCySdyaajaWaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7 aiaawIa7aiaaykW7caWG0baabeaakmaabmaabaGabCiUdyaajaWaaW baaSqabeaacaWGHbaaaOGaaiilaiaahMfaaiaawIcacaGLPaaaaSqa aiaadggacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamOqaaqdcqGHris5aaaa@51FB@ peut remplacer α ^ t | t ( Y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGabCySdyaaja WaaSbaaSqaamaaeiaabaGaamiDaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWG 0baabeaakmaabmaabaGaaCywaaGaayjkaiaawMcaaaaa@3E86@ en (3.6). Cet auteur ajoute qu’une telle décomposition de l’incertitude du total en une incertitude du filtre et une incertitude des paramètres ressemble à la décomposition bien connue var ( X ) = E [ var ( X | Y ) ] + var [ E ( X | Y ) ] . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeODaiaabg gacaqGYbWaaeWaaeaacaWGybaacaGLOaGaayzkaaGaaGypaiaadwea daWadaqaaiaabAhacaqGHbGaaeOCamaabmaabaWaaqGaaeaacaWGyb GaaGPaVdGaayjcSdGaaGPaVlaadMfaaiaawIcacaGLPaaaaiaawUfa caGLDbaacqGHRaWkcaqG2bGaaeyyaiaabkhadaWadaqaaiaadweada qadaqaamaaeiaabaGaamiwaiaaykW7aiaawIa7aiaaykW7caWGzbaa caGLOaGaayzkaaaacaGLBbGaayzxaaGaaiOlaaaa@5689@ Manifestement, cet estimateur EQM repose entièrement sur l’hypothèse d’une normalité asymptotique de l’estimateur du vecteur des hyperparamètres. De plus, cette application produit habituellement des biais significatifs si les séries ne sont pas d’une longueur suffisante, auquel cas la distribution asymptotique normale qui est posée ne pourrait approcher la distribution finie (ordinairement asymétrique) des estimations de maximum de vraisemblance.

Un autre problème est susceptible de se poser avec le traitement asymptotique si on estime que les hyperparamètres sont proches de zéro, ce qui peut advenir des estimations du modèle au départ ou pendant l’application de la procédure même à cause de certaines réalisations extrêmes de ρ ^ . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfFv0dd9Wqpe0dd9 qqaqFeFr0xbbG8FaYPYRWFb9fi0lXxbvc9Ff0dfrpe0dXdHqps0=vr 0=vr0=fdbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGafqyWdiNbaK aacaGGUaaaaa@367C@ Dans ce cas, la variance asymptotique de ces hyperparamètres sera très élevée, ce qui viendra gonfler les estimations EQM du signal et de ses composantes inobservées. Il pourrait en résulter un défaut d’inversion de la matrice d’information pour le vecteur des hyperparamètres.


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