4 Convergence de la procédure BIC-PVP

Chen Xu, Jiahua Chen et Harold Mantel

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Nous examinons maintenant le comportement asymptotique de la procédure BIC-PVP dans le cadre de randomisation conjointe. Nous supposons qu'il existe une série de populations finies, disons $D_r$ avec $r\to \infty .$ Chaque $D_r$ est un échantillon indépendant et identiquement distribué (i.i.d.) de taille $N_r$ tiré d'une superpopulation modélisée par (2.1) avec la variable aléatoire $\left(Y,X=\left\{X_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_p\right\}\right).$ Dans chaque population $D_r,$ on tire un échantillon $d_r$ de taille $n_r$ selon un certain plan d'échantillonnage. Nous supposons que $N_r$ ainsi que $n_r$ tendent vers l'infini quand $r\to \infty ,$ la fraction d'échantillonnage $n_r/N_r$ étant bornée par une constante $C<1.$ Pour simplifier la notation, nous abandonnons l'indice $r$ dans la suite de la discussion.

Sans perte de généralité, nous supposons que les $q$ premiers coefficients ne sont pas nuls et nous désignons la valeur réelle de $\beta$ par ${\beta }_0=\left\{{\beta }_{01}\mathrm{,}{\beta }_{02}\right\}$ avec ${\beta }_{02}=0.$ En outre, nous utilisons $s_0$ pour désigner le modèle réel $\{1,\dots ,q\}$ qu'il faut identifier. Nous établissons la convergence de sélection de la procédure BIC-PVP en deux étapes. À la première étape, nous montrons que, pour des choix appropriés de ${\varphi }_{\lambda }\left(\mathrm{.}\right),$ la PVP peut systématiquement identifier le vrai $s_0$ de sorte que $s_0\in S_{\Omega }$ avec la probabilité tendant vers 1. À la deuxième étape, nous vérifions que le BIC (3.4) sélectionne systématiquement $s_0$parmi$S_{\Omega }.$

Pour l'analyse asymptotique, nous définissons ${\phi }_{\lambda }=\max \left\{{{\varphi }^{\prime }}_{\lambda }\left(\left|{\beta }_{0j}\right|\right)\text{ pour }j\in s_0\right\}$ et associons $\lambda$ à $n$ pour faire de ${\phi }_{\lambda }$ une séquence. Sous le cadre de randomisation conjointe, nous montrons l'allégation de l'étape 1 sous la forme du théorème suivant.

Théorème 1 Sous des conditions de régularité appliquées au modèle (2.1) et d'autres exigences spécifiées dans le supplément en ligne, si ${\phi }_{\lambda }\to 0$ quand $n\to \infty ,$ il existe alors un maximiseur local ${\widehat{\beta }}_{\lambda }=\left({\widehat{\beta }}_{\lambda 1}\mathrm{,}{\widehat{\beta }}_{\lambda 2}\right)$ de la fonction de pseudo-vraisemblance pénalisée (3.5) tel que

$$\Vert {\widehat{\beta }}_{\lambda }-{\beta }_0\Vert =O_p\left(n^{-1/2}+{\phi }_{\lambda }\right)\text{ et }P\left\{{\widehat{\beta }}_{\lambda 2}=0\right\}\to 1$$

avec $\Vert \mathrm{.}\Vert$ désignant la norme euclidienne.

Le résultat de convergence du théorème 1 est vérifié pour les fonctions de pénalité non convexes fréquemment utilisées. Par exemple, pour la pénalité $L_{\gamma }$ avec $\gamma \in \left(\mathrm{0,1}\right),$ la convergence est vérifiée si $\lambda \to 0;$ pour la pénalité SCAD, la convergence est vérifiée si $\lambda \to 0$ et $\sqrt{n}\lambda \to \infty .$ Cela implique aussi que, si la probabilité tend vers 1, le modèle réel $s_0$ est inclus dans $S_{\Omega },$ ce qui sert de condition préalable pour la convergence de sélection du BIC sur $S_{\Omega }.$

Nous établissons maintenant la convergence en utilisant le BIC sur $S_{\Omega }$ avec une fonction ${\varphi }_{\lambda }\left(\mathrm{.}\right)$ spécifiée qui satisfait le théorème 1. En se servant de la notation de la section 3.2, soit $s_{\lambda }$ le modèle correspondant à l'estimateur PVP ${\widehat{\beta }}_{\lambda },$ et soit $\Omega$ l'intervalle de valeurs de $\lambda$ pris en considération. Nous définissons deux séries de modèles possibles comme il suit :

• modèles surajustés : $S_{+}=\left\{s:s_0\subset s\mathrm{,}s\ne s_0\right\};$
• modèles sous-ajustés : $S_{-}=\left\{s:s_0\cancel{\subset }s\right\}.$

La notation $\cancel{\subset }$ indique ici qu'il existe au moins un élément différent entre deux ensembles, de sorte que $S_{-}$ est la série de modèles possibles qui ne comprend pas toutes les variables figurant dans le modèle réel. Alors, $\Omega$ peut être partitionné en conséquence en

$${\Omega }_{+}=\left\{\lambda :s_{\lambda }\in S_{+}\right\}\mathrm{,}{\Omega }_{-}=\left\{\lambda :s_{\lambda }\in S_{-}\right\}\mathrm{,}{\Omega }_0=\left\{\lambda :s_{\lambda }=s_0\right\}\mathrm{.}\left(4.1\right)$$

Au moyen du théorème 1, nous avons montré que $P\left({\Omega }_0\ne \varnothing \right)\to 1.$ Par conséquent, la convergence de sélection du BIC sur $S_{\Omega }$ est atteinte si le BIC est capable d'identifier $s_0$ pour tout modèle $s_{\lambda }$ avec $\lambda \in {\Omega }_{+}\cup {\Omega }_{-}.$ Nous utilisons le théorème qui suit pour établir ce résultat de convergence.

Théorème 2  Sous les mêmes conditions qu'au théorème 1,

$$P\left\{\underset{\lambda \in {\Omega }_{+}\cup {\Omega }_{-}}{\min }{\text{BIC}}_n\left(s_{\lambda }\right)\le {\text{BIC}}_n\left(s_0\right)\right\}\to \mathrm{0,}$$

où ${\Omega }_{+}$ et ${\Omega }_{-}$ sont définis dans (4.1).

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