2 Estimateurs de Horvitz-Thompson et l'indice SPAR

Jan de Haan et Rens Hendriks

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Habituellement, l'objectif de l'échantillonnage est d'estimer le total ou la moyenne (arithmétique) d'une variable donnée pour une population finie. Dans le contexte du logement, nous pourrions vouloir estimer la valeur totale du parc de logements, disons, à la période 0. Soit $U^0$ le parc de logements de taille $N^0$ et $p_n^0$ la valeur du logement $n(n=1,\dots ,N^0).$ La valeur cible que l'on veut estimer est

$$V^0={\displaystyle \sum _{n\in U^0}{p}_n^0}.\left(2.1\right)$$

Supposons que nous ayons un échantillon $S^0$ comprenant $n^0$ logements vendus durant la période de référence. Si les logements sont sélectionnés par échantillonnage aléatoire simple dans le parc de logements $U^0,$ où chaque logement possède la même probabilité d'inclusion, alors l'estimateur de Horvitz-Thompson

$${\widehat{V}}^0=(N^0/n^0){\displaystyle \sum _{n=1}^{n^0}{p}_n^0}\left(2.2\right)$$

est un estimateur sans biais de (2.1); voir, par exemple, Cochran (1977).

Une cible naturelle $–$ quoi qu'il ne s'agisse pas de la seule possibilité $–$ pour un indice des prix des logements serait la variation de la valeur d'un parc de logements fixe. Le conditionnement sur le parc à la période de référence a deux implications : les ajouts au parc (principalement des logements neufs) doivent être exclus et les variations des biens immobiliers existants doivent être ajustées pour tenir compte des changements de qualité, c'est-à-dire l'effet de la dépréciation, des rénovations et des rajouts. Pour simplifier, nous supposons que ces changements de qualité sont négligeables. Dans ces conditions, l'indice des prix cible en passant de la période de référence 0 à la période de comparaison $t(>0)$ est défini comme

$$P^{0t}=\frac{{\displaystyle \sum _{n\in U^0}{p}_n^t}}{{\displaystyle \sum _{n\in U^0}{p}_n^0}},\left(2.3\right)$$

la notation étant évidente. Supposons que nous ayons aussi un échantillon $S^t,$ constitué de $n^t$ logements vendus à la période $t$ et supposons qu'il s'agit d'un tirage aléatoire indépendant fait dans le parc de logements à la période de référence. Le ratio des estimateurs de Horvitz-Thompson (les moyennes d'échantillon) aux deux périodes

$${\widehat{P}}^{0t}=\frac{(N^0/n^t){\displaystyle \sum _{n\in S^t}{p}_n^t}}{(N^0/n^0){\displaystyle \sum _{n\in S^0}{p}_n^0}}=\frac{{\displaystyle \sum _{n\in S^t}{p}_n^t/n^t}}{{\displaystyle \sum _{n\in S^0}{p}_n^0/n^0}}\left(2.4\right)$$

peut sembler être un estimateur naturel de notre indice cible (2.3). Toutefois, si les échantillons $S^0$ et $S^t$ sont tirés indépendamment, la variance de l'estimateur (2.4) risque d'être considérable. En outre, un ratio estimé tel que (2.4) présente un biais qui dépend de la variance du numérateur et de la covariance du numérateur et du dénominateur (Cochran 1977). Dans la perspective d'un indice, le problème important est que la composition des biens négociés à la période $t$ n'est pas la même qu'à la période 0. Autrement dit, nous ne comparons pas les mêmes choses.

L'approche classique d'estimation des indices de prix repose sur les méthodes d'appariement de modèles où les prix $p_n^0$ et $p_n^t$ sont observés pour un panel fixe d'articles. L'utilisation de données de panel permet de s'assurer que l'on compare des articles qui sont les mêmes, ce qui réduit la variance de l'estimateur par le ratio, parce que $p_n^0$ et $p_n^t$ sont habituellement corrélés positivement. Cependant, à moins que les échantillons $S^0$ et $S^t$ soient extraordinairement grands, on n'obtient que quelques appariements de logements, si tant qu'il y en ait. Donc, alors que les prix $p_n^t$ sont observés pour les logements appartenant à $S^t,$ les prix à la période de référence $p_n^0$ « manquent » pour la plupart de ces logements. Les données qui pourraient par contre être disponibles sont les évaluations foncières de l'administration publique $a_n^0.$ Nous pourrions utiliser ces évaluations comme valeurs à la période de référence et construire l'estimateur par « pseudo » appariement de modèles qui suit de la variation des prix des logements :

$${\tilde{P}}^{0t}=\frac{{\displaystyle \sum _{n\in S^t}{p}_n^t}/n^t}{{\displaystyle \sum _{n\in S^t}{a}_n^0}/n^t}.\left(2.5\right)$$

Un problème que pose l'estimateur (2.5) est que l'indice à la période de référence ne sera pas égal à 1, parce que les évaluations $a_n^0$ diffèrent des prix de vente $p_n^0.$ Le rééchelonnement de l'estimateur (2.5) en le divisant par sa valeur à la période de référence est une solution évidente, qui donne

$${\widehat{P}}_{\text{SPAR}}^{0t}=\frac{{\displaystyle \sum _{n\in S^t}{p}_n^t}/n^t}{{\displaystyle \sum _{n\in S^t}{a}_n^0}/n^t}{\left[\frac{{\displaystyle \sum _{n\in S^0}{p}_n^0}/n^0}{{\displaystyle \sum _{n\in S^0}{a}_n^0}/n^0}\right]}^{-1}=\frac{{\displaystyle \sum _{n\in S^t}{p}_n^t}/n^t}{{\displaystyle \sum _{n\in S^0}{p}_n^0}/n^0}\left[\frac{{\displaystyle \sum _{n\in S^0}{a}_n^0}/n^0}{{\displaystyle \sum _{n\in S^t}{a}_n^0}/n^t}\right].\left(2.6\right)$$

Notons que le facteur de rééchelonnement est stochastique, car il s'agit d'un ratio de moyennes d'échantillon pour la période de référence, ce qui augmentera la variance de (2.6) comparativement à l'estimateur donné par (2.5), en fonction des corrélations entre les évaluations foncières et les prix de vente. Des renseignements détaillées figurent dans de Haan (2007). Cependant, nous ne pouvons pas contourner le rééchelonnement, puisqu'un indice de prix dont la valeur initiale n'est pas égale à 1 n'aurait pas de sens.

L'expression (2.6) est appelée indice du ratio prix de vente-évaluation (sale price appraisal ratio) ou indice SPAR. La méthode SPAR est appliquée aux Pays-Bas depuis janvier 2008 pour mesurer le changement de prix des logements occupés par le propriétaire. Comme il est mentionné plus haut, nous supposons que l'indice SPAR a pour objectif de suivre l'évolution du prix du parc de logements, qui est une mesure de la variation du patrimoine. Par ailleurs, dans le contexte de l'Indice harmonisé des prix à la consommation, l'indice des prix des logements doit mesurer le changement de prix des logements vendus durant la période de référence (Makaronidis et Hayes 2006; Eurostat 2010). Sous ce dernier concept, aucun échantillonnage ne doit être effectué si toutes les transactions sont enregistrées et utilisées dans le calcul de l'indice, comme cela est le cas aux Pays-Bas.

Le deuxième membre de l'équation (2.6) exprime l'indice SPAR sous la forme du produit de deux facteurs, le ratio des moyennes d'échantillon et un facteur entre crochets. Comme l'indice SPAR est essentiellement fondé sur la méthode d'appariement de modèles (en utilisant des évaluations à la place des prix de vente à la période de référence), ce facteur rajuste le ratio des moyennes d'échantillon pour tenir compte des changements de composition qualitative des échantillons qui ont lieu entre la période 0 et la période $t.$ Un problème éventuel est que l'indice SPAR n'est pas un estimateur de type panel. Par conséquent, une série chronologique SPAR, disons pour les périodes $t=0,\dots ,T,$ pourrait souffrir d'une volatilité dans le court terme due à des changements de composition, surtout si le nombre de ventes est faible.

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