6 Conclusion

Jan de Haan et Rens Hendriks

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La simple méthode GREG décrite dans le présent article, qui est fondée sur la régression des prix de vente sur les évaluations foncières par les MCO, réduit considérablement la volatilité d'un indice des prix des logements comparativement aux ratios des moyennes d'échantillon. L'indice SPAR peut être considéré comme un estimateur de l'indice GREG (MCO) (lui-même un estimateur, évidemment) dans lequel la moyenne de population des évaluations à la période de référence est remplacée par les moyennes d'échantillon à la période de référence et à la période comparée. Nos résultats empiriques pour les Pays-Bas indiquent que l'indice SPAR est presque aussi efficace que l'indice GREG, même pour de petites sous-populations. Nous avons vérifié cela en tirant un échantillon aléatoire de 50 observations chaque mois du nombre total de ventes mensuelles (15 000 en moyenne). Les variations d'un mois à l'autre de l'indice SPAR sont à peine plus importantes que celles de l'indice GREG.

En raison du changement de composition de l'ensemble de logements vendus, la série chronologique GREG (et SPAR) présente une forte volatilité à court terme. Une augmentation durant un mois particulier est habituellement suivie d'une diminution le mois suivant. Autrement dit, les variations d'un mois à l'autre ne disent pas grand-chose au sujet de la variation réelle du prix du parc de logements qui, sauf dans des circonstances inhabituelles, devrait être harmonieuse. Une méthode améliorée de détection des valeurs aberrantes aiderait peut-être à réduire la volatilité de l'indice, mais l'effet serait vraisemblablement limité. L'application d'une procédure de lissage semble être une option. Cependant, ce lissage entraîne habituellement des révisions des indices de prix publiés antérieurement et l'absence de révision est l'un des points forts des approches GREG et SPAR. Une autre option consisterait à réduire la fréquence d'observation, en la choisissant par exemple trimestrielle, mais cela pourrait être indésirable également.

D'un point de vue purement statistique, dans notre modèles à deux variables, la variabilité de $R^2$ semble être en grande partie à l'origine de la volatilité du coefficient de pente et, par conséquent, de celle de la série d'indices de prix. De futures études pourraient porter sur la relation entre les changements de composition ayant trait aux caractéristiques des biens immobiliers et les variations de $R^2.$ Comme les données sur de nombreuses caractéristiques des logements ne sont pas disponibles, nous ne pouvons pas étudier cette question au moyen de nos données. Heureusement, Statistics Netherlands a accès à un jeu de données produit par la plus grande association d'agents immobiliers aux Pays-Bas qui pourrait être utile. Ce jeu de données couvre environ 70 % des ventes de logements qui ont eu lieu aux Pays-Bas de 1999 à 2008, comprend des données sur de nombreuses caractéristiques des biens et a été enrichi par les données d'évaluation foncière. Dans le passé, nous avons utilisé ce jeu de données pour comparer l'indice SPAR à divers types d'indices hédoniques.

Remerciements

Les auteurs remercient les participants à l'Economic Measurement Group Workshop, qui s'est déroulé du 1^er au 3 décembre 2010 à l'Université de New South Wales, à Sydney, en Australie, et les participants à un séminaire d'économie appliquée, tenu le 22 novembre 2011 à l'Université du  Queensland, à Brisbane, en Australie, de leurs commentaires constructifs concernant des versions préliminaires de l'article. Les commentaires et suggestions faits par le rédacteur et deux examinateurs anonymes ont également contribué à améliorer l'article. Les auteurs remercient de son aide Erna van der Wal, qui leur a fourni les données. Les opinions exprimées dans l'article sont celles des auteurs et ne représentent pas forcément celles de Statistics Netherlands.

Annexe

Erreurs-types approximatives de l'indice GREG

L'indice GREG défini par l'équation (3.10) dans le corps du texte est un ratio de deux estimateurs, ${\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t$ et ${\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0;$ pour simplifier, nous supprimons la notation « MCO ». En utilisant un développement du premier degré en séries de Taylor, la variance de l'indice peut être approximée par (voir, par exemple, Kendall et Stuart 1976)

$$\mathrm{var}({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t})\cong {\left[\frac{E({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t)}{E({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0)}\right]}^2\left[\frac{\mathrm{var}({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t)}{{\{E({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t)\}}^2}+\frac{\mathrm{var}({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0)}{{\{E({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0)\}}^2}+\frac{\mathrm{cov}({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t,{\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0)}{E({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t)E({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0)}\right],\left(A.1\right)$$

où $E({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t)$ et $E({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0)$ désignent les valeurs espérées.

Le terme de covariance dans (A.1) est égal à 0 puisque, par hypothèse, les échantillons aux périodes 0 et $t$ sont tirés indépendamment. Le remplacement des valeurs espérées dans (A.1) par les estimateurs et le calcul subséquent de la racine carré donne l'expression qui suit pour l'erreur-type de ${\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}:$

$$se({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t})\cong {\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}{\left[\frac{\mathrm{var}({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t)}{{({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t)}^2}+\frac{\mathrm{var}({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0)}{{({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0)}^2}\right]}^{1/2}.\left(A.2\right)$$

L'équation (A.2) peut être estimée en pratique en utilisant ${\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^s={\widehat{\alpha }}^s+{\widehat{\beta }}^s{\overline{a}}^0(s=0,t),$ d'où  $\mathrm{var}({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^s)=\mathrm{var}({\widehat{\alpha }}^s)+{({\overline{a}}^0)}^2\mathrm{var}({\widehat{\beta }}^s)+2{\overline{a}}^0\mathrm{cov}({\widehat{\alpha }}^s,{\widehat{\beta }}^s).$ Les estimations des (co)variances sont obtenues facilement dans la plupart des progiciels statistiques à partir de la matrice de variance-covariance.

La division de (A.2) par ${\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}$ donne une expression pour l'erreur-type relative ou coefficient de variation, $CV({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t})=se({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t})/{\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t},$ de l'indice GREG :

$$CV({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t})\cong {\left[\frac{\mathrm{var}({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t)}{{({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t)}^2}+\frac{\mathrm{var}({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0)}{{({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0)}^2}\right]}^{1/2}={\left[{\{CV({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^t)\}}^2+{\{CV({\widehat{\overline{p}}}_{\text{GREG}}^0)\}}^2\right]}^{1/2}.\left(A.3\right)$$

Un élément plus important est l'erreur-type relative de la variation en pourcentage de l'indice, c'est-à-dire $CV({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}-1)=se({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}-1)/({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}-1).$ Celle-ci est généralement plus grande que $CV({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}),$ étant donné que $se({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}-1)=se({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t})$ et ${\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}-1<{\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}.$

Si les deux droites de régression passent presque par l'origine, donc que ${\widehat{\alpha }}^s\cong 0(s=0,t),$ nous avons ${\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}\cong {\widehat{\beta }}^t/{\widehat{\beta }}^0$ et (A.2) se simplifie pour donner

$$se({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t})=se({\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}-1)\cong {\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}{\left[\frac{\mathrm{var}({\widehat{\beta }}^t)}{{\left({\widehat{\beta }}^t\right)}^2}+\frac{\mathrm{var}({\widehat{\beta }}^0)}{{\left({\widehat{\beta }}^0\right)}^2}\right]}^{1/2}.\left(A.4\right)$$

Dans ce cas particulier, les indices GREG et SPAR coïncident presque, de sorte que l'expression (A.4) est également vérifiée pour l'indice SPAR (en utilisant ${\widehat{P}}_{\text{SPAR}}^{0t}$ au lieu de ${\widehat{P}}_{\text{GREG}}^{0t}).$

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