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    La revue canadienne de productivité

    Une mise à jour des taux de d’amortissement pour les Comptes canadiens de productivité

    Une mise à jour des taux d’amortissement pour les Comptes canadiens de productivité

    par John Baldwin, Huju Liu et Marc Tanguay

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    Résumé

    Le présent document fournit les estimations mises à jour des taux d’amortissement qu’il convient d’utiliser dans les Comptes canadiens de productivité pour calculer le stock de capital et le coût d’usage du capital. Les estimations sont dérivées des profils de dépréciation établis pour un ensemble varié d’actifs et fondés sur les profils des prix de revente et des âges de mise hors service.

    La méthode du maximum de vraisemblance est appliquée pour estimer conjointement les variations de la valeur des actifs au cours de leur vie utile, ainsi que la nature du processus de cession des actifs employé pour la mise hors service des actifs utilisés, afin de produire les taux d’amortissement. Cette méthode convient mieux que d’autres, car elle produit des estimations dont le biais est plus faible et l’efficacité, plus élevée.

    Les estimations antérieures, calculées pour la période allant de 1985 à 2001, sont comparées à celles obtenues pour la période la plus récente, allant de 2002 à 2010. En moyenne, les estimations du taux d’amortissement pour les bâtiments ne diffèrent pas de manière significative. Les estimations moyennes agrégées pour les machines et le matériel ont augmenté, mais cette hausse résulte principalement du fait que l’effet de composition des catégories dont les taux d’amortissement sont plus élevés (comme les ordinateurs et le matériel de communication) est devenu plus important. Si l’on examine les actifs individuellement, les estimations calculées pour les deux périodes diffèrent rarement l’une de l’autre. Les données pour les deux périodes sont ensuite regroupées afin d’obtenir les estimations qu’il convient d’utiliser pour calculer le stock de capital. Le taux de croissance du stock de capital estimé en utilisant les nouveaux taux d’amortissement est fort semblable à celui estimé par les anciens taux publiés dans Statistique Canada (2007).

    La comparaison des estimations ex post de la durée de vie produites en appliquant la technique susmentionnée aux estimations ex ante de la durée de vie prévue fondées sur des données d’enquête montre que les premières sont à peu près les mêmes que les secondes.

    Sommaire

    Des estimations de la dépréciation sont nécessaires pour appliquer la méthode de l’inventaire permanent, qui consiste à cumuler les estimations des immobilisations antérieures pour obtenir des mesures sommaires de la quantité de capital net affectée au processus de production.

    L’obtention d’estimations du taux d’amortissement pose de nombreuses difficultés. Bien que la dépréciation soit un concept appliqué directement aux comptes des entreprises et qu’il entre dans le calcul de l’impôt qu’elles doivent verser au gouvernement, les estimations habituellement utilisées dans les bilans ne sont pas toujours perçues comme étant celles dont a besoin le programme de productivité. Cela peut tenir à plusieurs raisons, notamment le fait que la déduction pour la dépréciation utilisée à des fins fiscales diffère parfois du taux « réel » parce que le régime fiscal est en retard sur l’évolution de la durabilité et de la longévité des actifs ou qu’il applique délibérément un taux différent du taux « réel » dans le but de stimuler l’investissement.

    Au lieu de tirer simplement les estimations de la dépréciation de sources comptables, les statisticiens ont élaboré d’autres méthodes d’estimation des taux d’amortissement. Tant aux États-Unis qu’au Canada, le taux d’amortissement, c’est-à-dire le taux auquel la valeur de l’actif diminue avec l’usage, est estimé à l’aide des prix des actifs usagés. La différence entre les deux pays tient au fait qu’aux États-Unis, les estimations sont tirées de nombreuses bases de données non reliées qui fournissent les prix du matériel usagé, tandis qu’au Canada, les prix proviennent de la seule Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparations dont les données remontent jusqu’aux années 1980 et dans le cadre de laquelle sont aussi demandés les prix des actifs vendus.

    Le programme des Comptes canadiens de productivité effectue aussi un recoupement de ses estimations de la dépréciation, calculées d’après les prix des actifs usagés, avec les estimations calculées d’après les estimations ex ante de la durée de vie dérivées d’une question de l’Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparations à propos de la durée de vie prévue de l’actif au moment de l’investissement initial, en formulant plusieurs hypothèses au sujet du profil du taux de diminution de la valeur d’un actif en utilisation (appelé taux d’amortissement dégressif ou TAD). Ce dernier est estimé d’après la courbe réelle de diminution dérivée de la trajectoire des prix des actifs usagés au fil du temps.

    La présente étude s’appuie sur les travaux antérieurs (Statistique Canada, 2007). Elle comprend un élargissement de la base de données sur les prix des actifs usagés et l’application de techniques de vérification supplémentaires à ces données. Ces améliorations ont permis de porter le nombre d’observations à environ 52 000, soit une taille qui rend la base de données unique.

    Plusieurs résultats méritent d’être soulignés. En premier lieu, les estimations antérieures décrites dans Statistique Canada (2007) sont généralement confirmées sous plusieurs aspects. Premièrement, les profils de dépréciation produits par les méthodes économétriques sont, dans l’ensemble, accélérés, produisant des courbes âge-prix convexes. La plupart des estimations antérieures ne sont pas modifiées par l’ajout d’observations à la base de données pour une période subséquente. En outre, il existe peu de preuves que les taux d’amortissement ont augmenté ces dernières années, quoiqu’il y ait eu une évolution de la composition des actifs vers ceux dont les taux d’amortissement sont plus élevés, ce qui entraîne une augmentation du taux moyen d’amortissement.

    En deuxième lieu, comme cela était le cas dans Statistique Canada (2007), les estimations calculées suivant l’approche économétrique ex post, en utilisant la trajectoire des prix des actifs usagés, sont du même ordre que celles calculées par la méthode ex ante, en utilisant les estimations de la durée de vie prévue des actifs dérivées de l’Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparations.

    En troisième lieu, les méthodes ex ante et ex post donnent à peu près les mêmes résultats pour les actifs pour lesquels le nombre d’observations est suffisant pour calculer les estimations par les deux méthodes.

    Par conséquent, l’information découlant des deux approches est combinée pour produire, pour les diverses catégories d’actifs, les taux d’amortissement qui sont utilisés pour estimer le stock de capital dans les Comptes canadiens de productivité. Les renseignements ex ante tirés des enquêtes réalisées par Statistique Canada n’ont trait qu’à la durée de vie utile prévue de l’actif. Le calcul d’un taux d’amortissement (géométrique) d’après la durée de vie prévue de l’actif nécessite un paramètre de forme du taux, le TAD. Ce paramètre détermine quelle part de la dépréciation totale au cours de la durée de vie utile a lieu au début de la vie de l’actif. Les comptes de productivité se servent de renseignements sur des actifs similaires pour lesquels la valeur probable du TAD a été inférée par l’approche ex post.

    Les nouveaux taux de croissance du stock de capital et des services de capital obtenus après avoir mis à jour la base de données et apporté de légères améliorations aux méthodes d’estimation diffèrent peu de ceux calculés auparavant.  

    IntroductionNote 1

    Les études de la dépréciation des actifs sont essentielles à l’élaboration des estimations du stock net de capital, qui font appel à la méthode de l’inventaire permanent pour agréger les investissements. Dans le cadre classique de l’inventaire permanent, le stock de capital dont disposent les agents économiques durant la période courante est égal à la somme des investissements courants et de l’investissement net cumulé des périodes antérieures (c.-à-d. le stock de capital brut accumulé moins l’amortissement). Le stock de capital brut cumulé est converti en stock de capital net à l’aide d’estimations des taux d’amortissement.

    À son tour, le stock de capital fait partie intégrante des comptes de productivité. La valeur du stock net de capital disponible pour la production est égale à la valeur du stock brut de capital moins la valeur de l’amortissement, et les estimations de l’amortissement nécessitent des estimations du taux d’amortissement du capital.

    Des divergences entre les profils de dépréciation peuvent produire des perceptions statistiques discordantes de la quantité de capital disponible pour la production. Et, dans la mesure où il existe peu de données probantes permettant de faire la distinction entre les divers profils de dépréciation utilisés pour estimer le stock net de capital, les estimations de la dépréciation sont moins utiles aux clients d’un organisme statistique, car les estimations ponctuelles fournies par ces programmes doivent être assorties de grands intervalles de confiance.

    Le présent document est le troisième d’une série basée sur l’analyse de microdonnées canadiennes sur les prix des actifs usagés pour estimer les courbes de dépréciation économique. En guise de premier exercice, Gellatly, Tanguay et Yan (2002) ont établi des profils de dépréciation et des estimations de la durée de vie utile pour 25 actifs de la catégorie des machines et du matériel et 8 actifs de la catégorie des bâtiments en se servant de données sur les prix des actifs usagés pour la période allant de 1985 à 1996. Ces auteurs ont comparé les estimations produites en utilisant divers cadres d’estimation. Puis, ils en ont choisi un, basé sur un modèle de durée, pour produire des estimations de la dépréciation qu’ils ont intégrées dans les estimations de la croissance du stock de capital et des services du capital utilisées par le programme de productivité de Statistique Canada.

    Dans le deuxième document (Statistique Canada, 2007), la portée de la base de données sur les prix des actifs usagés a été étendue de 1996 jusqu’à 2001 et deux cadres d’estimation supplémentaires ont été appliqués afin de produire des estimations du stock de capital par la méthode de l’inventaire permanent. Cette période de référence plus longue et un plus grand échantillon de prix d’actifs usagés ont fourni plus de 30 000 observations de prix d’actifs usagés pour 49 actifs regroupés en 29 catégories qui, collectivement, englobent la partie non résidentielle du stock de capital. Ce document exposait l’élaboration d’une technique d’estimation qui, fondée sur des expériences de Monte Carlo de grande portée, s’est avérée supérieure aux autres options qui avaient été utilisées antérieurement.

    Les deux documents comparaient les estimations ex post de la dépréciation obtenues selon cette approche à des estimations ex ante provenant d’une autre source de données, à savoir les estimations par sondage de la durée de vie utile « prévue » des actifs. L’Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparations réalisée par Statistique Canada, laquelle génère des prix d’actifs usagés, fournit aussi des estimations de la durée de vie prévue des actifs. Les prix des actifs usagés fournissent des renseignements ex post qui nous indiquent comment se sont comportés les actifs en pratique. Les estimations de la durée de vie utile « prévue », qui sont fournies par les entreprises au moment où a lieu l’investissement, sont des estimations ex ante. Les documents antérieurs révèlent tous deux une grande similarité entre les estimations ex ante et ex post, ce qui étaye les estimations qui se dégagent du cadre d’analyse ex post.

    Dans le présent document, on étend l’ensemble de données de 2002 jusqu’à 2010 et on examine la mesure dans laquelle les taux d’amortissement ont évolué au cours de la période la plus récente. Constatant qu’ils sont demeurés virtuellement inchangés, on regroupe ensuite les données afin d’obtenir de nouvelles estimations qui seront utilisées dans les comptes de productivité.

    La méthode d’estimation, qui est essentiellement la même que celle appliquée dans Statistique Canada (2007), a été élaborée par Tanguay (2005). Il s’agit d’une extension de la méthode en deux étapes (popularisée par Hulten et Wykoff, 1981) qui consiste à modéliser la fonction de mise hors service d’un actif, puis à utiliser cette fonction estimée pour corriger le biais de sélection attribuable au fait que seuls les prix des actifs vendus à un prix positif sont observés et que les actifs mis hors service à un prix nul ne sont pas inclus dans la méthode d’estimation originale. La nouvelle méthode utilisée ici consiste à estimer le processus de mise hors service et le prix de vente conjointement dans un cadre simultané, puisque l’estimation conjointe est plus efficace et vraisemblablement moins biaisée (voir Statistique Canada, 2007).

    À la section 2 du présent document, on passe en revue les diverses questions théoriques et empiriques qui motivent l’étude. Dans la section 3, on discute des propriétés de l’échantillon de données. Dans le cadre de la section 4, on décrit les grandes lignes des techniques économétriques d’estimation. À la section 5, on présente les estimations des taux d’amortissement. Puis, on évalue les estimations du stock de capital calculées d’après les estimations de la dépréciation à la section 6. Finalement, la section 7 est réservée aux conclusions.

    2 Fondements

    2.1 Efficacité et dépréciation

    La présente étude a pour but d’établir des mesures du profil de dépréciation d’un actif durant son utilisation, autrement dit la diminution au fil du temps de la valeur économique d’un actif qui est utilisé dans le processus de production.

    Afin de bien comprendre comment est estimée la dépréciation, il est bon de commencer par examiner le concept d’efficacité ou de capacité productive d’un actif, c’est-à-dire sa capacité à générer un flux de revenus issu de la production de biens et de services au cours de sa vie utile. L’efficacité productive est mesurée par le flux de revenus que l’actif peut produire au fil du temps. Au fur et à mesure qu’augmente l’usure ou la désuétude de l’actif, le flux de revenus que celui-ci produit diminue généralement. Le graphique 1 représente ce processus au moyen de plusieurs profils distincts que l’on suppose être connus avec certitude.

    Graphique 1 de la revue canadienne de productivité 15-206-x2015039

    Description du graphique 1

    Quatre profils courants d’efficacité sont présentés, en commençant par le profil appelé « one-hoss-shay » ou profil d’efficacité constanteNote 2. Les actifs qui possèdent un profil d’efficacité de type « one-hoss-shay » produisent un flux constant de revenus durant leur vie productive T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamivaaaa@36D0@ . Ils retiennent leur pleine capacité de produire des biens et des services, et génèrent un flux constant de revenus périodiques jusqu’à la fin de leur vie utile. Une deuxième catégorie d’actifs peut être caractérisée par un profil d’efficacité concave vers l’origine. Dans ce cas, la diminution de l’efficacité est plus prononcée durant les dernières périodes de la vie utile de l’actif que durant les premières. Ce processus est souvent représenté par un profil hyperbolique. Une troisième catégorie d’actifs présente un profil d’efficacité linéaire. Leur capacité productive et les revenus périodiques qu’ils produisent diminuent par paliers linéaires progressifs au cours de leur cycle de vie. La quatrième catégorie d’actifs présente un profil des flux de revenus (ou d’efficacité) qui diminuent à un taux géométrique constant.

    À chaque profil d’efficacité est associée un profil de dépréciation économique, défini comme étant la diminution de la valeur de l’actif (ou du prix de l’actif) associée au vieillissement (Fraumeni, 1997), selon l’hypothèse qu’à tout point dans le temps, la valeur de l’actif devrait refléter la valeur actualisée nette du flux de revenus futurs auxquels s’attend le propriétaire de l’actif. Toutes choses étant égales par ailleurs, un actif ancien a moins de possibilités de produire des revenus qu’un actif plus récent, ce qui réduit la valeur économique du premier.

    La fonction f ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NzaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@393C@  sera utilisée ici pour désigner la perte de valeur d’un actif par unité de temps  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@ . Les courbes de dépréciation économique qui correspondent aux profils d’efficacité présentés au graphique 1 sont présentées au graphique 2. Ces relations stylisées entre l’efficacité et la dépréciation de l’actif reposent sur plusieurs simplifications, à savoir, premièrement, que les durées de vie utile et les courbes d’efficacité sont connues avec certitude; deuxièmement, que le prix de l’actif reflète la valeur actualisée du flux de revenus futurs, ces revenus étant une fonction linéaire de la capacité de l’actif; et troisièmement, que les revenus futurs ne sont pas actualisés.

    Graphique 2 de la revue canadienne de productivité 15-206-x2015039

    Description du graphique 2

    Selon ces hypothèses, les profils d’efficacité constante (« one-hoss-shay ») donnent lieu à des courbes de dépréciation linéaires, car la valeur des actifs les plus anciens, s’ils continuent de produire les mêmes revenus périodiques que leurs analogues plus récents, diminue d’une quantité constante par périodeNote 3. Les profils d’efficacité linéaires sont des courbes de décroissance plus accélérée, les pertes de valeur étant plus prononcées au début qu’à la fin de la vie utile de l’actif. Les courbes d’efficacité hyperboliques, linéaires et géométriques donnent lieu à un profil âge-prix convexe vers l’origineNote 4.

    Obtenir les représentations algébriques des concepts d’efficacité et de dépréciation dans des conditions de certitude ne pose pas de difficulté. Considérons, pour simplifier, le cas du profil « one-hoss-shay » (efficacité constante), dans lequel la capacité de l’actif n’est pas réduite au cours de sa vie productive.

    Soit Q ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xuaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@3927@  l’indice d’efficacité pour des âges particuliers y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xEaa aa@36FB@ . La variable y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xEaa aa@36FB@  représente le temps auquel un atome de la valeur intégrée dans l’actif est perdu. f ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NzaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@393C@  représente la perte de valeur par unité de temps. L’utilisation de l’actif pendant une période épuise la quantité constante de valeur qu’il pourrait produire. La normalisation sur T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvaa aa@36D6@  afin que f ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NzaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@393C@  ait la caractéristique d’une fonction de densité donne

    f(y)= Q(y) 0 T Q(y)dy pour  0<y<T,0  ailleurs.       (1) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NzaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaiabg2da9maalaaabaGaamyuaiaacIca caWG5bGaaiykaaqaamaapehabaGaamyuaiaacIcacaWG5bGaaiykai aaykW7caWGKbGaamyEaaWcbaGaaGimaaqaaiaadsfaa0Gaey4kIipa aaGccaaMi8UaaGjcVlaadchacaWGVbGaamyDaiaadkhacaaMi8UaaG jcVlaayIW7caaIWaGaeyipaWJaamyEaiabgYda8iaadsfacaGGSaGa aGjcVlaayIW7caaMi8UaaGjcVlaayIW7caaIWaGaaGjcVlaayIW7ca aMi8UaamyyaiaadMgacaWGSbGaamiBaiaadwgacaWG1bGaamOCaiaa dohacaGGUaGaaCzcaiaaxMaacaGGOaGaaGymaiaacMcaaaa@71F1@

    Si Q ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xuaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@3927@  est constant comme cela est le cas pour le profil « one-hoss-shay », f ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NzaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@393C@  suit une loi uniforme entre 0 et T . MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvai aa=5caaaa@3785@  La perte de valeur sera répartie uniformément sur la durée de vie utile de l’actif.

    Alors,

    f(y)=1/Tpour  0<y<T, 0  ailleurs.       (2) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NzaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaiaa=1dacaWFXaGaa83laiaa=rfacaaM i8UaaGjcVlaa=bhacaWFVbGaa8xDaiaa=jhacaWFGaGaa4hmaiaa=X dacaWF5bGaa8hpaiaa=rfacaWFSaGaa8hiaiaa=bcacaGFWaGaa8hi aiaa=fgacaWFPbGaa8hBaiaa=XgacaWFLbGaa8xDaiaa=jhacaWFZb Gaa8NlaiaaxMaacaWLjaGaaiikaiaaikdacaGGPaaaaa@5668@

    et l’espérance est donnée par

    E(y)= 0 T yf(y)dy =| T 0 y 2 2T =T/2.       (3) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyraiaacI cacaWG5bGaaiykaiabg2da9maapehabaGaamyEaiaaykW7caWGMbGa aiikaiaadMhacaGGPaGaaGPaVlaadsgacaWG5baaleaacaaIWaaaba GaamivaaqdcqGHRiI8aOGaeyypa0ZaaqqaaeaafaqabeWabaaaleaa caWGubaakeaaaSqaaiaabcdaaaaakiaawEa7amaalaaabaGaamyEam aaCaaaleqabaWaaWbaaWqabeaacaaIYaaaaaaaaOqaaiaaikdacaWG ubaaaiabg2da9iaadsfacaGGVaGaaGOmaiaayIW7caaMi8UaaiOlai aaxMaacaWLjaGaaiikaiaaiodacaGGPaaaaa@59FF@

    La durée de vie prévue d’un dollar investi dans l’actif sera égale à la moitié de la durée de vie prévue de l’actif proprement dit.

    Or, la durée de vie prévue d’un dollar investi est simplement la période moyenne sur laquelle est perdu un dollar d’investissement. Son inverse est juste le taux moyen d’amortissementNote 5. De l’équation (3), il découle par conséquent que la dépréciation moyenne est égale à 2 / T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8Nmai aa=9cacaWFubaaaa@3839@ .

    Dans certaines routines d’estimation de la dépréciation, les taux d’amortissement ont été calculés indirectement en partant des estimations de la durée de vie ( T ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbaGaa8hkaG qaciaa+rfacaWFPaaaaa@3831@   d’un actif établies d’après le code de l’impôt comme étant

    δ= TAD T       (4) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiTdqMaey ypa0ZaaSaaaeaacaWGubGaamyqaiaadseaaeaacaWGubaaaiaaxMaa caWLjaGaaiikaiaaisdacaGGPaaaaa@3F4D@

    T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvaa aa@36D6@  est la durée de vie utile, et T A D MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamivaiaadg eacaWGebaaaa@385E@  (le taux d’amortissement dégressif) doit être choisi.

    Comme le montre l’équation (3), dans le cas du profil « one-hoss-shay », la valeur du T A D MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamivaiaadg eacaWGebaaaa@385F@  choisie doit être égale à 2, afin de fournir un taux moyen d’amortissement quand T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvaa aa@36D6@  est connu. De manière plus générale, le taux moyen d’amortissement peut toujours être calculé comme l’inverse de E ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xraG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@391B@ Note 6.

    La fonction de densité cumulative de y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaaaa@36F4@ , notée  F ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NraG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@391C@ , représente la proportion totale de la valeur initiale perdue depuis le début de la mise en service de l’actif. Par conséquent, on peut exprimer la dépréciation économique par 1 moins  F ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NraG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@391C@ , ce qui donne  S ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa83uaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@3929@ , ladite fonction de survie.

    Alors

    S(y)=1 f(y)dy=1F(y) .       (5) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uaiaacI cacaWG5bGaaiykaiabg2da9iaaigdacqGHsisldaWdbaqaaiaadAga caGGOaGaamyEaiaacMcacaWGKbGaamyEaiabg2da9iaaigdacqGHsi slcaWGgbGaaiikaiaadMhacaGGPaaaleqabeqdcqGHRiI8aOGaaiOl aiaaxMaacaWLjaGaaiikaiaaiwdacaGGPaaaaa@4CDF@

    Quand le profil d’efficacité est constant, la dépréciation économique est une fonction linéaire décroissante, comme l’illustre le graphique 2.

    Le profil de capacité constante est souvent modifié afin d’obtenir une réduction progressive de la capacité productive de l’actif au début de sa vie utile et une augmentation rapide du déclin à mesure que l’actif approche du terme de sa durée de vie utile  T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvaa aa@36D6@ . Ce genre de modification produit une courbe de capacité concave. La fonction hyperbolique, qui est utilisée par le Bureau of Labor Statistics (BLS), est une forme fonctionnelle qui donne un profil de capacité concave et qui s’écrit

    Q(y)=(Ty)/(Tβy),       (6) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyuaiaacI cacaWG5bGaaiykaiabg2da9iaacIcacaWGubGaeyOeI0IaamyEaiaa cMcacaGGVaGaaiikaiaadsfacqGHsislcqaHYoGycaWG5bGaaiykai aacYcacaWLjaGaaCzcaiaacIcacaaI2aGaaiykaaaa@48C4@

    β MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdigaaa@3798@  est un paramètre de forme. La borne supérieure de β MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdigaaa@3798@  est 1, ce qui correspond au cas d’une capacité constante à la fin de la vie utile T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvaa aa@36D6@ . Pour  0 <  β < 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeimaiaabc cacaqG8aGaaeiiaiabek7aIjabgYda8iaabgdaaaa@3C07@ , la courbe de capacité sera concave (voir le graphique 3). Si  β  = 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdiMaae iiaiaab2dacaaMe8Uaaeimaaaa@3B3A@  , elle devient linéaire décroissante. Pour les valeurs négatives de β MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdigaaa@3798@ , la courbe de capacité devient convexe.

    La densité du profil de capacité hyperbolique est :

    f(y)= (Ty) β 2 (Tβy)T[ ( 1β )ln(1β)+β ] pour0<y<T,0ailleurs.       (7) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI cacaWG5bGaaiykaiabg2da9maalaaabaGaaiikaiaadsfacqGHsisl caWG5bGaaiykaiabek7aInaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOqaaiaacI cacaWGubGaeyOeI0IaeqOSdiMaamyEaiaacMcacaWGubWaamWaaeaa daqadaqaaiaaigdacqGHsislcqaHYoGyaiaawIcacaGLPaaaciGGSb GaaiOBaiaacIcacaaIXaGaeyOeI0IaeqOSdiMaaiykaiabgUcaRiab ek7aIbGaay5waiaaw2faaaaacaaMi8UaaGjcVlaadchacaWGVbGaam yDaiaadkhacaaMi8UaaGjcVlaayIW7caaIWaGaeyipaWJaamyEaiab gYda8iaadsfacaGGSaGaaGjcVlaayIW7caaMi8UaaGimaiaayIW7ca aMi8UaaGjcVlaadggacaWGPbGaamiBaiaadYgacaWGLbGaamyDaiaa dkhacaWGZbGaaiOlaiaaxMaacaWLjaGaaiikaiaaiEdacaGGPaaaaa@7E14@

    Quand  β = 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdiMaey ypa0Jaaeymaaaa@3951@ f ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NzaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@393C@  se réduit à la densité d’une loi uniforme.

    La fonction de densité cumulative de  y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xEaa aa@36FB@ F ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NraG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@391C@ , est donnée par :

    F(y)= T(1β)ln(Tβy)+yβ T[ (1β)ln(1β)+β ] .       (8) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOraiaacI cacaWG5bGaaiykaiabg2da9maalaaabaGaamivaiaacIcacaaIXaGa eyOeI0IaeqOSdiMaaiykaiGacYgacaGGUbGaaiikaiaadsfacqGHsi slcqaHYoGycaWG5bGaaiykaiabgUcaRiaadMhacqaHYoGyaeaacaWG ubWaamWaaeaacaGGOaGaaGymaiabgkHiTiabek7aIjaacMcaciGGSb GaaiOBaiaacIcacaaIXaGaeyOeI0IaeqOSdiMaaiykaiabgUcaRiab ek7aIbGaay5waiaaw2faaaaacaGGUaGaaCzcaiaaxMaacaGGOaGaaG ioaiaacMcaaaa@5F53@

    Comme il faut s’y attendre, si  β = 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdiMaey ypa0Jaaeymaaaa@3951@ , l’expression se réduit à la forme linéaire  F ( y ) =  y / T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8Nrai aabIcacaWF5bGaaeykaiaabccacaqG9aGaaeiiaiaa=LhacaqGVaGa a8hvaaaa@3DA0@ . Quand  β = 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdiMaey ypa0Jaaeimaaaa@3950@ , l’expression susmentionnée est indéterminée, mais elle converge vers une quadratique.

    Graphique 3 de la revue canadienne de productivité 15-206-x2015039

    Description du graphique 3

    Les courbes de dépréciation produites par cette fonction de survie dépendent de la valeur de β MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdigaaa@3798@ . Le graphique 4 donne des exemples de courbes de dépréciation économique établies pour diverses valeurs de  β MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdigaaa@3798@ . Quand  β < 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOSdiMaaG jbVlaabYdacaqGGaGaaeymaaaa@3B3A@ , la courbe de dépréciation est toujours convexe.

    Graphique 4 de la revue canadienne de productivité 15-206-x2015039

    Description du graphique 4

    Dans le présent document, on utilise une autre forme fonctionnelle, plus facile à manipuler, pour représenter un profil de capacité concave, c’est-à-dire

    f(y)= k+1 kT [ 1 ( y T ) k ].       (9) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI cacaWG5bGaaiykaiabg2da9maalaaabaGaam4AaiabgUcaRiaaigda aeaacaWGRbGaaGPaVlaadsfaaaWaamWaaeaacaaIXaGaeyOeI0Yaae WaaeaadaWcaaqaaiaadMhaaeaacaWGubaaaaGaayjkaiaawMcaamaa CaaaleqabaGaam4AaaaaaOGaay5waiaaw2faaiaac6cacaWLjaGaaC zcaiaacIcacaaI5aGaaiykaaaa@4C72@

    Le profil d’efficacité donné par cette fonction sera concave pour toute valeur de  k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4Aaaaa@36E7@  comprise entre 1 (linéaire décroissante) et l’infini (constante, « one-hoss-shay »). L’espérance de  y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaaaa@36F5@  sera

    E(y)=T[ k+1 2( k+2 ) ].       (10) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyraiaacI cacaWG5bGaaiykaiabg2da9iaadsfadaWadaqaamaalaaabaGaam4A aiabgUcaRiaaigdaaeaacaaIYaWaaeWaaeaacaWGRbGaey4kaSIaaG OmaaGaayjkaiaawMcaaaaaaiaawUfacaGLDbaacaGGUaGaaCzcaiaa xMaacaGGOaGaaGymaiaaicdacaGGPaaaaa@491C@

    Cela signifie que le TAD associé à l’équation (10) est

    TAD=[ 2( k+2 ) k+1 ]       (11) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamivaiaadg eacaWGebGaeyypa0ZaamWaaeaadaWcaaqaaiaaikdadaqadaqaaiaa dUgacqGHRaWkcaaIYaaacaGLOaGaayzkaaaabaGaam4AaiabgUcaRi aaigdaaaaacaGLBbGaayzxaaGaaCzcaiaaxMaacaGGOaGaaGymaiaa igdacaGGPaaaaa@46D9@

    L’équation (11) offre un moyen facile d’établir une correspondance entre les paramètres du profil de capacité et le TAD. La valeur de ce dernier sera comprise entre 2 et 3.

    La fonction de densité cumulative reliée à l’équation (9) est

    F(y)= k+1 k  T [ y y k+1 ( k+1 ) T k ].       (12) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOraiaacI cacaWG5bGaaiykaiabg2da9maalaaabaGaam4AaiabgUcaRiaaigda aeaacaWGRbGaaGPaVlaadsfaaaWaamWaaeaacaWG5bGaeyOeI0YaaS aaaeaacaWG5bWaaWbaaSqabeaacaWGRbGaey4kaSIaaGymaaaaaOqa amaabmaabaGaam4AaiabgUcaRiaaigdaaiaawIcacaGLPaaacaWGub WaaWbaaSqabeaacaWGRbaaaaaaaOGaay5waiaaw2faaiaac6cacaWL jaGaaCzcaiaacIcacaaIXaGaaGOmaiaacMcaaaa@529A@

    Divers profils de capacité obtenus en utilisant cette forme fonctionnelle et le TAD qui y est associé sont présentés au graphique 5.

    Graphique 5 de la revue canadienne de productivité 15-206-x2015039

    Description du graphique 5

    2.2 Efficacité et dépréciation économique dans un contexte d’incertitude

    Dans les conditions réelles, le moment de la mise hors service ( T ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbaGaa8hkaG qaciaa+rfacaWFPaaaaa@3831@  n’est pas connu avec certitude, parce que certains actifs sont mis hors service avant le temps  T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvaa aa@36D6@  et d’autres, après celui-ci. Par conséquent, on devrait traiter  T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvaa aa@36D6@  comme une variable aléatoire. Dans ce cas, les profils de prix devraient être de forme convexe, même si le profil d’efficacité de l’actif est constant.

    Lorsqu’une population se compose d’actifs possédant chacun un profil d’efficacité de type « one-hoss-shay » (efficacité constante) et une mise hors service à des temps t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@  différents, on peut modéliser le temps de la mise hors service comme une variable aléatoire de moyenne T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvaa aa@36D6@ , mais cette variable possédera aussi le type de variance asymétrique d’une fonction de Weibull. Dans ce cas, on peut démontrer que la courbe des prix de l’actif est convexe, comme l’est la fonction géométrique discutée plus hautNote 7.

    En guise d’illustration, examinons l’exemple qui suit.

    Soit f ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NzaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@393C@  une fonction représentant la perte de valeur par unité de temps t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@  et  T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvaa aa@36D6@ , la durée de vie de l’actif. Supposons que  f ( y | t ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8Nzai aaysW7ieaacaGFOaGaa8xEaiaa=XhacaWFGaGaa8hDaiaa+Lcaaaa@3D5C@  correspond au profil de capacité ou d’efficacité constante et est  ( 1 / t ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbaGaa8hkai aa=fdaieGacaGFVaGaa4hDaiaa=Lcaaaa@39B2@ , et que la distribution des temps de mise hors service,  f ( t ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8Nzai aaysW7ieaacaGFOaGaa8hDaiaa+Lcaaaa@3AC4@ , suit une loi de Weibull de paramètres  λ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWgaaa@37AB@  et  ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyWdihaaa@37B7@ ; c.-à-d.,

    f(t)= λ ρ ρ t (ρ1) e ( ( λt ) ρ ) .       (13) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI cacaWG0bGaaiykaiabg2da9iabeU7aSnaaCaaaleqabaGaeqyWdiha aOGaeqyWdiNaaGjcVlaadshadaahaaWcbeqaaiaacIcacqaHbpGCcq GHsislcaaIXaGaaiykaaaakiaadwgadaahaaWcbeqaaiabgkHiTmaa bmaabaWaaeWaaeaacqaH7oaBcaaMc8UaamiDaaGaayjkaiaawMcaam aaCaaameqabaGaeqyWdihaaaWccaGLOaGaayzkaaaaaOGaaiOlaiaa xMaacaWLjaGaaiikaiaaigdacaaIZaGaaiykaaaa@573E@

    La fonction de Weibull est une forme fonctionnelle d’usage répandu qui tient compte de l’asymétrie des distributions et qui a l’avantage d’être spécifiée au moyen de deux paramètres seulement. La fonction de mise hors service de l’actif est vraisemblablement asymétrique, un plus grand nombre d’actifs étant mis hors service tôt dans leur vie productive que tard dans celle-ci. Ses deux premiers moments sont de simples fonctions des deux paramètres et sont relativement faciles à estimer.

    Puisque  y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaaaa@36F5@  et  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@  suivent maintenant une loi conjointe, l’efficacité ou la capacité prévue n’est plus constante dans ce modèle, même si on suppose encore que chaque actif est caractérisé par une courbe de capacité constante, et est une fonction des paramètres de Weibull. Le graphique 6 représente la capacité prévue au fil du temps pour différentes lois de Weibull. Les diverses lois sont définies en fonction de la taille du coefficient de variation produit par différentes valeurs de ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyWdihaaa@37B7@  et  λ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWgaaa@37AB@ . La courbe de capacité prévue est d’autant plus convexe que le coefficient de variation de la durée de vie prévue (une fonction de ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyWdihaaa@37B7@  et  λ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWgaaa@37AB@  ) est grandNote 8.

    Maintenant que la capacité prévue est une fonction convexe du temps, la valeur prévue de l’actif suit aussi une trajectoire convexe, plutôt que la trajectoire linéaire obtenue pour une fonction de rendement de l’investissement à capacité fixe et une date de mise hors service fixe. Le graphique 7 illustre les profils de dépréciation économique générés par diverses fonctions de Weibull pour le processus de mise hors service et une fonction de capacité constante.

    Graphique 6 de la revue canadienne de productivité 15-206-x2015039

    Description du graphique 6

    Graphique 7 de la revue canadienne de productivité 15-206-x2015039

    Description du graphique 7

    3 Source des données

    Les données sur lesquelles s’appuie la présente étude proviennent de l’Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparations réalisée annuellement par la Division de l’investissement et du stock de capital de Statistique Canada auprès d’un échantillon d’établissements auxquels on demande de fournir des renseignements sur les ventes et les mises hors service d’actifs fixes.

    L’enquête fournit des données détaillées sur la catégorie d’actifs, la valeur comptable brute, le prix de vente et l’âge de chaque actif vendu ou mis hors service. La valeur comptable brute correspond à la valeur originale de l’investissement plus la valeur des améliorations capitalisées qui ont eu lieu au cours de la vie de l’actif. Des indices d’ajustement des prix des immobilisations ont été utilisés pour exprimer tous les prix en dollars réels.

    L’unité de base utilisée dans le présent document est un ratio de survie de la valeur de l’actif original, observé à un certain âge t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36EF@ . Pour une observation  i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyAaaaa@36E4@  dans l’échantillon, le ratio de survie est donné par

    R i t = P V i t VC B i       (14) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaBa aaleaacaWGPbaabeaakmaaCaaaleqabaGaamiDaaaakiabg2da9maa laaabaGaamiuaiaadAfadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGcdaahaaWcbe qaaiaadshaaaaakeaacaWGwbGaam4qaiaadkeadaWgaaWcbaGaamyA aaqabaaaaOGaaCzcaiaaxMaacaGGOaGaaGymaiaaisdacaGGPaaaaa@45DF@

    où  P V i t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8huai aa=zfadaqhaaWcbaGaamyAaaqaaiaadshaaaaaaa@39BD@  est le prix de vente ou de mise hors service de l’actif  i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyAaaaa@36E5@  à l’âge  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hDaa aa@36F6@ , et  V C B MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8Nvai aa=neacaWFcbaaaa@385F@  est la valeur comptable brute de l’actif. Le numérateur et le dénominateur sont exprimés tous deux en dollars constants.  R i t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaBa aaleaacaWGPbaabeaakmaaCaaaleqabaGaamiDaaaaaaa@3917@  est donc la part de la valeur de l’actif qui reste lorsque l’actif est vendu à un âge  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hDaa aa@36F6@  donné. Si l’actif a été mis hors service sans être vendu,  R i t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaBa aaleaacaWGPbaabeaakmaaCaaaleqabaGaamiDaaaaaaa@3917@  est égal à 0, parce que le prix de vente est nul.

    Les études qui s’appuient sur les prix du marché pour estimer les profils de dépréciation doivent tenir compte des problèmes de fiabilité des donnéesNote 9. Habituellement, les échantillons d’actifs usagés ne fournissent pas de renseignements sur les mises hors service, situation qui, à son tour, biaise fortement l’estimation des profils de dépréciation. La base de données utilisée pour la présente étude contient ces renseignements. Le document précédent (Statistique Canada, 2007) portait sur une période de déclaration de 15 ans (de 1985 à 2001).

    L’échantillon comprenait 30 350 observations sur 43 actifs après l’application des routines de contrôleNote 10. La nouvelle base de données qui a été utilisée pour la présente étude contenait des observations additionnelles pour la période de 2002 à 2010. Après l’application du processus de filtrage à la nouvelle base de données, celle-ci contenait 22 129 observations supplémentaires sur 32 actifs usagés. Le tableau 1 présente la ventilation des observations pour chaque actif et pour les deux périodes de référence.

    Des contrôles ont aussi été nécessaires pour traiter ce qui semblait être des observations aberrantes. Dans certains cas, il s’agissait d’un grand nombre d’observations pour lesquelles le prix n’était pas nul, mais proche de zéro. Il est probable que bon nombre de ces observations représentaient, en fait, une valeur à la casse au lieu d’une valeur de survie de l’actif. Donc, ces observations ont été classées comme des mises hors service. Pour cela, on a utilisé une borne inférieure de 0,06 sous laquelle un rapport de prix a été considéré comme indicatif d’un retrait. En outre, on a écarté les observations aberrantes pour les actifs à longue durée de vie dont la valeur redevenait proche du prix d’achat original.

    On a également relevé un problème de préférence de chiffres chez les répondants, comme en témoigne l’existence de grappes d’observations pour lesquelles la valeur de la durée de vie correspondait à un chiffre arrondi comme 5, 10, 15 ou 20 ans. Ce problème, typique de nombreuses enquêtes, a lieu parce que certains répondants ont tendance à arrondir les valeurs des durées de vie qu’ils déclarent. Cette tendance à arrondir l’âge peut avoir une incidence sur l’exactitude des estimations. Par conséquent, on a étendu la correction pour la préférence des chiffres qui est décrite dans Gellatly, Tanguay et Yan (2002) à tous les âges, jusqu’à 45 ans, en utilisant une fonction de vraisemblance modifiée pour ces âges arrondis.

    Bien que la base de données offre une occasion unique d’estimer les courbes de dépréciation au moyen de données sur les prix des actifs usagés, il convient de souligner que cette approche n’est valide que dans la mesure où ces prix reflètent la valeur d’actifs représentatifs et non celle d’actifs de qualité inférieure ou « citrons »Note 11. Si les actifs vendus sur les marchés d’occasion sont de qualité inférieure à ceux que les propriétaires gardent en production, les prix observés présenteront un biais à la baisse. La mesure dans laquelle le problème des actifs de qualité inférieure ou « citrons » limite l’utilité des études portant sur les actifs usagés dépend entre autres des perceptions quant à la portée du problème des « citrons » et à l’incapacité des marchés à résoudre les problèmes informationnels. Par exemple, l’arrivée d’intermédiaires de marchés qui fournissent des renseignements sur les actifs usagés aux acheteurs éventuels réduit les déséquilibres informationnels.

    Il convient de souligner que la stratégie de contrôle des données permet d’éliminer une partie des actifs de qualité inférieure les plus évidents, c’est-à-dire les observations pour lesquelles la valeur de revente est très faible, comparativement à des actifs semblables au début de leur vie utile, et une valeur élevée à un stade plus avancé de leur vie. De surcroît, les estimations de la dépréciation calculées ici d’après les prix des actifs usagés sont comparées à d’autres estimations, afin de vérifier leur exactitude. Dans le présent document et dans les documents antérieurs, les estimations calculées en se servant des prix des actifs usagés, qui peuvent présenter un problème de sélection d’échantillon, sont comparées aux estimations calculées d’après les estimations ex ante de la durée de vie établie au moment de l’investissement initial, pour valider les résultats.

    Afin de tenir compte des problèmes que peut poser l’emploi des prix des actifs usagés, les estimations sont limitées aux actifs (principalement les machines et le matériel) pour lesquels le marché de la revente est raisonnablement actif. Par exemple, pour la catégorie des travaux de génie, moins de 40 % des observations contenaient une valeur positive de prix et environ la moitié de celles qui en contenaient une présentaient un ratio des prix inférieur à 6 %. Par conséquent, on a éliminé les travaux de génie de la procédure d’estimation. On n’a retenu que quelques catégories de bâtiments pour lesquels existait un nombre raisonnable de transactions, si bien que l’on pourrait s’attendre à ce que le cadre économétrique donne de moins bons résultats pour ces actifs. Les observations qui fournissent la plupart des estimations correspondent principalement à des actifs de la catégorie des machines et du matériel (environ 46 000 observations en tout, de 1985 à 2010). Les données permettent d’estimer les taux d’amortissement directement pour 27 grandes catégories d’actifs parmi les 155 actifs pour lesquels Statistique Canada recueille des renseignements pour son programme de données sur l’investissement.

    Enfin, des réserves sont souvent émises quant à la représentativité des résultats lorsque ceux-ci sont fondés sur de petits échantillons. La plupart des travaux empiriques sur la dépréciation des immobilisations de Hulten et Wykoff (1981) se fondent sur de petits échantillons portant sur un nombre limité d’actifs. À cet égard, notre base de données offre l’avantage de contenir un grand ensemble de données diversifiées sur les prix fondé sur l’Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparations, qui est une enquête annuelle complète réalisée par Statistique Canada. Sur la période de référence complète allant de 1985 à 2010, le nombre moyen d’observations par actif est d’environ 1 200, le nombre minimal est de 74 et le nombre maximal est de 6 954.

    Les principales statistiques sur les échantillons utilisés pour produire les estimations sont présentées aux tableaux 2 et 3, y compris les moyennes et les écarts-types du ratio des prix de revente, l’âge à la revente et l’âge de mise hors service par actif. En moyenne, le ratio des prix de revente est plus élevé pour les actifs de la catégorie des bâtiments que pour ceux de la catégorie des machines et du matériel. De 1985 à 2001, le ratio moyen des prix de revente était égal à 0,38 pour les bâtiments et à 0,27 pour les machines et le matériel (tableau 2). De 2002 à 2010, le ratio moyen des prix de revente était de 0,39 pour les bâtiments et de 0,32 pour les machines et le matériel (tableau 3). Les âges à la revente et à la mise hors service sont, en moyenne, deux fois plus élevés pour les bâtiments que pour les machines et le matériel. Par exemple, de 1985 à 2001, l’âge moyen à la revente était de 16 ans pour les bâtiments contre 8 ans pour les machines et le matériel.

    D’une période de référence à l’autre, on ne constate que peu de changements pour les bâtiments ainsi que pour les machines et le matériel. Pour les bâtiments, le ratio moyen des prix de revente et l’âge moyen à la revente étaient de 0,38 et de 16 ans, respectivement, pour la période de 1985 à 2001, comparativement à 0,39 et à 15 ans, respectivement, pour la période de 2002 à 2010. Pour les machines et le matériel, les chiffres correspondants sont de 0,27 et de 8 ans, pour la première période, contre 0,32 et 8 ans pour la seconde. La variation la plus importante a trait à l’âge de mise hors service pour les bâtiments. L’âge moyen de mise hors service pour les bâtiments n’est que de 14 ans pour la période allant de 2002 à 2010, comparativement à 22 ans pour la période antérieure, soit une réduction d’environ un tiers. Pour les machines et le matériel, la réduction de l’âge de mise hors service n’est pas significative.

    4 Cadre d’estimation

    La méthode d’estimation utilisée ici repose sur les travaux originaux de Hall (1971) et de Hulten et Wykoff (1981), et fait appel à la méthodologie économétrique élaborée dans Statistique Canada (2007) par Tanguay. L’étude antérieure publiée dans Statistique Canada (2007) s’appuyait sur plusieurs formes convexes de profils âge-prix, à savoir une Weibull, une exponentielle et la forme générale décrite par l’équation (9), et diverses méthodes d’estimation, pour finalement choisir une expérience de Monte Carlo qui s’était avérée avoir le biais le plus faible et être la plus efficace.

    Très souvent utilisée en analyse de durée, la loi de Weibull est un modèle paramétrique souple, caractérisé par deux paramètres, qui permet d’utiliser des taux d’amortissement variant avec l’âge, mais peut être contraint à produire des taux constants (exponentiels) qui sont directement comparables aux taux géométriques habituellement utilisés en comptabilité pour calculer l’amortissement. On a choisi le troisième modèle général pour répondre à la question de savoir quelle serait la forme de la courbe si on avait une fonction de mise hors service de Weibull et un profil d’efficacité générale concave. L’équation dérivée qui caractérise le profil âge-prix résultant nécessite l’estimation de trois paramètres.

    Auparavant, on avait constaté que les diverses formes fonctionnelles choisies ne présentaient pas d’écart significatif pour la variable estimée ici, c’est-à-dire le taux moyen d’amortissement. Les estimations calculées du taux moyen d’amortissement dépendaient moins de la forme fonctionnelle choisie que de l’utilisation de données représentatives de la population complète de transactions concernant les actifs et de procédures de contrôle éliminant les observations aberrantes dans les deux queues de la distribution de l’âge, autrement dit, les actifs très récents et les actifs très vieux.

    4.1 Modèle de survie

    Pour commencer, considérons la détermination de la valeur d’un actif dans le cadre classique du maximum de vraisemblance.

    Soit D MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiraaaa@36C0@  une variable indicatrice décrivant les deux états possibles d’un actif donné, et soit  D = 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hrai aa=1daieaacaGFXaaaaa@383E@  quand l’actif est « mort » ou mis hors service (c.-à-d. que son prix de vente est nul) et  D = 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hrai aa=1daieaacaGFWaaaaa@383D@  autrement. La vraisemblance d’observer un âge  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@  est donnée par

    (t)=f (t) D S (t) (1D)       (15) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeS4eHWgcba Gaa8hkaGqaciaa+rhacaWFPaGaa8xpaiaa+zgacaWFGaGaa8hkaiaa +rhacaWFPaWaaWbaaSqabeaacaWGebaaaOGaam4uaiaacIcacaWG0b GaaiykamaaCaaaleqabaGaaiikaiaaigdacqGHsislcaWGebGaaiyk aaaakiaaxMaacaWLjaGaaiikaiaaigdacaaI1aGaaiykaaaa@4A50@

    où  f ( t ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NzaG qaaiaa+HcacaWF0bGaa4xkaaaa@3937@  est la fonction de densité, et  S ( t ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa83uaG qaaiaa+HcacaWF0bGaa4xkaaaa@3924@  est la fonction de survieNote 12, c’est-à-dire 1 moins la densité cumulative de  f ( t ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8NzaG qaaiaa+HcacaWF0bGaa4xkaaaa@3937@ Note 13.

    L’équation (15) peut être appliquée à des situations dans lesquelles on peut décrire l’événement à modéliser au moyen d’une variable d’état binaire (p. ex. « en vie » ou « mort »). Si l’actif est « mort », la fonction de vraisemblance se réduit à la fonction de densité et donne la probabilité que l’actif soit hors service à l’âge  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@ . Si l’actif est encore « en vie », la fonction de vraisemblance se réduit à la fonction de survie et donne la probabilité que l’actif survive jusqu’au temps  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@ . La log-vraisemblance d’observer un échantillon de  n MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36EA@  observations prend alors la forme

    lnL= i=1 N [ D i lnf( t i )+(1 D i )lnS( t i ) ] .       (16) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaciiBaiaac6 gacaaMe8Uaamitaiabg2da9maaqahabaWaamWaaeaacaWGebWaaSba aSqaaiaadMgaaeqaaOGaciiBaiaac6gacaWGMbGaaiikaiaadshada WgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaGGPaGaey4kaSIaaiikaiaaigdacqGH sislcaWGebWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaiGacYgacaGGUb Gaam4uaiaacIcacaWG0bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaaGa ay5waiaaw2faaaWcbaGaamyAaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGobaani abggHiLdGccaGGUaGaaCzcaiaaxMaacaGGOaGaaGymaiaaiAdacaGG Paaaaa@5BFC@

    L’équation (16) peut être modifiée ici afin de caractériser la fonction de vraisemblance du profil âge-prix de l’actif en se basant sur l’ensemble de ratios de survie  R i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37E7@  observés (définis antérieurement par l’équation [14]). Chaque atome de valeur possède sa propre durée et  R i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37E7@  exprime la proportion d’entre eux qui survivent jusqu’à un certain âge  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36EF@ , tandis que  1 R i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGymaiabgk HiTiaadkfadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaaaaa@398F@  est la proportion d’atomes perdus. Chaque actif est par conséquent considéré comme une cohorte particulière de valeurs. La log-vraisemblance d’un échantillon de  n MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOBaaaa@36EA@  observations (cohortes) devient

    lnL= i=1 N [ (1 R i )lnf( y i )+ R i lnS( y i ) ] ,       (17) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaciiBaiaac6 gacaaMe8Uaamitaiabg2da9maaqahabaWaamWaaeaacaGGOaGaaGym aiabgkHiTiaadkfadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaGGPaGaciiBai aac6gacaWGMbGaaiikaiaadMhadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaGG PaGaey4kaSIaamOuamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiGacYgacaGGUb Gaam4uaiaacIcacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaaGa ay5waiaaw2faaaWcbaGaamyAaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGobaani abggHiLdGccaGGSaGaaCzcaiaaxMaacaGGOaGaaGymaiaaiEdacaGG Paaaaa@5C21@

    où  y i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@380F@  est le moment auquel un atome de valeur intégré dans l’actif  i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyAaaaa@36E5@  est perdu. L’expression de la log-vraisemblance donnée par l’équation (17) possède une interprétation intuitive.  R i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37E7@ , le ratio des prix, représente la part de la valeur de l’actif qui survit jusqu’à un âge donné  y i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@380E@ , multipliée par une probabilité de survie correspondante  S ( y i ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uaiaacI cacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaaaa@3A49@ , tandis que  1 R i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGymaiabgk HiTiaadkfadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaaaaa@398F@  représente la part perdue de la valeur, multipliée par sa probabilité de disparition  f ( y i ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI cacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaaaa@3A5C@ .

    Bien qu’elle convienne à de nombreuses études de survie, l’équation (17) doit être modifiée afin de produire des estimations de la dépréciation économique. L’utilisation de l’expression classique de la densité  f ( y i ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI cacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaaaa@3A5C@  repose sur l’hypothèse que la valeur des actifs reste constante durant toutes les périodes qui précèdent le moment de leur vente ou de leur mise hors service. Sont donc ancrés dans l’équation (17) des profils conceptuellement similaires à un modèle « one-hoss-shay », les valeurs des actifs demeurant à leur ratio de survie maximal avant un âge donné (le point dans le temps où a lieu la transaction  y i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xEam aaBaaaleaacaWGPbaabeaaaaa@3815@ ) auquel est observée une perte de valeur partielle ou totale. Comme cette hypothèse est trop restrictive, on modifie l’équation (17) pour tenir compte de la dépréciation continue en remplaçant le terme de la densité  f ( y i ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI cacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaaaa@3A5C@  par la densité cumulative  F ( y i ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOraiaacI cacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaaaa@3A3C@ . Alors que le terme de densité  f ( y i ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI cacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaaaa@3A5C@  suppose que la perte de valeur de l’actif a eu lieu au temps  y i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@380E@ , la densité cumulative  F ( y i ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOraiaacI cacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaaaa@3A3C@  suppose que les réductions de valeur ont lieu avant le temps  y i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@380E@ .

    L’équation d’estimation devient

    lnL= i=1 N [ (1 R i )lnF( y i )+ R i lnS( y i ) ] ,     (18) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaciiBaiaac6 gacaaMe8Uaamitaiabg2da9maaqahabaWaamWaaeaacaGGOaGaaGym aiabgkHiTiaadkfadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaGGPaGaciiBai aac6gacaWGgbGaaiikaiaadMhadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaGG PaGaey4kaSIaamOuamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiGacYgacaGGUb Gaam4uaiaacIcacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaaGa ay5waiaaw2faaaWcbaGaamyAaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGobaani abggHiLdGccaGGSaGaaCzcaiaaxMaacaGGOaGaaGymaiaaiIdacaGG Paaaaa@5C02@

    où  F ( y i ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOraiaacI cacaWG5bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykaaaa@3A3C@  est la probabilité que la valeur de l’actif diminue à un moment donné avant  y i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@380E@ Note 14.

    La survie d’un actif englobe à la fois la survie de la vie de l’actif et celle de sa valeur. Autrement dit,  y i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@380F@  et l’âge  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@  suivent une loi conjointe. En supposant que  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@  suit une loi de Weibull et que la courbe d’efficacité conditionnellement à  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@  possède une forme générale concave présentée dans l’équation (9),

    f ( y ) = k + 1 k t [ 1 ( y t ) k ] MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI cacaWG5bGaaiykaiabg2da9maalaaabaGaam4AaiabgUcaRiaaigda aeaacaWGRbGaaGPaVlaadshaaaWaamWaaeaacaaIXaGaeyOeI0Yaae WaaeaadaWcaaqaaiaadMhaaeaacaWG0baaaaGaayjkaiaawMcaamaa CaaaleqabaGaam4AaaaaaOGaay5waiaaw2faaaaa@48A0@

    donne le logarithme de la fonction de vraisemblance pour les profils âge-prix de revente,

    lnL= i=1 N W i (1 c i )[ ( 1 R i )log[ 1 e ( ( λ t i ) ρ ) +λ t i Γ[ 1 1 ρ , ( λ t i ) ρ ]+ 1 ρ Ε ( k+1+ρ ρ ) [ ( λ t i ) ρ ] ]+ R i log[ e ( ( λ t i ) ρ ) λ t i Γ[ 1 1 ρ , ( λ t i ) ρ ] 1 ρ Ε ( k+1+ρ ρ ) [ ( λ t i ) ρ ] ] ] (19) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqbaeGabiqaaa qaaiGacYgacaGGUbGaamitaiabg2da9iaaysW7daaeWbqaaiaadEfa daWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccaaMc8UaaiikaiaaigdacqGHsislca WGJbWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaaiykamaadmaaeaqabeaadaqa daqaaiaaigdacqGHsislcaWGsbWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaaGcca GLOaGaayzkaaGaciiBaiaac+gacaGGNbWaamWaaeaacaaIXaGaeyOe I0IaamyzamaaCaaaleqabaGaeyOeI0YaaeWaaeaadaqadaqaaiabeU 7aSjaayIW7caWG0bWaaSbaaWqaaiaadMgaaeqaaaWccaGLOaGaayzk aaWaaWbaaWqabeaacqaHbpGCaaaaliaawIcacaGLPaaaaaGccqGHRa WkcqaH7oaBcaaMc8UaamiDamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaaykW7 cqqHtoWrdaWadaqaaiaaigdacqGHsisldaWcbaWcbaGaaGymaaqaai abeg8aYbaakiaacYcadaqadaqaaiabeU7aSjaayIW7caWG0bWaaSba aSqaaiaadMgaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacqaHbp GCaaaakiaawUfacaGLDbaacqGHRaWkdaWcbaWcbaGaaGymaaqaaiab eg8aYbaakiabfw5afnaaBaaaleaadaqadaqaamaaleaameaacaWGRb Gaey4kaSIaaGymaiabgUcaRiabeg8aYbqaaiabeg8aYbaaaSGaayjk aiaawMcaaaqabaGcdaWadaqaamaabmaabaGaeq4UdWMaamiDamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaOGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaeqyW dihaaaGccaGLBbGaayzxaaaacaGLBbGaayzxaaGaey4kaScabaGaam OuamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaaysW7ciGGSbGaai4BaiaacEga daWadaqaaiaadwgadaahaaWcbeqaaiabgkHiTmaabmaabaWaaeWaae aacqaH7oaBcaaMi8UaamiDamaaBaaameaacaWGPbaabeaaaSGaayjk aiaawMcaamaaCaaameqabaGaeqyWdihaaaWccaGLOaGaayzkaaaaaO GaeyOeI0Iaeq4UdWMaaGPaVlaadshadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGc caaMc8Uaeu4KdC0aamWaaeaacaaIXaGaeyOeI0YaaSqaaSqaaiaaig daaeaacqaHbpGCaaGccaGGSaWaaeWaaeaacqaH7oaBcaaMi8UaamiD amaaBaaaleaacaWGPbaabeaaaOGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqaba GaeqyWdihaaaGccaGLBbGaayzxaaGaeyOeI0YaaSqaaSqaaiaaigda aeaacqaHbpGCaaGccqqHvoqrdaWgaaWcbaWaaeWaaeaadaWcbaadba Gaam4AaiabgUcaRiaaigdacqGHRaWkcqaHbpGCaeaacqaHbpGCaaaa liaawIcacaGLPaaaaeqaaOWaamWaaeaadaqadaqaaiabeU7aSjaads hadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaaakiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqa aiabeg8aYbaaaOGaay5waiaaw2faaaGaay5waiaaw2faaaaacaGLBb GaayzxaaaaleaacaWGPbGaeyypa0JaaGymaaqaaiaad6eaa0Gaeyye IuoaaOqaaiaacIcacaaIXaGaaGyoaiaacMcaaaaaaa@DC58@

    où  Γ ( . , . ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeu4KdCKaai ikaiaac6cacaGGSaGaaiOlaiaacMcaaaa@3ACC@  est une fonction gamma incomplète;  Ε ( k + 1 + ρ ρ ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuyLduKaai ikamaaleaaleaacaWGRbGaey4kaSIaaGymaiabgUcaRiabeg8aYbqa aiabeg8aYbaakiaacMcaaaa@3FCC@  est une intégrale exponentielle d’ordre  k + 1 + ρ ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWcdaWcaaqaai aadUgacqGHRaWkcaaIXaGaey4kaSIaeqyWdihabaGaeqyWdihaaaaa @3D00@  qui peut être résolue par interpolations entre les valeurs entières de  Ε ( k + 1 + ρ ρ ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeuyLduKaai ikamaaleaaleaacaWGRbGaey4kaSIaaGymaiabgUcaRiabeg8aYbqa aiabeg8aYbaakiaacMcaaaa@3FCC@ c MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4yaaaa@36DF@  est un indicateur de mise hors service (1) ou de revente (0); et W i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4vamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37ED@  est une pondération appliquée à l’observation  i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyAaaaa@36E5@ Note 15.        

    4.2 La fonction de mise hors service

    La deuxième partie de l’estimation fait intervenir la fonction de mise hors service, afin de corriger le biais de sélection découlant du fait que l’on utilise seulement les prix positifs observés sur les marchés des actifs usagés. Pour produire leurs estimations pionnières, Hulten et Wykoff (1981) disposaient seulement de données sur les prix des actifs usagés et ne possédaient que peu d’information sur les courbes de mise hors service. Autrement dit, ils manquaient de renseignements sur les mises hors service réelles non observées sur les marchés d’occasion, qui ne recueillent des données sur les prix que pour les transactions produisant des valeurs positives. Faute de ces données, ils ont formulé des hypothèses quant à la durée moyenne de vie des actifs et à la distribution des mises hors service autour de cette moyenne. Ensuite, ils ont corrigé à la baisse les prix positifs observés afin de tenir compte dans la moyenne des observations manquantes sur les actifs qui avaient été mis hors service à un prix nul.

    La base de données utilisée ici permet d’estimer directement le processus de mise hors service. Au lieu d’étalonner une distribution de mises hors service autour d’une durée de vie utile moyenne, comme cela est fait dans la plupart des études, on estime directement les probabilités de mise hors service d’après les données sur les mises hors service (c.-à-d. les transactions caractérisées par un prix nul) et sur les ventes d’actifs usagés. On utilise toutes les observations (positives ainsi que nulles) pour estimer la fonction de mise hors service réelle, dont on se sert pour corriger les estimateurs afin de tenir compte d’une proportion de mises hors service à chaque point dans le tempsNote 16.

    Pour cela, on doit émettre une hypothèse quant à la courbe de mise hors service. On suppose que les distributions des mises hors service suivent une loi de Weibull. La fonction de probabilité cumulative ( D ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbaGaa8hkaG qaciaa+reacaWFPaaaaa@3821@  et la fonction de probabilité de densité  ( f ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbaGaa8hkaG qaciaa+zgacaWFPaaaaa@3843@  des mises hors service sont, respectivement,

    D(t;λ,ρ)=1Sv(t;λ,ρ)=1exp[ ( λt ) ρ ]       (20) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiraiaacI cacaWG0bGaai4oaiabeU7aSjaacYcacqaHbpGCcaGGPaGaeyypa0Ja aGymaiabgkHiTiaadofacaWG2bGaaiikaiaadshacaGG7aGaeq4UdW Maaiilaiabeg8aYjaacMcacqGH9aqpcaaIXaGaeyOeI0Iaciyzaiaa cIhacaGGWbWaamWaaeaacqGHsisldaqadaqaaiabeU7aSjaadshaai aawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiabeg8aYbaaaOGaay5waiaaw2fa aiaaxMaacaWLjaGaaiikaiaaikdacaaIWaGaaiykaaaa@5C52@

    f(t;λ,ρ)= λ ρ ρ ( t ) ρ1 exp[ ( λt ) ρ ]       (21) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOzaiaacI cacaWG0bGaai4oaiabeU7aSjaacYcacqaHbpGCcaGGPaGaeyypa0Ja eq4UdW2aaWbaaSqabeaacqaHbpGCaaGccqaHbpGCdaqadaqaaiaads haaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiabeg8aYjabgkHiTiaaigda aaGcciGGLbGaaiiEaiaacchadaWadaqaaiabgkHiTmaabmaabaGaeq 4UdWMaamiDaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaeqyWdihaaaGc caGLBbGaayzxaaGaaCzcaiaaxMaacaGGOaGaaGOmaiaaigdacaGGPa aaaa@5AA3@

    Les paramètres que l’on doit estimer sont le paramètre d’échelle,  λ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4UdWgaaa@37AB@ , et le paramètre de forme,  ρ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqyWdihaaa@37B6@ , de la loi de Weibull.

    Pour commencer, posons que c MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa83yaa aa@36E5@  est une variable binaire qui prend la valeur 1 si la durée de vie est complète et 0 autrement.

    La fonction de log-vraisemblance devient :

    l t = i=1 N W i c i log[ f( t i ;θ) ]+ W i (1 c i )log[ S( t i ;θ) ]       (22) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBamaaBa aaleaacaWG0baabeaakiabg2da9maaqahabaGaam4vamaaBaaaleaa caWGPbaabeaakiaadogadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGcciGGSbGaai 4BaiaacEgadaWadaqaaiaadAgacaGGOaGaamiDamaaBaaaleaacaWG PbaabeaakiaacUdaiiWacqWF4oqCciGGPaaacaGLBbGaayzxaaGaey 4kaSIaam4vamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaacIcacaaIXaGaeyOe I0Iaam4yamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaacMcaciGGSbGaai4Bai aacEgadaWadaqaaiaadofacaGGOaGaamiDamaaBaaaleaacaWGPbaa beaakiaacUdacqWF4oqCciGGPaaacaGLBbGaayzxaaaaleaacaWGPb Gaeyypa0JaaGymaaqaaiaad6eaa0GaeyyeIuoakiaaxMaacaWLjaGa aiikaiaaikdacaaIYaGaaiykaaaa@661E@

    où  θ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaccmGae8hUde haaa@37B4@  représente les paramètres qu’il faut estimer.

    Dans le cas d’une loi de Weibull, cette expression devient

    l 0 t = i=1 N 1 W i c i [ ρ log(λ)+log(ρ)+(ρ1)log( t i ) ] W i ( λ t i ) ρ .       (23) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBamaaCa aaleqabaGaaGimaaaakmaaBaaaleaacaWG0baabeaakiabg2da9maa qahabaGaam4vamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaadogadaWgaaWcba GaamyAaaqabaGcdaWadaqaaiabeg8aYjGacYgacaGGVbGaai4zaiaa cIcacqaH7oaBcaGGPaGaey4kaSIaciiBaiaac+gacaGGNbGaaiikai abeg8aYjaacMcacqGHRaWkcaGGOaGaeqyWdiNaeyOeI0IaaGymaiaa cMcaciGGSbGaai4BaiaacEgacaGGOaGaamiDamaaBaaaleaacaWGPb aabeaakiaacMcaaiaawUfacaGLDbaacqGHsislcaWGxbWaaSbaaSqa aiaadMgaaeqaaOWaaeWaaeaacqaH7oaBcaWG0bWaaSbaaSqaaiaadM gaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacqaHbpGCaaaabaGa amyAaiabg2da9iaaigdaaeaacaWGobWaaSbaaWqaaiaaigdaaeqaaa qdcqGHris5aOGaaiOlaiaaxMaacaWLjaGaaiikaiaaikdacaaIZaGa aiykaaaa@7003@

    Soulignons que l’équation (23) s’applique aux âges qui ne sont pas touchés par le problème de préférence de chiffres. Pour les âges qui sont arrondis, on apporte les modifications suivantes, puisque les âges réels ne sont pas observés. On suppose qu’il existe un paramètre d’erreur d’âge,  e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyzaaaa@36E1@ , que l’on peut estimer. Par conséquent, les âges réels non observés sont compris dans l’intervalle entre  t e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiabgk HiTiaadwgaaaa@38C7@  et  t + e MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaiabgU caRiaadwgaaaa@38BC@ . La probabilité d’observer un âge arrondi,  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@ , quand la durée de vie est complète, est donc la même que la probabilité d’observer l’intervalle ( t e , t + e ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaGqaci aa=rhacqGHsislcaWGLbGaaiilaiaayIW7caaMi8UaaGjcVlaadsha cqGHRaWkcaWGLbGaaiykaaaa@424F@ , c.-à-d.  F ( t + e ) F ( t e ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOraiaacI cacaWG0bGaey4kaSIaamyzaiaacMcacqGHsislcaWGgbGaaiikaiaa dshacqGHsislcaWGLbGaaiykaaaa@40C1@ , où  F ( . ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOraiaacI cacaGGUaGaaiykaaaa@38CD@  est une fonction de répartition cumulative de Weibull. Quand la durée de vie est incomplète, c.-à-d. censurée, la probabilité d’observer un âge arrondi  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiDaaaa@36F0@  devient  S ( t e ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uaiaacI cacaWG0bGaeyOeI0IaamyzaiaacMcaaaa@3AF8@ , où  S ( . ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4uaiaacI cacaGGUaGaaiykaaaa@38DA@  est la fonction de survie de Weibull. Par conséquent, la fonction de log-vraisemblance pour l’âge arrondi devient

    l 1 t = i=1 N 2 W i c i log[F( t i +e)F( t i e)]+ W i (1 c i )log[S( t i e)]       (24) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiBamaaCa aaleqabaGaaGymaaaakmaaBaaaleaacaWG0baabeaakiabg2da9maa qahabaGaam4vamaaBaaaleaacaWGPbaabeaakiaadogadaWgaaWcba GaamyAaaqabaGcciGGSbGaai4BaiaacEgacaGGBbGaamOraiaacIca caWG0bWaaSbaaSqaaiaadMgaaeqaaOGaey4kaSIaamyzaiaacMcacq GHsislcaWGgbGaaiikaiaadshadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccqGH sislcaWGLbGaaiykaiaac2facqGHRaWkcaWGxbWaaSbaaSqaaiaadM gaaeqaaOGaaiikaiaaigdacqGHsislcaWGJbWaaSbaaSqaaiaadMga aeqaaOGaaiykaiGacYgacaGGVbGaai4zaiaacUfacaWGtbGaaiikai aadshadaWgaaWcbaGaamyAaaqabaGccqGHsislcaWGLbGaaiykaiaa c2faaSqaaiaadMgacqGH9aqpcaaIXaaabaGaamOtamaaBaaameaaca aIYaaabeaaa0GaeyyeIuoakiaaxMaacaWLjaGaaiikaiaaikdacaaI 0aGaaiykaaaa@6D2E@

    4.3 Estimation simultanée des fonctions de déclin et de mise hors service de l’actif

    Les fonctions de survie et de mise hors service d’un actif sont estimées simultanément, puisqu’il est montré dans Statistique Canada (2007) que cette méthode est celle qui donne le biais le plus faible et l’efficacité la plus grande. La forme de la fonction de densité de survie dépend de la forme de la fonction de mise hors service ainsi que de la fonction d’efficacité, et il est probable que ces deux formes soient différentesNote 17. Une procédure en deux étapes, consistant à estimer la fonction de mise hors service pour commencer, puis à utiliser les estimations qu’elle fournit pour corriger le biais de sélection dans la fonction de déclin, produit des estimations biaisées parce qu’elle n’utilise pas l’information de la fonction de déclin au sujet du moment où les actifs sont encore « en vie » pour estimer la durée de vieNote 18. Un cadre d’estimation simultanée contraint les estimateurs à respecter les convergences entre les deux processus qui génèrent t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hDaa aa@36F6@  et  y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xEaa aa@36FB@ , sachant que ces processus sont reliésNote 19. Cette convergence peut être imposée, même en cas d’une erreur de spécification, quand la forme exacte du modèle de mise hors service est inconnue.

    Par exemple, si on observe les réalisations de la variable aléatoire,  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hDaa aa@36F6@ , pour une fonction de survie empirique de  y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xEaa aa@36FB@ , le système pourrait prendre la forme suivante

    ( i ) l t =f(t;θ)      (25) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaaca WGPbaacaGLOaGaayzkaaGaaGzbVlaadYgadaWgaaWcbaGaamiDaaqa baGccqGH9aqpcaWGMbGaaiikaiaadshacaGG7aaccmGae8hUdeNaci ykaiaaxMaacaWLjaGaaiikaiaaikdacaaI1aGaaiykaaaa@46F5@

    ( ii ) l y =S( y;θ,η ),      (26) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaeWaaeaaca WGPbGaamyAaaGaayjkaiaawMcaaiaaywW7caWGSbWaaSbaaSqaaiaa dMhaaeqaaOGaeyypa0Jaam4uamaabmaabaGaamyEaiaacUdaiiWacq WF4oqCcaGGSaGaeq4TdGgacaGLOaGaayzkaaGaaiilaiaaxMaacaWL jaGaaiikaiaaikdacaaI2aGaaiykaaaa@4B15@

    où  l t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hBam aaBaaaleaacaWF0baabeaaaaa@380F@  et  l y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hBam aaBaaaleaacaWF5baabeaaaaa@3814@  représentent les fonctions de vraisemblance de  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hDaa aa@36F6@  et de  y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xEaa aa@36FB@ , respectivement,  θ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiUdehaaa@37AD@  représente un vecteur de paramètres communs aux deux fonctions et  η MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4TdGgaaa@37A2@  représente le paramètre qui définit la forme du profil de capacité qui est propre à l y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hBam aaBaaaleaacaWF5baabeaaaaa@3814@ .

    Le fait que certains paramètres soient communs aux deux équations plaide en faveur d’une méthode d’estimation simultanée qui tient compte des convergences susmentionnées. La première équation exprime la durée physique  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hDaa aa@36F6@ , tandis que la seconde correspond à la survie de  y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xEaa aa@36FB@ , qui détermine le prix de revente des actifs usagés. Lorsque le prix est nul, l’information est complète en ce qui concerne la durée, mais censurée à gauche en ce qui concerne la valeur. Si le prix n’est pas nul, les données sont censurées à droite en ce qui concerne la durée, mais fournissent plus d’information sur  S ( y ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa83uaG qaaiaa+HcacaWF5bGaa4xkaaaa@3929@ . Un cadre d’estimation simultanée exploite les complémentarités entre l’information sur  y MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8xEaa aa@36FB@  et sur  t MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hDaa aa@36F6@ .

    La spécification utilisée pour estimer la fonction de mise hors service est celle de Weibull donnée par l’équation (21). La courbe de survie choisie est une forme générale d’une courbe d’efficacité concave qui est fournie par l’équation (9).

    Le profil d’efficacité donné par cette fonction sera concave pour toute valeur de  k MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa83Aaa aa@36ED@  comprise entre 1 (linéaire décroissante) et l’infini (constante, « one-hoss-shay »).

    L’estimation de l’équation (26), qui est fondée sur les ratios de survie individuels,  R i MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOuamaaBa aaleaacaWGPbaabeaaaaa@37E7@ , suppose que les plans d’amortissement ne sont corrélés ni à la taille, ni à la valeur monétaire de l’actif. Pour tenir compte des différences de valeur monétaire entre les observations, on les pondère chacune par leur part de la valeur totale de l’actif multipliée par le nombre d’observations dans l’échantillon d’actifs.

    Les observations utilisées pour produire la fonction de mise hors service sont pondérées par la valeur comptable brute (VCB) de l’actif. Les pondérations donnent une approximation des quantités, qui sont mesurées par la VCB en dollars constants. Cette pondération est nécessaire pour tenir compte de la déclaration de chiffres consolidés en réponse à l’Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparations (plusieurs transactions peuvent être regroupées en une seule réponse) et du fait qu’une plus grande quantité de capital peut être intégrée dans certains actifs que dans d’autres (p. ex. un immeuble de 2 étages par opposition à un immeuble de 20 étages).

    La fonction de mise hors service est estimée par la méthode du maximum de vraisemblance qui tient compte du problème de préférence de chiffres constaté dans la base de données. L’existence de ce problème signifie que la mesure de la variable indépendante (temps) est entachée d’une erreur. Pour y remédier, on remplace cette variable indépendante par une nouvelle variable pour l’âge quand un problème de préférence de chiffres est décelé, comme il est expliqué à la section précédente et à l’équation (24).

    Les équations (19), (23) et (24) sont estimées conjointement par la méthode d’estimation du maximum de vraisemblance, qui donne les estimations de la loi de Weilbull et du TAD. Partant de ces estimations, on obtient ensuite les taux géométriques d’amortissement en calculant T A D / E ( t ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamivaiaadg eacaWGebGaai4laiaadweacaGGOaGaamiDaiaacMcaaaa@3C2E@ .

    5 Résultats empiriques

    À la section précédente, on a décrit la nature des méthodes d’estimation utilisées. À la présente section, on présente les estimations des taux d’amortissement obtenues en utilisant la méthode d’estimation simultanée, pour une variété de catégories d’actifs et pour trois périodes de référence, à savoir 1985 à 2001, 2002 à 2010, et 1985 à 2010.

    Bien qu’elle soit riche en renseignements détaillés, la base de données peut poser des problèmes qu’il faut résoudre. Un problème important tient au fait que l’échantillon pourrait ne pas être suffisamment aléatoire.

    Les analystes ne doivent jamais perdre de vue que les données qu’ils utilisent n’ont pas nécessairement été obtenues aléatoirement et que la méthode d’échantillonnage pourrait produire un échantillon susceptible d’induire un biais important dans les estimations. L’adoption d’un plan de sondage classique vise à réduire ces problèmes. Toutefois, même ici, des difficultés peuvent survenir durant le processus de sondage. Ainsi, les méthodologistes d’enquête ont conçu des méthodes qui permettent de procéder à une repondération après l’enquête afin de résoudre le problème.

    Les données pourraient ne pas être aléatoires en raison de la méthode d’échantillonnage « au jugé » utilisée pour générer celles qui sont reliées à l’acquisition des actifs. Notre méthode d’estimation s’appuie sur la disposition des actifs. Par conséquent, les données sur la disposition ne sont peut-être pas idéales pour l’estimation. L’une des manifestations de ce problème est la présence d’« agrégats » que l’on observe parfois dans les données à certains âges de l’actif. Le cas échéant, la gamme d’observations dont on dispose est trop étroite pour pouvoir estimer des taux d’amortissement variant des âges très précoces aux âges très avancés. Ou bien, si on considère l’autre dimension des données, c’est-à-dire le ratio des prix variant de 0 à 1, on voit un plus grand nombre d’observations dans certains groupes que dans d’autres.

    Pour résoudre ce problème, on introduit une repondération dans la méthode d’estimation (voir Statistique Canada, 2007, annexe C).

    5.1 Estimations des taux ex post d’amortissement

    Les estimations du taux moyen d’amortissement, selon le type d’actif dans notre échantillon, sont présentées au tableau 4 pour les machines et le matériel et au tableau 5 pour les bâtiments. Ces tableaux ne comprennent que les actifs pour lesquels on dispose d’un nombre suffisant d’observations pour calculer les taux d’amortissement dans Statistique Canada (2007). Les différences entre les résultats pour les diverses périodes de référence permettent de tester l’hypothèse selon laquelle la durée de vie des actifs diminue et les taux d’amortissement augmentent. Pour cela, on présente aux tableaux 6 et 7 les erreurs-types des estimations des taux d’amortissement pour différentes périodes de référence, ainsi que la statistique t utilisée pour tester les écarts entre les taux d’amortissement.

    Les comparaisons de l’ensemble de résultats pour les diverses périodes de référence permettent d’évaluer l’effet de l’extension de la période. De 1985 à 2001 et de 2002 à 2010, les écarts entre les taux d’amortissement pour la plupart des catégories de machines et matériel ne sont pas statistiquement significatifs. Les moyennes non pondérées sont égales à 18,2 % et à 19,9 % pour les première et deuxième périodes, respectivement.

    L’écart est statistiquement significatif au seuil de signification de 5 % pour 4 catégories d’actifs sur 19 seulement. Ces catégories sont le mobilier de bureau (6001), les ordinateurs et le matériel connexe (6002), le matériel de communication (6403 et 6603) et les autres machines et matériel (6007 et 8999) (tableau 6). Par exemple, le taux d’amortissement des ordinateurs est passé de moins de 0,4 à environ 0,48. Cette augmentation reflète l’essor d’Internet et de la technologie informatique mobile au cours de la période d’après 2000, laquelle a donné lieu à une obsolescence plus rapide du matériel informatique et à une révision importante de la série d’indices des prix. Des scénarios similaires s’appliquent au matériel de communication et matériel connexe. Les taux d’amortissement pour les automobiles, les autobus et les camions ont diminué légèrement de la première période à la période plus récente, mais les variations ne sont pas statistiquement significatives.

    Dans l’ensemble, le taux moyen d’amortissement de ces catégories de machines et de matériel, pondéré par leurs parts de l’investissement en dollars enchaînésNote 20, a augmenté pour passer de 0,20 à 0,26 entre la période de 1985 à 2001 et celle de 2002 à 2010 (tableau 4). Même si les variations des taux d’amortissement ne sont significatives que pour quatre catégories d’actifs, l’augmentation du taux moyen d’amortissement est statistiquement significative (tableau 6). Cette situation est principalement attribuable à l’importance accrue des quatre catégories d’actifs qui ont connu un changement significatif au cours des deux périodes de référence; leur part de l’investissement en dollars enchaînés augmente, pour passer de 20 % durant la première période à plus de 40 % durant la période plus récente.

    Les estimations pour la période complète, s’étendant de 1985 à 2010, sont obtenues en combinant les échantillons pour les deux périodes et en produisant les estimations pour les deux échantillons conjointement. Par conséquent, les taux d’amortissement pour la période de 1985 à 2010, pour la plupart des actifs de la catégorie des machines et du matériel, sont compris entre les estimations calculées pour les deux sous-périodes (tableau 4)Note 21. Globalement, le taux moyen pondéré d’amortissement pour les machines et le matériel observé durant la période complète de 1985 à 2010 est de 0,22.

    Si on examine maintenant les bâtiments, les taux d’amortissement de la moitié des huit actifs choisis (les entrepôts [1006], les immeubles à bureaux [1013], les centres commerciaux [1016] et les autres constructions industrielles et commerciales [1099]) ont augmenté et leurs âges de mise hors service et de revente ont diminué (tableau 5). En particulier, de la première sous-période à la sous-période récente, l’âge moyen de leur mise hors service, qui était d’environ 20 ans, s’est établi à 11 ans seulement et leur âge moyen de revente, qui était d’environ 17 ans, s’est établi à 15 ans. Ces différences donnent des estimations beaucoup plus petites de la durée de vie prévue pour la sous-période plus récente, causant une augmentation des taux d’amortissement. Cette hausse pourrait aussi être attribuée à la restructuration de certaines industries  MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugybabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A74@  transport, commerce de détail et commerce de gros  MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugybabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A74@  après 2000.

    Ces estimations diffèrent peu de celles calculées récemment pour le Japon. Nomura et Momose (2008) et Nomura et Suga (2014) estiment les taux d’amortissement en utilisant les données sur les machines et le matériel ainsi que sur les bâtiments provenant de l’Enquête sur les dépenses en immobilisations et les cessions réalisées au Japon entre 2005 et 2006. Les estimations pour les bâtiments varient de 0,08 à 0,15.

    Dans l’ensemble, le taux moyen d’amortissement des bâtiments est égal à environ 0,09 durant la période de 1985 à 2001, et augmente pour atteindre 0,13 durant la période de 2002 à 2010. Cependant, cette augmentation n’est pas statistiquement significative au seuil de signification de 5 % (tableau 7). Sur la période complète allant de 1985 à 2010, le taux moyen d’amortissement est égal à environ 0,1.

    5.2 Estimations ex ante et ex post de la dépréciation et de la durée de vie

    Les estimations directes de δ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiTdqgaaa@379B@  peuvent aussi être calculées d’après des données sur la durée de vie de l’actif  ( T ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbaGaa8hkaG qaciaa+rfacaWFPaaaaa@3831@ . Pendant de nombreuses années, cette méthode a été la plus courante et l’on déterminait  T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvaa aa@36D6@  d’après des renseignements comptables, souvent associés aux lois fiscales.

    Le modèle linéaire de dépréciation suppose que la diminution de la valeur monétaire de l’actif est la même à toutes les étapes de son cycle de vie. Pour un dollar investi, la dépréciation par période prend la forme

    D = 1 T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiraiabg2 da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaadsfaaaaaaa@3969@

    où  T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamivaaaa@36D0@  est la durée de vie utile de l’actif. Bien que la perte monétaire soit égale de période en période, le taux d’amortissement, c’est-à-dire la variation en pourcentage de la valeur de l’actif de période en période augmentera progressivement au cours de la vie utile de l’actif.

    Les taux géométriques constants peuvent aussi être calculés indirectement d’après des estimations de la durée de vie d’un actif  ( T ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaiikaiaads facaGGPaaaaa@3829@  tirées du code de l’impôt comme étant

    δ = T A D T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiTdqMaey ypa0ZaaSaaaeaacaWGubGaamyqaiaadseaaeaacaWGubaaaaaa@3BF2@

    où  T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaacbiGaa8hvaa aa@36D6@  est la durée de vie utile, et  T A D MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamivaiaadg eacaWGebaaaa@385E@  est le taux d’amortissement dégressif choisi de manière exogène pour donner un profil décroissant. La valeur du TAD détermine, toutes choses étant égales par ailleurs, la mesure dans laquelle la valeur de l’actif s’érode plus rapidement au début qu’à la fin de la vie utile de ce dernier (Fraumeni, 1997). Plus le TAD appliqué est élevé, plus la diminution de la valeur de l’actif au début de sa vie utile est importante et plus le profil de dépréciation est convexe (c.-à-d. plus la dépréciation est accélérée).

    La méthode de l’amortissement dégressif à taux double (ADTD), qui consiste à fixer la valeur du TAD à 2, est très répandue en pratique. Christensen et Jorgenson (1969) l’ont appliquée pour estimer les taux d’amortissement économique en vue de produire leurs estimations du stock de capital. L’un des avantages de l’ADTD tient au fait qu’elle établit un « lien » conceptuel avec le modèle linéaire, car les points médians des deux courbes de dépréciation sont fixés à un même point de l’échelle d’âge. En effet, dans le cas du modèle linéaire, le taux moyen d’amortissement concordera avec le taux constant calculé en fixant la valeur du TAD à 2.

    L’Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparations réalisée par Statistique Canada comprend non seulement des questions sur le prix des actifs au moment de la disposition, mais aussi sur la durée de vie utile prévue au moment où les immobilisations sont déclarées pour la première fois à Statistique Canada. L’utilisation de la durée de vie utile anticipée et d’un  amortissement dégressif constant offre un autre moyen d’estimer le taux moyen d’amortissement ( δ =TAD/L MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiTdqMaae ypaiaabsfacaqGbbGaaeiraiaab+cacaqGmbaaaa@3C3E@   MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugybabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A74@  voir Statistique Canada, 2007).

    Les estimations de la dépréciation obtenues en utilisant la durée de vie prévue sont des mesures ex ante qui pourraient souffrir des prévisions inexactes de la durée de vie ex ante. Des différences peuvent aussi avoir lieu si la durée de vie utile évolue avec le temps et que les taux ex post sont calculés d’après des données qui précèdent celles utilisées pour produire les estimations ex ante.

    Les taux ex ante peuvent différer des taux ex post pour des raisons qui sont liées au concept d’une durée de vie anticipée et qui émanent toutes du fait que les gestionnaires peuvent avoir en tête un autre concept que celui de l’âge prévu de la mise hors service. Par exemple, les gestionnaires pourraient penser au laps de temps prévu avant la cession de l’actif, laquelle pourrait être le moment auquel ce dernier est vendu plutôt que celui auquel il est mis hors service. Ainsi, les acheteurs d’un parc d’automobiles peuvent considérer le moment auquel ils céderont l’automobile après l’échéance du premier bail (trois ans). Ou bien, ils peuvent penser au moment auquel ils prévoient que l’actif aura perdu la moitié de sa valeur. Dans les deux cas, le concept ex ante pourrait correspondre à une valeur inférieure à l’estimation ex post.

    Une autre cause possible des divergences éventuelles entre les taux ex ante et ex post est l’hétérogénéité de certaines catégories d’actifs. Dans ce cas, la composition de l’échantillon de mises hors service peut être assez différente de la population d’immobilisations utilisée pour calculer la durée de vie ex ante. La catégorie des centres commerciaux et magasins (1016) en est un bon exemple. Les grands centres commerciaux représentent d’importantes immobilisations dont la durée de vie utile est longue et ils dominent probablement la population d’immobilisations qui fournit les taux ex ante. Par ailleurs, les centres commerciaux linéaires dont la durée de vie est plus courte possèdent vraisemblablement une plus forte pondération parmi les observations des mises hors service. Ces situations produiront une estimation ex ante plus élevée que l’estimation ex post calculée d’après la courbe de mise hors service réelle.

    La source de données d’après laquelle est produite une estimation de la durée de vie prévue ex ante offre un nombre d’observations par actif beaucoup plus grand qu’il n’en existe pour le calcul de l’estimation ex post, ce qui représente définitivement un avantage. Par exemple, les données pour la période allant de 1985 à 2001 permettent de générer des estimations de la durée de vie prévue ex ante pour 139 actifs, et plus de 90 000 observations en tout. Les données pour la période plus récente, allant de 2002 à 2010, contiennent plus de 167 000 observations pour près de 200 actifs.

    Aussi intéressante que soit cette méthode ex ante de rechange, elle requiert encore l’estimation (le choix) du taux d’amortissement dégressif (TAD). Le choix d’un TAD comporte, en soi, une incertitude. On peut prendre un TAD de 2, ce qui est un choix de taux d’amortissement fréquent en comptabilité. Mais ce choix s’appuie essentiellement sur l’hypothèse que la frontière d’efficacité ou de capacité connexe de l’actif est constante. Si le profil est concave, le TAD sera généralement supérieur à 2, et inférieur à 3Note 22.

    Afin de comparer les estimations ex post aux estimations ex ante, on utilise les valeurs du TAD produites par la méthode ex post, et on les introduit dans la formule δ = TAD/T MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiTdqMaey ypa0JaaeivaiaabgeacaqGebGaae4laiaabsfaaaa@3C8C@  en utilisant une durée de vie ex ante pour calculer un taux d’amortissement. Les estimations par actif de la durée de vie utile moyenne ex ante  ( T ) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeikaGqaci aa=rfacaqGPaaaaa@382D@  sont tirées de l’Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparationsNote 23. Les estimations résultantes sont ensuite comparées aux taux ex post qui sont calculés d’après les ensembles de données pour les deux périodes, conjointement, aux tableaux 8 et 10.

    Pour les bâtiments, les deux ensembles d’estimations sont assez semblables (tableau 8). Le taux moyen d’amortissement ex post des bâtiments est de 9,7 %, tandis que l’estimation ex ante calculée d’après les TAD estimés et les durées de vie ex ante est de 9,2 %.

    Le tableau 8 présente aussi les estimations de l’âge prévu de mise hors service des bâtiments obtenues d’après l’estimation simultanée et d’après la durée de vie prévue ex ante jusqu’à la mise hors service. Les deux valeurs sont assez proches, soit 25,6 ans et 25,1 ans, respectivement. En conclusion, pour les actifs de la catégorie des bâtiments dont la durée de vie est longue, les données ne permettent pas de faire la distinction entre les estimations ex post et ex ante, sauf pour le groupe des centres commerciaux et magasins, qui peut présenter le problème mentionné plus haut. Pour les centres commerciaux, l’estimation ex post de l’âge prévu de mise hors service est d’environ 15 ans, soit une valeur nettement inférieure à la durée de vie utile moyenne ex ante déclarée de 26 ans. Pour la présente étude et pour les comptes de productivité, il a été décidé d’utiliser le taux d’amortissement ex ante d’environ 9,1 % au lieu du taux ex post de 16 % pour les centres commerciaux.

    Le tableau 9 comprend la durée de vie prévue d’un ensemble choisi de travaux de génie pour lesquels des données appropriées sont disponibles afin d’estimer la fonction de mise hors service, même si le ratio de survie du prix laisse vraisemblablement à désirer (parce que la plupart des actifs sont mis hors service à un prix nul et ne sont pas vendus à un prix positif). De nouveau, les estimations ex post sont proches des estimations ex ante pour les actifs dont la durée de vie est longue, soit 29 ans par opposition à 25 ans.

    D’après ces deux résultats, l’utilisation des estimations ex ante de la durée de vie, avec une valeur imputée du TAD, pour les actifs de longue durée dont les ventes sont peu fréquentes et pour lesquels il n’existe pas de prix des actifs usagés, pourrait être un moyen raisonnable de combler les lacunes de l’ensemble de données sur les taux d’amortissement pour les catégories pour lesquelles les prix des actifs usagés ne sont pas disponibles.

    Comme le montre le tableau 10, pour les machines et le matériel, il existe des écarts entre les estimations ex post et ex ante de la dépréciation et de la durée de vie. Les estimations moyennes de la durée de vie calculées ex post sont plus élevées que les estimations de la durée de vie utile prévue ex ante, soit 11,5 ans contre 8,2 ans. Par conséquent, le taux ex post moyen d’amortissement est de 21,8 % par opposition à 29,7 % pour l’estimation ex ante.

    La plupart des écarts importants se retrouvent dans cinq catégories MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugybabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A74@  matériel lourd de construction (6010), tracteurs (6011), automobiles (6201), autobus (6202) et camions (6203)  MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefmuySLMyYL gaiuaajugybabaaaaaaaaapeGaa8hfGaaa@3A74@  pour lesquelles environ 70 % de l’accroissement des résultats moyens résultent du passage des taux d’amortissement ex post à ex ante. Ces catégories comprennent toutes du matériel moteur lourd. Les écarts observés sont compatibles avec la notion voulant que certains gestionnaires appliquent le concept de « durée jusqu’à la cession » au lieu de « durée jusqu’à la mise hors service » pour répondre à la question sur la durée de vie prévue ex ante. Et cela peut se produire si le matériel est acheté pour des projets de construction particuliers. L’utilisation de l’estimation ex ante du TAD moyen pour la catégorie des machines et du matériel en général, ainsi que la durée de vie ex ante pour des actifs particuliers lorsque l’on ne dispose pas de suffisamment d’observations pour estimer le taux d’amortissement ex post semble une méthode prometteuse pour obtenir des estimateurs robustes du stock de capital.

    Les explications des écarts entre les estimations ex ante et ex post doivent aussi tenir compte du fait que, pour plusieurs raisons, les prix des actifs usagés ne reflètent peut-être qu’imparfaitement le flux de revenus futurs produit par ces actifs. Les actifs usagés non vendus peuvent comprendre une proportion plus élevée de « citrons » que le stock de capital en général et, donc, ne pas refléter la valeur moyenne en production. En outre, les données sur les prix utilisées pour estimer les profils âge-prix pourraient contenir un plus grand nombre d’erreurs de déclaration que les données sur la durée de vie prévue. Étant donné ces problèmes éventuels, il est peut-être étonnant de constater que les deux types d’estimations soient si congruents.

    6 Stock de capital

    6.1 L’effet de l’utilisation de divers taux d’amortissement sur le stock de capital

    À la section précédente, on a présenté les estimations des taux d’amortissement pour deux périodes distinctes, ainsi qu’un nouvel ensemble pour les deux périodes regroupées. La question qui se pose est celle de savoir si les taux de croissance du stock de capital et les niveaux du stock de capital diffèrent en raison de l’ajout des nouvelles observations à la base de données.

    Afin d’évaluer les estimations calculées sur différentes périodes pour l’ensemble complet d’actifs utilisés dans les comptes de productivité, on a adopté l’approche suivante.

    1. Pour les actifs pour lesquels existent des prix d’actifs usagés pour calculer les estimations ex post de la dépréciation, on utilise le taux d’amortissement calculé par la méthode d’estimation simultanée.
    2. Pour ces estimations, on calcule un TAD implicite en utilisant l’équation (4), le taux d’amortissement ex post et la durée de vie ex ante.
    3. Pour les actifs des catégories des machines et du matériel et des bâtiments pour lesquels l’hétérogénéité ou la disponibilité des données nous empêche d’estimer un taux d’amortissement ex post pertinent, on obtient un taux d’amortissement ex ante en divisant un TAD imputé par la durée de vie utile ex ante. Le TAD imputé pour un actif donné est calculé d’après le TAD moyen correspondant, au niveau des 22 groupes d’actifs s’il est disponible et sinon, au niveau de la catégorie générale de l’actif.
    4. Pour les actifs de la catégorie des travaux de génie, les estimations ex post pouvant servir de guides sont peu nombreuses. Par conséquent, on calcule les taux d’amortissement ex ante. Toutefois, le TAD imputé utilisé est établi en combinant les estimations ex post disponibles pour tous les actifs de la catégorie des bâtiments et des travaux de génie.
    5. Les actifs de la catégorie de l’exploration minière, pétrolière et gazière sont traités différemment. Pour l’exploration minière, la durée de vie ex ante est tirée de la moyenne des durées de vie ex ante des travaux de génie liés à l’exploitation minière et pour l’exploration pétrolière et gazière, des durées de vie ex ante des travaux de génie liés à l’exploitation du pétrole et du gaz.
    6. Pour les services de recherche-développement, on adopte les estimations utilisées dans les Comptes nationaux du Canada. Autrement dit, on suppose que la durée de vie utile ex ante est de sept ans et que le TAD est de 1,65.
    7. Pour les logiciels, on adopte aussi les estimations utilisées dans les Comptes nationaux du Canada, en supposant que le TAD est égal à 1,65.
    8. Pour simplifier, on calcule la moyenne des TAD sur l’ensemble des actifs des catégories des machines et du matériel, l’ensemble des bâtiments, et l’ensemble des travaux de génie, ce qui donne les estimations de 2,2, de 2,2 et de 2,4, respectivement, que l’on utilise avec les durées de vie prévues ex anteNote 24. Les TAD moyens montrent que le taux de diminution de la valeur de l’actif est légèrement supérieur à celui de 2 de l’ADTD.

    Afin de faciliter les comparaisons, les estimations résultantes de la dépréciation sont présentées au tableau 11 pour 21 catégories agrégées d’actifs et au tableau C.1, à l’annexe C, pour des catégories détaillées d’actifs conformément aux nouveaux codes de classification des actifs. En moyenne, les taux d’amortissement utilisés pour calculer les anciennes et les nouvelles estimations sont très proches (tableau 11). Le taux moyen pondéré d’amortissement pour les bâtiments utilisé dans Statistique Canada (2007) est de 0,074 tandis qu’il est de 0,077 dans la présente étude. Le taux moyen pondéré d’amortissement pour les travaux de génie utilisé dans Statistique Canada (2007) est de 0,122, tandis qu’il est de 0,079 dans la présente étude. Le taux moyen pondéré d’amortissement pour les machines et le matériel utilisé dans Statistique Canada (2007) est de 0,228, tandis qu’il est de 0,234 dans la présente étude.

    Après avoir obtenu ces estimations, on calcule le taux de croissance du stock total de capital dans le secteur des entreprises au cours de la période allant de 1960 à 2010. On donne aussi les résultats obtenus pour les sous-périodes de 1960 à 2000 et de 2001 à 2010 en utilisant les nouveaux et les anciens taux d’amortissement.

    Les estimations du stock de capital sont produites en se servant du modèle de l’inventaire permanent,

    K(t)=I(t)+(1δ)K(t1)       (27) MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4saiaacI cacaWG0bGaaiykaiabg2da9iaadMeacaGGOaGaamiDaiaacMcacqGH RaWkcaGGOaGaaGymaiabgkHiTiabes7aKjaacMcacaWGlbGaaiikai aadshacqGHsislcaaIXaGaaiykaiaaxMaacaWLjaGaaiikaiaaikda caaI3aGaaiykaaaa@4BAA@

    où  δ MathType@MTEF@5@5@+= feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqiTdqgaaa@379C@  représente un taux géométrique (constant) d’amortissement qui a été estimé.

    Les taux de croissance du stock de capital sont présentés au tableau 12. Le taux de croissance du stock de capital dans le secteur des entreprises pour la période allant de 1961 à 2010 est de 3,58 % si l’on se sert des anciens taux d’amortissement, et de 3,65 % si l’on se sert des nouvelles estimations. Il existe aussi de petits écarts pour deux sous-périodes seulement : 3,81 % par opposition à 3,85 % pour la période de 1961 à 2000, et 2,7 % par opposition à 2,9 %, pour la période de 2001 à 2010. Les différences de taux de croissance pour différentes catégories de capital sont également faibles. Pour les machines et le matériel, le chiffre est de 4,28 % pour la période complète en appliquant les nouveaux taux d’amortissement par opposition à 4,36 % en utilisant les anciens taux, et pour les bâtiments et les travaux de génie, le chiffre est de 3,41 % en utilisant les nouveaux taux d’amortissement contre 3,28 % en se servant des anciens.

    Brièvement, l’extension de la base de données, l’amélioration des méthodes d’imputation et l’expérimentation de méthodes d’estimation supplémentaires ont une incidence minime sur les estimations de la croissance du stock de capital qui avaient été calculées antérieurement (Statistique Canada, 2007).

    7 Conclusion

    Des estimations de la dépréciation sont nécessaires pour appliquer la méthode de l’inventaire permanent qui consiste à cumuler les estimations des immobilisations antérieures pour obtenir des mesures sommaires de la quantité de capital net affectée au processus de production.

    L’obtention d’estimations du taux d’amortissement pose de nombreuses difficultés. Bien que la dépréciation soit un concept appliqué directement aux comptes des entreprises et qu’il entre dans le calcul de l’impôt qu’elles doivent verser au gouvernement, les estimations habituellement utilisées dans les bilans ne sont pas toujours perçues comme étant celles dont a besoin le programme de productivité. Cela peut tenir à plusieurs raisons, notamment le fait que la déduction pour la dépréciation utilisée à des fins fiscales diffère parfois du taux « réel » parce que le régime fiscal est en retard sur l’évolution de la durabilité et de la longévité des actifs ou qu’il applique délibérément un taux différent du taux « réel » dans le but de stimuler l’investissement.

    Au lieu de tirer simplement les estimations de la dépréciation de sources comptables, les statisticiens ont élaboré d’autres méthodes d’estimation des taux d’amortissement. Tant aux États-Unis qu’au Canada, le taux d’amortissement, c’est-à-dire le taux auquel la valeur de l’actif diminue avec l’usage, est estimé à l’aide des prix des actifs usagés. La différence entre les deux pays tient au fait qu’aux États-Unis, les estimations sont tirées de nombreuses bases de données non reliées qui fournissent les prix du matériel usagé, tandis qu’au Canada, les prix proviennent de la seule Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparations dont les données remontent jusqu’aux années 1980 et dans le cadre de laquelle sont aussi demandés les prix des actifs vendus.

    Le programme des Comptes canadiens de productivité effectue aussi un recoupement de ses estimations de la dépréciation, calculées d’après les prix des actifs usagés, avec les estimations calculées d’après les estimations ex ante de la durée de vie dérivées d’une question de l’Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparations à propos de la durée de vie prévue de l’actif au moment de l’investissement initial, en formulant plusieurs hypothèses au sujet du profil du taux de diminution de la valeur d’un actif en utilisation (appelé taux d’amortissement dégressif ou TAD). Ce dernier est estimé d’après la courbe réelle de diminution dérivée de la trajectoire des prix des actifs usagés au fil du temps.

    La présente étude s’appuie sur les travaux antérieurs (Statistique Canada, 2007). Elle comprend un élargissement de la base de données sur les prix des actifs usagés et l’application de techniques de vérification supplémentaires à ces données. Ces améliorations ont permis de porter le nombre d’observations à environ 52 000, soit une taille qui rend la base de données unique.

    Plusieurs résultats méritent d’être soulignés. En premier lieu, les estimations antérieures décrites dans Statistique Canada (2007) sont généralement confirmées sous plusieurs aspects. Les profils de dépréciation produits par les méthodes économétriques sont, dans l’ensemble, accélérés, produisant des courbes âge-prix convexes. La plupart des estimations antérieures ne sont pas modifiées par l’ajout d’observations à la base de données pour une période subséquente. En outre, il existe peu de preuves que les taux d’amortissement ont augmenté ces dernières années, quoiqu’il y ait eu une évolution de la composition des actifs vers ceux dont les taux d’amortissement sont plus élevés, ce qui entraîne une augmentation du taux moyen d’amortissement.

    En deuxième lieu, comme cela était le cas dans Statistique Canada (2007), les estimations calculées suivant l’approche économétrique ex post, en utilisant la trajectoire des prix des actifs usagés, sont du même ordre que celles calculées par la méthode ex ante, en utilisant les estimations de la durée de vie prévue des actifs dérivées de l’Enquête sur les dépenses en immobilisations et réparations. Il est important de savoir si les deux estimations donnent à peu près les mêmes résultats, puisque cela signifierait que les gestionnaires peuvent prédire correctement la durée de vie de leurs actifs. Il est également important de savoir si les estimations ex post et ex ante sont à peu près les mêmes, puisque cette information est utilisée pour produire des estimations de la dépréciation des actifs pour lesquels on ne dispose pas d’un nombre adéquat d’observations pour calculer les estimations par la méthode ex post. Pour un grand nombre d’actifs fixes classés dans les catégories des bâtiments et des travaux de génie, il existe une prédiction ex ante de la durée de vie, mais le nombre de transactions concernant les actifs usagés n’est pas suffisamment grand pour appliquer la méthode ex post.

    En troisième lieu, les méthodes ex ante et ex post donnent à peu près les mêmes résultats pour les actifs pour lesquels le nombre d’observations est suffisant pour calculer les estimations par les deux méthodes. Cette conclusion est importante, parce que l’approche ex ante souffre d’un certain nombre de problèmes possibles. Les gestionnaires doivent prévoir correctement la durée de vie des actifs dans un monde en évolution. Ils doivent aussi avoir à l’esprit un calendrier d’entretien optimal lorsqu’ils indiquent leurs attentes concernant la durée de vie.

    L’approche ex post, quant à elle, pose d’autres difficultés. Les données sur les mises hors service peuvent présenter plusieurs imperfections, la moindre n’étant pas la remémoration incorrecte du prix d’achat original, de toutes les mises à niveau pertinentes et de l’âge de l’actif. En outre, le problème des actifs de qualité inférieure ou « citrons » peut se poser pour les prix des actifs usagés. Malgré ces problèmes, les deux méthodes produisent des résultats étonnamment semblables. Il est rare qu’en pratique les économistes aient à leur disposition diverses sources de données pour évaluer la validité des résultats.

    Par conséquent, l’information découlant des deux approches est combinée pour produire, pour les diverses catégories d’actifs, les taux d’amortissement qui sont utilisés pour estimer le stock de capital dans les Comptes canadiens de productivité. Les renseignements ex ante tirés des enquêtes réalisées par Statistique Canada n’ont trait qu’à la durée de vie utile prévue de l’actif. Le calcul d’un taux d’amortissement (géométrique) d’après la durée de vie prévue de l’actif nécessite un paramètre de forme du taux, le TAD. Ce paramètre détermine quelle part de la dépréciation totale au cours de la durée de vie utile a lieu au début de la vie de l’actif. Les comptes de productivité se servent de renseignements sur des actifs similaires pour lesquels la valeur probable du TAD a été inférée par l’approche ex post.

    Les nouveaux taux de croissance du stock de capital et des services de capital obtenus après avoir mis à jour la base de données et apporté de légères améliorations aux méthodes d’estimation diffèrent peu de ceux calculés auparavant.

    Notes

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