6 Formule finale

Anne Massiani

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Le terme ${\widehat{V}}_2^{\tau }$ qui intervient dans la proposition 1 comporte une somme double, mais celle-ci ne pose pas de problème sur le plan opérationnel. En effet, elle ne compte que très peu de termes puisqu'elle ne porte que sur les individus d'un même ménage. L'expression de ${\widehat{V}}_1^{\tau }={\tilde{V}}_{A_2}^{\tau }\left({\widehat{Z}}_1\mathrm{,}{\widehat{Z}}_2\mathrm{,}\dots \right)$ doit en revanche être transformée pour être calculable plus facilement. Nous commençons donc par donner une autre expression du terme ${\tilde{V}}_{A_2}^{\tau }\left(Z_1\mathrm{,}{Z}_2\mathrm{,}\dots \right)$ défini par la formule (5.9). On observe pour cela que :

$${\tilde{T}}_{\tau }={\displaystyle \sum _{j\in s_p^{A_2\mathrm{,}{t}_{\tau }}}}\frac{1}{{\pi }_j^{A_2}}{Z}_j={\displaystyle \sum _{k_1\in s_m^{A_2\mathrm{,}{t}_{\tau }}}}\frac{1}{{\pi }_{k_1}^{A_2}}{T}_{k_1}\mathrm{,}\text{ (6.1)}$$

où

$T_{k_1}={\displaystyle \sum _{j\in m_{k_1}}}{Z}_j\mathrm{.}$(6.2)

Rappelons que la sélection de $s_m^{A_2\mathrm{,}{t}_{\tau }}$ résulte de la succession d'un plan stratifié par grandes régions et d'une phase de non-réponse modélisée par un plan de Poisson sur les ménages de la vague 1 (cf. section 2). Donner une expression simple de l'estimateur de variance de Horvitz-Thompson d'un total pour ce plan très classique est un problème déjà largement étudié, notamment dans le cadre du logiciel de calcul de précision POULPE (cf. Caron, Deville et Sautory 1998, page 13). Afin de donner une telle expression, nous introduisons les notations suivantes. Pour chacune des sept strates $h,$ on désigne par $N_h$ le nombre de ménages qu'elle contient et par $n_h$ le nombre de ménages sélectionnés. Pour tout ménage $k_1\in s_m^{A_1\mathrm{,}{t}_{\tau }},$ on pose :

$$T_{k_1}^{{}^{*}}=\{\begin{array}{ll}\frac{T_{k_1}}{q_{k_1}^a}\hfill & \text{si }{k}_1\in s_m^{A_2\mathrm{,}{t}_{\tau }}\hfill \\ 0\hfill & \text{sinon}\text{.}\hfill \end{array}\text{ (6.3)}$$

On pose également, pour tout $h:$

$${\left(s_h^{{}^{*}}\right)}^2=\frac{1}{n_h-1}{\displaystyle \sum _{k_1\in \{s_m^{A_1\mathrm{,}{t}_{\tau }}\cap h\}}}{(T_{k_1}^{{}^{*}}-{\overline{T}}_h^{{}^{*}})}^2=\frac{1}{n_h-1}\left[{\displaystyle \sum _{k_1\in \{s_m^{A_2\mathrm{,}{t}_{\tau }}\cap h\}}}{\left(\frac{T_{k_1}}{q_{k_1}^a}\right)}^2\right]-\frac{n_h}{n_h-1}{({\overline{T}}_h^{{}^{*}})}^2\text{ (6.4)}$$

où

$${\overline{T}}_h^{{}^{*}}=\frac{1}{n_h}{\displaystyle \sum _{k_1\in \{s_m^{A_1\mathrm{,}{t}_{\tau }}\cap h\}}}{T}_{k_1}^{{}^{*}}=\frac{1}{n_h}{\displaystyle \sum _{k_1\in \{s_m^{A_2\mathrm{,}{t}_{\tau }}\cap h\}}}\frac{T_{k_1}}{q_{k_1}^a}\mathrm{.}$$

D'après Caron et coll. (1998, page 13), le terme ${\tilde{V}}_{A_2}^{\tau }\left(Z_1\mathrm{,}{Z}_2\mathrm{,}\dots \right)$ peut s'écrire ici [voir également la formule (11.12) de Särndal et Lundström 2005) :

$$\begin{array}{l}{\tilde{V}}_{A_2}^{\tau }\left(Z_1\mathrm{,}{Z}_2\mathrm{,}\dots \right)={\displaystyle \sum _{k_1\in s_m^{A_1,t_{\tau }}}}{\displaystyle \sum _{{k^{\prime }}_1\in s_m^{A_1\mathrm{,}{t}_{\tau }}}}\frac{{\pi }_{k_1{k^{\prime }}_1}^{A_1}-{\pi }_{k_1}^{A_1}{\pi }_{{k^{\prime }}_1}^{A_1}}{{\pi }_{k_1}^{A_1}{\pi }_{{k^{\prime }}_1}^{A_1}}\frac{1}{{\pi }_{k_1{k^{\prime }}_1}^{A_1}}{T}_{k_1}^{{}^{*}}{T}_{{k^{\prime }}_1}^{{}^{*}}-{\displaystyle \sum _{k_1\in s_m^{A_2\mathrm{,}{t}_{\tau }}}}\frac{1-{\pi }_{k_1}^{A_1}}{{({\pi }_{k_1}^{A_1})}^2}\frac{1-q_{k_1}^a}{{(q_{k_1}^a)}^2}{T}_{k_1}^2\text{ (6.5)}\\ +{\displaystyle \sum _{k_1\in s_m^{A_2\text{}\mathrm{,}{t}_{\tau }}}}\frac{1-q_{k_1}^a}{{(q_{k_1}^a)}^2}{\left(\frac{T_{k_1}}{{\pi }_{k_1}^{A_1}}\right)}^2\mathrm{.}\end{array}$$

En regroupant les deux derniers termes et en utilisant le fait que le plan de sondage de $s_m^{A_1\mathrm{,}{t}_{\tau }}$ est un plan stratifié, on aboutit à l'expression simple suivante pour ${\tilde{V}}_{A_2}^{\tau }\left(Z_1\mathrm{,}{Z}_2\mathrm{,}\dots \right):$

$${\tilde{V}}_{A_2}^{\tau }\left(Z_1\mathrm{,}{Z}_2\mathrm{,}\dots \right)={\displaystyle \sum _{h=1}^7}\frac{N_h^2}{n_h}\left(1-\frac{n_h}{N_h}\right){\left(s_h^{{}^{*}}\right)}^2+{\displaystyle \sum _{k_1\in s_m^{A_2\mathrm{,}{t}_{\tau }}}}\frac{1-q_{k_1}^a}{{\left(q_{k_1}^a\right)}^2}\frac{1}{{\pi }_{k_1}^{A_1}}{T}_{k_1}^2\mathrm{.}\text{ (6.6)}$$

On note ${\widehat{T}}_{k_1}$ et ${\widehat{s}}_h^{*}$ les estimateurs obtenus en remplaçant les variables $Z_j$ par les ${\widehat{Z}}_j$ dans les formules (6.2) et (6.4). La relation (6.6), combinée à la formule (4.6) et à la proposition 1, permet d'obtenir la formule finale ci-dessous pour l'estimation de la variance de l'estimateur complexe $\widehat{\Theta }:$

$\widehat{\text{var}}\left(\widehat{\Theta }\right)\simeq {\displaystyle \sum _{\tau =1}^4}\left[{\widehat{V}}_1^{\tau }+{\widehat{V}}_2^{\tau }\right]=\underset{{\widehat{V}}_{1.1}}{\underbrace{{\displaystyle \sum _{\tau =1}^4{\widehat{V}}_{1.1}^{\tau }}}}+\underset{{\widehat{V}}_{1.2}}{\underbrace{{\displaystyle \sum _{\tau =1}^4{\widehat{V}}_{1.2}^{\tau }}}}+\underset{{\widehat{V}}_2}{\underbrace{{\displaystyle \sum _{\tau =1}^4{\widehat{V}}_2^{\tau }}}}\mathrm{,}$(6.7)

où

$${\widehat{V}}_{1.1}^{\tau }={\displaystyle \sum _{h=1}^7}\frac{N_h^2}{n_h}\left(1-\frac{n_h}{N_h}\right){\left({\widehat{s}}_h^{{}^{*}}\right)}^2\text{ (6.8)}$$

$${\widehat{V}}_{1.2}^{\tau }={\displaystyle \sum _{k_1\in s_m^{A_2\mathrm{,}{t}_{\tau }}}}\frac{1-q_{k_1}^a}{{\left(q_{k_1}^a\right)}^2}\frac{1}{{\pi }_{k_1}^{A_1}}{\left({\widehat{T}}_{k_1}\right)}^2\text{ (6.9)}$$

$${\widehat{V}}_2^{\tau }={\displaystyle \sum _{k\in s_m^{B\mathrm{,}\tau }}}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{,}{j}^{\prime }\in {\tilde{m}}_k}}\frac{1}{{\pi }_{j{j}^{\prime }}^{A_2}}{\left(\frac{{{\widehat{e}}^{\prime }}_k}{L_k+P_k}\right)}^2\frac{1-q_k^b{q}_k^c}{{\left(q_k^b{q}_k^c\right)}^2}\mathrm{.}\text{ (6.10)}$$

Remarque 5 : La formule d'estimation de variance (6.7) fournit toujours des estimations positives. De plus, les trois termes qui la composent peuvent être programmés très aisément.

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