La modélisation espace-état appliquée aux séries chronologiques de l’Enquête sur la population active des Pays-Bas : sélection de modèles et estimation de l’erreur quadratique moyenne
Section 5. Résultats

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5.1 Autres spécifications de modélisation pour l’EPA

On choisit et évalue habituellement les modèles SCS en employant des tests formels de diagnostic de normalité, d’homoscédasticité et d’indépendance des innovations normalisées. Une paramétrisation parcimonieuse est fondée sur des tests de rapport de vraisemblance logarithmique ou des critères d’information (d’Akaike, de Bayes, etc.). Toutefois, les résultats de ces tests et critères dépendent des estimations ponctuelles particulières des hyperparamètres plutôt que de leurs distributions entières. Les distributions en simulation de Monte-Carlo (décrite à la section 4) des estimateurs des hyperparamètres nous éclairent davantage sur l’adéquation de la modélisation SCS. Les distributions en simulation nous livrent des indices sur l’éventuelle surspécification d’un modèle, en ce sens que certaines variables d’état pourraient être modélisées comme invariantes dans le temps.

Dans notre étude, nous considérons quatre modèles qui diffèrent pour le nombre d’hyperparamètres à estimer par la méthode du maximum de vraisemblance. Le modèle le plus complet, le modèle 1, est actuellement utilisé par Statistics Netherlands, mais après retrait de la composante de bruit blanc ${\epsilon }_t$ du paramètre réel de population ${\xi }_t.$ On a constaté que cette composante avait une variance excessivement élevée et représentait une estimation perturbée d’autres hyperparamètres marginalement significatifs (variances de perturbation du BRE et de la composante saisonnière) dans le cas de l’EPA. En retranchant la composante irrégulière ${\epsilon }_t$ du modèle, on atténue l’instabilité des deux hyperparamètres précités. Cette formulation implique que le paramètre de population ${\xi }_t$ n’accuse pas d’irrégularités impossibles à appréhender par la structure stochastique de la tendance et de la composante saisonnière. L’adoption de cette hypothèse peut être favorisée par une rigidité relative du marché du travail. L’évolution des niveaux de chômage est normalement progressive et doit donc être largement intégrée aux mouvements de la tendance stochastique. Les trois autres modèles sont des cas d’espèce du modèle 1, tous avec la composante irrégulière ${\epsilon }_t$ en moins (voir tableau 5.1).

Les distributions simulées des estimateurs des hyperparamètres dans le modèle 1 montrent que les hyperparamètres de variance pour la composante saisonnière et, en particulier, pour le BRE sont souvent estimés comme étant proches de zéro. Cela cause une bimodalité dans la distribution de ces estimations de variance avec une masse significative concentrée près de zéro. De plus, une tentative d’estimation de $\text{ln}\left({\widehat{\sigma }}_{\omega }^2\right)$ ainsi que de $\text{ln}\left({\widehat{\sigma }}_{{\eta }_{\lambda }}^2\right),$ comme dans le modèle 1, cause une distorsion dans la distribution des estimateurs de maximum de vraisemblance des autres hyperparamètres, laquelle devrait être normale. Ainsi, la normalité dans $\text{ln}\left({\widehat{\sigma }}_{v_3}^2\right)\mathrm{,}\text{ln}\left({\widehat{\sigma }}_{v_4}^2\right)$ et $\text{ln}\left({\widehat{\sigma }}_{v_5}^2\right)$ est gravement compromise avec des valeurs aberrantes extrêmes et/ou un énorme coefficient d’applatissement (voir la figure A.1 en annexe où l’axe des x est étiré à cause des valeurs aberrantes), alors que les variances correspondantes sont moins susceptibles de présenter des valeurs extrêmes, étant censées fluctuer autour de l’unité. Si on rend la composante saisonnière invariante dans le temps comme dans le modèle 2, on ne change guère la situation des hyperparamètres de la tendance et du BRE. On pourrait même y voir un traitement moins qu’optimal, car les valeurs aberrantes sont plus extrêmes et le coefficient d’applatissement est excessif dans la distribution des cinq hyperparamètres des erreurs d’enquête (figure A.2). Par contraste, nous avons pu constater (voir les figures A.3 et A.4) que, dans les deux modèles où la composante BRE est fixe dans le temps (modèles 3 et 4), toutes les estimations des hyperparamètres correspondant aux erreurs d’enquête étaient en distribution normale. Dans le modèle 3, les distributions demeurent asymétriques pour la pente et la composante saisonnière (asymétrie de -0,88 et -0,72 et applatissement de 5,56 et 4,61 respectivement). En fixant à zéro l’hyperparamètre saisonnier dans le modèle 4, l’amélioration est seulement marginale et la distribution de $\text{ln}\left({\widehat{\sigma }}_{{\eta }_R}^2\right)$ présente un coefficient négatif d’asymétrie (-0,81) et un coefficient excessif d’applatissement (1,76).

Ces données de simulation semblent indiquer que, dans la modélisation des séries EPA, la préférence pourrait aller au modèle 3 plus parcimonieux, où la seule variance de perturbation BRE est fixée à zéro, mais comme le BRE même dépend du nombre de chômeurs, Statistics Netherlands conserve la variance de cet hyperparamètre à des fins de production afin de garder une souplesse suffisante devant l’évolution progressive du processus sous-jacent.

On peut recourir au test du rapport de vraisemblance pour vérifier si les hyperparamètres de la composante saisonnière et du BRE sont significativement différents de zéro, les modèles 2 à 4 étant imbriqués dans le modèle 1. La variable à tester comporte des valeurs très basses pour les trois autres modèles (0; 0,18 et 0,18 encore pour les modèles 2, 3 et 4, l’absence de différences entre les modèles 2 et 1 et entre les modèles 3 et 4 étant attribuable à la très faible valeur de l’hyperparamètre de la composante saisonnière). Ainsi, ces tests n’indiquent pas que les modèles plus parcimonieux présentent des résultats inférieurs à ceux du modèle 1. Une autre façon d’évaluer l’adéquation des quatre modèles est de les comparer sous l’angle de leur valeur prévisionnelle par la racine carrée des différences quadratiques moyennes (RDQM) entre les estimations ERG et les prédictions des signaux à un pas avant. On peut le faire pour chaque vague séparément : ${\text{RDQM}}^j\mathrm{<mo>=</mo>}1/\left(T-d\right){\displaystyle {\sum }_{t\mathrm{<mo>=</mo>}d}^T}{\left({\widehat{l}}_{t|t-1}^j-Y_t^j\right)}^2,$ $d$ étant égal à 20, 30 et 60 mois. Les résultats figurant en annexe (tableau B.1) montrent cependant qu’il n’y a guère de différence de rendement des quatre modèles dans leur application à la série initiale. Les modèles plus parcimonieux font voir une légère augmentation de la RDQM.

Les reformulations de modèle ne semblent pas influer sur la distribution de l’estimateur du paramètre autorégressif $\rho$ des erreurs d’enquête sur les 1 000 séries simulées : on approche d’assez près la distribution normale et les valeurs vont de 0 à 0,4 quand $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 114},$ ce qui s’accorde avec l’approximation de sa distribution asymptotique à la sous-section 3.3. L’intervalle des valeurs est un peu plus étendu pour les séries temporelles plus courtes et plus étroites quand $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 200.}$ Nous exécutons séparément pour les quatre modèles la procédure de simulation décrite dans la section précédente et l’analyse des méthodes bootstrap.

5.2 Estimation EQM

L’objet de notre étude par simulation est l’estimation EQM de la tendance et du signal de population, ce dernier étant la somme de la tendance et de la composante saisonnière. Nous évaluons le rendement du filtre de Kalman et des cinq méthodes d’estimation EQM à la section 3 en considérant le biais relatif et les EQM des estimateurs EQM. D’abord, nous prenons la moyenne des estimations EQM filtrées en (3.3), (3.4) et (3.7) sur les 1 000 simulations (la moyenne est indiquée par la barre sur ${\overline{\text{EQM}}}_{t|t}),$ alors que, dans le cas des estimations EQM par filtre de Kalman, nous l’établissons sur 10 000 simulations, comme nous l’avons mentionné au début de la section 4. Ces estimations EQM filtrées et mises en moyenne pour le modèle 3 (sauf pour la méthode AA; voir l’explication plus loin) sont décrites aux figures 5.1 à 5.4 pour $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 48},$ $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 80},$ $T=114$ et $T=200$ respectivement. Nous sautons les $d\mathrm{<mo>=</mo>\; 30}$ premiers points temporels de l’échantillon $(d$ devrait dépasser le nombre de points temporels nécessaires au début de la série pour éliminer l’effet d’une initialisation diffuse par le filtre). À noter que l’analyse est fondée sur des estimations filtrées plutôt que lissées, car ce sont les premières qui reproduisent le mieux le processus de production des chiffres officiels. Les EQM des quatre figures sont en configuration décroissante, comme on pouvait s’y attendre, parce que des estimations filtrées augmentent en précision si on dispose de plus d’information dans le temps pour estimer les variables d’état. Une exception à la règle, ce sont les EQM réelles de la figure 5.2. Une explication possible est que, dans cette application, les EQM des signaux sont proportionnelles aux signaux mêmes par les erreurs-types fondées sur le plan et que les EQM réelles reposent sur un autre ensemble (bien plus étendu) de séries simulées (50 000 pour les EQM réelles et 1 000 pour les EQM estimées). On remarquera que les traits de la figure 5.1 paraissent bien plus lisses, puisqu’ils s’étendent sur moins de points temporels. Ajoutons que, dans les figures 5.2 et 5.3, la configuration semble plus irrégulière, l’échelle de l’axe des y étant plus fine si on compare ces figures aux figures 5.1 et 5.4.

Nous calculons le biais relatif en pourcentage comme ${\text{BR}}_t^f\mathrm{<mo>=</mo>\; 100\; <mi>\%</mi>}\left({\overline{\text{EQM}}}_{t|t}^f/{\text{EQM}}_{t|t}^{\text{Réel}}-1\right),$ où $f$ correspond à une méthode d’estimation particulière et où ${\text{EQM}}_{t|t}^{\text{Réel}}$ est défini en (4.2). Les biais EQM relatifs en pourcentage et en moyenne dans le temps (après retrait des $d\mathrm{<mo>=</mo>\; 30}$ premiers points temporels) pour le signal, la tendance et la composante saisonnière sont présentés aux tableaux 5.2, 5.3, 5.4 et 5.5.

Voici les principales conclusions de notre étude par simulation :

1. Pour $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 48}$ et en moyenne dans le temps (à partir de $t\mathrm{<mo>=</mo>\; 31}),$ le biais relatif de l’EQM du signal après application du filtre de Kalman est d’environ -7 %. Ce biais tend à décroître à mesure que s’allonge la série. Le biais de filtre de Kalman (FK) est des plus modestes quand $T=200$ et la situation est telle qu’aucune des méthodes d’estimation n’offre d’amélioration par rapport aux estimations EQM par filtre de Kalman. Nous pourrions toujours appliquer la meilleure méthode d’estimation avec des biais positifs pour dégager une plage de valeurs contenant l’EQM réelle.

2. Nous avons pu voir que la méthode AA (approximation asymptotique) est inapplicable aux modèles comportant des hyperparamètres marginalement significatifs. Quand on estime que certains des hyperparamètres sont proches de zéro, la matrice $I^{-1}\left({\widehat{\theta }}_{\sigma }^{\text{MV}}|{\rho }^a\right)$ est numériquement singulière, d’où un échec de la procédure, ou quasi singulière. Dans ce dernier cas, la variance asymptotique devient excessivement élevée et perd donc toute fiabilité. Cela étant dit, la méthode AA serait uniquement envisageable pour le modèle 4. Comme on pouvait s’y attendre, la méthode donne de piètres résultats avec de courtes séries et laisse des biais positifs d’environ 15 %. Le rendement pour $T=114$ et $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 200}$ est comparable à celui de la méthode bootstrap PT1, mais demeure significativement inférieur à celui de la méthode PT2.

3. Comme on peut immédiatement l’observer, l’emploi du bootstrap RR crée un biais négatif contrairement au bootstrap PT qui engendre un biais positif. À l’encontre de l’affirmation faite par Rodriguez et Ruiz (2012) que leur méthode offre de meilleures propriétés d’échantillon fini que la méthode de Pfeffermann et Tiller (2005), nous pouvons voir dans le cas de l’EPA que les estimations EQM par le bootstrap RR paramétrique ou non créent des biais négatifs plus importants que les estimations EQM par filtre de Kalman à l’échelle des modèles et des longueurs de séries (sauf pour RR2 dans le modèle 4 quand $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 48}$ et dans le modèle 1 quand $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 80}$ et $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 114}).$ Alors que Pfeffermann et Tiller (2005) démontrent que leur méthode bootstrap présente des propriétés asymptotiques satisfaisantes, Rodriguez et Ruiz (2012) illustrent la supériorité de leur méthode dans de petits échantillons avec un modèle simple (à marche aléatoire et à bruit). La présente étude par simulation révèle que le bootstrap RR pourrait mal se comporter dans des applications plus complexes. Les méthodes PT n’ont jamais créé de biais négatifs pour l’EPA, ce qui en établit la « prudence » (sauf pour le bootstrap PT2 dans le modèle 4 quand $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 48}$ où le biais négatif demeure inférieur à celui de l’application du filtre de Kalman). Un autre résultat frappant pour $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 48}$ est que le biais positif du bootstrap PT2 et le biais négatif du bootstrap RR prennent des valeurs très élevées dans le modèle 3. Il reste que, avec une série si courte et autant de composantes non stationnaires comme dans le modèle de l’EPA, il est difficile de tirer des estimations fiables des méthodes bootstrap non paramétriques, puisque la période d’initialisation (avec son échantillon diffus) nécessaire à la production non paramétrique d’une série prend plus du quart de sa durée (13 mois sur 48).

4. Pour les séries de longueur $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 114}$ et $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 80},$ les biais positifs engendrés par la méthode PT2 dépassent légèrement les biais FK en valeur absolue dans les modèles comportant des hyperparamètres non significatifs (modèles 1 et 2). Dans les modèles plus stables (modèles 3 et 4), les biais positifs sont inférieurs aux biais négatifs FK en valeur absolue. Pour $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 48},$ nous présentons les résultats bootstrap seulement pour les modèles 3 et 4 (nous ne tenons pas compte des modèles 1 et 2 qui tendent à la surspécification à cause de problèmes numériques). Comme on pouvait s’y attendre, les biais sont plus importants pour une telle durée des séries : les biais négatifs FK et RR s’accroissent en valeur absolue, tout comme les biais positifs PT, sauf pour le résultat PT2 précité dans le modèle 4.

L’EQM du signal dans le modèle 3, que nous pourrions considérer comme un meilleur choix pour la production des chiffres officiels de l’EPA, est estimée au mieux par la méthode PT2 avec des biais relatifs de 1,4 % et 1,9 % respectivement pour $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 80}$ et $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 114.}$ Le bootstrap PT2 serait aussi la meilleure méthode pour $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 200},$ mais comme nous l’avons fait observer, les biais négatifs FK sont déjà des plus modestes pour des séries de cette longueur. Dans le cas de séries très courtes comme $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 48},$ le bootstrap PT1 paramétrique serait le meilleur.

5. Pour les méthodes PT et RR à la fois (sauf pour RR2 dans le modèle 4 avec $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 48}),$ les valeurs absolues des biais relatifs sont moindres dans le cas des méthodes non paramétriques par rapport aux méthodes paramétriques. La supériorité du bootstrap non paramétrique peut s’expliquer par une distorsion de la normalité de la distribution des erreurs dans les modèles. Ainsi, notre préférence devrait aller aux bootstraps non paramétriques sauf pour des séries chronologiques très courtes.

6. Il n’y a pas que le biais des estimateurs EQM, puisque leur variabilité nous éclaire grandement aussi sur leur fiabilité. Autant que nous sachions, cet aspect n’a pas encore été exposé dans les études statistiques. Les tableaux 5.6 et 5.7 présentent les variances et les EQM des quatre estimateurs EQM bootstrap pour le signal, la tendance et la composante saisonnière dans le cas des longueurs de série les plus intéressantes, à savoir $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 48}$ et $T\mathrm{<mo>=</mo>\; 80}$ (nous ne tenons pas compte des modèles 1 et 2, ni de l’approximation asymptotique en raison des problèmes numériques déjà évoqués). Les EQM des deux estimateurs EQM PT sont plus élevées que celles des deux estimateurs EQM RR tant pour le modèle 3 que pour le modèle 4. Si ces derniers semblent d’un rendement supérieur, comme en témoigneraient leurs EQM moindres, c’est que leurs variances sont plus petites. Toutefois, les biais sont parfois assez élevés pour porter les EQM de ces estimateurs EQM presque au niveau des EQM des estimateurs PT. Plus important encore, les biais des estimateurs EQM RR sont le plus souvent négatifs et dépassent fréquemment ceux des estimateurs par filtre de Kalman. Ce phénomène rend les bootstraps RR difficilement applicables dans le cas qui nous occupe.

Outre les résultats de simulation déjà mentionnés, il est également intéressant de voir si les modèles de séries chronologiques structurels (SCS) continuent d’offrir des estimations plus précises que les estimations de variance fondées sur le plan, même après correction de l’incertitude des hyperparamètres. C’est pourquoi nous mettons en comparaison les racines des EQM (REQM) obtenues avec les différentes procédures d’estimation EQM pour la série initiale $\left(T\mathrm{<mo>=</mo>\; 114}\right),$ d’une part, et les erreurs-types (ET) de l’estimateur ERG. De telles différences moyennes des erreurs-types (DMET) dans le modèle $m$ des séries chronologiques $\left(m\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}4\right\}\right)$ se définissent ainsi : ${\text{DMET}}_m^f\mathrm{<mo>=</mo>}100\mathrm{<mi>\%</mi>}/\left(T-d\right){\displaystyle {\sum }_{t\mathrm{<mo>=</mo>}d}^T}\left[{\text{REQM}}^f\left({\widehat{l}}_{t|t}^m\right)-\text{ET}\left(Y_t\right)\right]/\text{ET}\left(Y_t\right).$ Elles sont présentées au tableau 5.8, ${\widehat{l}}_{t|t}^m$ étant l’estimation filtrée du paramètre réel de population défini comme la tendance et la composante saisonnière dans le modèle $m.$ Nous décrivons les résultats pour le filtre de Kalman (FK) quand nous négligeons l’incertitude des hyperparamètres, ainsi que dans les cas où les cinq méthodes d’estimation EQM sont appliquées dans une prise en compte de cette même incertitude. Nous comparons aussi les REQM réelles en (4.2) aux erreurs-types ERG (« Réel » en ligne au tableau 5.8). À noter que le BRE et, en particulier, les estimations saisonnières des hyperparamètres par l’ensemble de données initial de l’EPA sont plutôt petits. Il n’y a donc pas de différences dignes de mention entre les estimations ponctuelles du signal dans les quatre modèles. La méthode AA, la moins sûre, produit des erreurs-types surestimées (par rapport à la diminution de 18 % à 20 % pour les REQM réelles) à cause des matrices d’information quasi singulières des estimations de maximum de vraisemblance des hyperparamètres. Vu ce phénomène, on devrait se sentir plus en confiance dans l’utilisation des estimateurs PT. Bien que notre étude par simulation indique que le bootstrap PT2 est normalement d’un meilleur rendement que le bootstrap paramétrique PT1, pour cette série en particulier les ET dégagées par le bootstrap PT1 sont les plus proches des REMQ réelles avec une diminution d’environ 20 % des erreurs-types de l’estimation ERG. Ainsi, la modélisation permet une baisse significative de la variance comparativement à une approche plus classique fondée sur le plan, et ce, même après avoir pris en compte l’incertitude des hyperparamètres.

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