3 Estimation de la variance

Jun Shao, Eric Slud, Yang Cheng, Sheng Wang et Carma Hogue

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Il est d’usage de communiquer une estimation de la variance ou de l’erreur-type pour chaque estimation d’après des données d’enquête. L’estimation de la variance est également essentielle pour l’inférence statistique lorsqu’on établit un intervalle de confiance pour un paramètre d’intérêt inconnu.

Les résultats asymptotiques de la section 2 suggèrent un estimateur de variance pour ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,}k}$  obtenu en substituant dans (2.2) des estimateurs pour les quantités inconnues dans ${\sigma }_k^2.$  Puisque la variance totale est une somme de $H$  variances intrastrates, sans perte de généralité, nous considérons une strate $\left(H=1\right).$ Pour $j=1,2,$ soit

$${\widehat{D}}_{n_j}={\displaystyle \sum _{i\in S_j}}\frac{{\widehat{b}}_{ij}{\widehat{b}}_{ij}^T}{\left(n_j-1\right){\widehat{N}}_j}\mathrm{,}{\widehat{b}}_{ij}={\left[1/p_{ij}-{\widehat{N}}_j\mathrm{,}{x}_i/p_{ij}-{\widehat{X}}_j\mathrm{,}{y}_i/p_{ij}-{\widehat{Y}}_j\right]}^T\mathrm{,}i\in S_j\mathrm{,}$$

$${\widehat{a}}_{1j}=\frac{{\widehat{N}}_j{n}^{1/2}}{\widehat{N}{n}_j^{1/2}}{\left[-\left({\overline{y}}_j-{\widehat{\beta }}_j{\overline{x}}_j\right)\mathrm{,}-{\widehat{\beta }}_j\mathrm{,1}\right]}^T\mathrm{,}{\widehat{a}}_{2j}=\frac{{\widehat{N}}_j{n}^{1/2}}{\widehat{N}{n}_j^{1/2}}{\left[-\left(\overline{y}-\widehat{\beta }\overline{x}\right)\mathrm{,}-\widehat{\beta }\mathrm{,1}\right]}^T\mathrm{,}$$

$${\overline{y}}_j={\widehat{Y}}_j/{\widehat{N}}_j\mathrm{,}{\overline{x}}_j={\widehat{X}}_j/{\widehat{N}}_j\mathrm{,}\overline{y}={\displaystyle \sum _{j=1}^2}{\widehat{Y}}_j/\left({\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2\right)\mathrm{,}\overline{x}={\displaystyle \sum _{j=1}^2}{\widehat{X}}_j/\left({\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2\right)\mathrm{.}$$

Alors, sous les conditions du théorème 1,

$${\widehat{\sigma }}_k^2={\displaystyle \sum _{j=1}^2}{\widehat{a}}_{kj}^T{\widehat{D}}_{n_j}{\widehat{a}}_{kj}{\to }_{{}_P}{\sigma }_k^2\mathrm{,}k=1,2.$$

C’est-à-dire que ${\widehat{\sigma }}_k^2$  est convergent pour ${\sigma }_k^2.$  Les résultats des théorèmes 2 et 3 montrent aussi que ${\widehat{\sigma }}_2^2$  est un estimateur de variance convergent pour l’estimateur fondé sur un test de décision ${\widehat{Y}}_{\text{dec}},$  parce que nous avons soit ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ soit $P\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}={\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\right)\to 1.$

Cependant, ces estimateurs de variance obtenus par substitution peuvent ne pas donner d’aussi bons résultats lorsque la valeur de $n_1$  ou de $n_2$  est modérée (voir la section 4). Une autre méthode est celle du bootstrap proposée par Cheng et coll. (2010). Soit $\widehat{\theta }$  l’estimateur pris en considération. L’estimateur bootstrap de sa variance peut être obtenu comme il suit.

1. Tirer un échantillon bootstrap $S_j^{*}$ de taille $n_j$ par échantillonnage aléatoire simple avec remise à partir de $S_j,$ où $S_1^{*}$ et $S_2^{*}$ sont obtenus de manière indépendante. S’il existe $k_j$ unités autoreprésentatives (AR) dans $S_j,$ comme il est discuté à la section 4.1 qui suit, on tire alors des échantillons de tailles $n_j-k_j$ avec remise, avec $j=1,2.$
2. Utiliser les poids de sondage et les données observées provenant de l’ensemble de données originales pour former un ensemble de données bootstrap $S_1^{*}\cup S_2^{*}.$ À partir de cet ensemble de données, calculer l’analogue bootstrap ${\widehat{\theta }}^{*}$ de $\widehat{\theta }.$
3. Répéter indépendamment les étapes qui précèdent $B$  fois pour obtenir ${\widehat{\theta }}^{*1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\widehat{\theta }}^{*B}.$ La variance d’échantillon de ${\widehat{\theta }}^{*1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\widehat{\theta }}^{*B}$ est l’estimateur bootstrap de la variance de $\widehat{\theta }.$

Sous les conditions des théorèmes 1 et 2, les estimateurs bootstrap de la variance de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}},$   ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$  et ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$  sont des estimateurs convergents. La preuve pour le bootstrap est similaire aux preuves des théorèmes et est donc omise.

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