Annexe

Jun Shao, Eric Slud, Yang Cheng, Sheng Wang et Carma Hogue

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Preuve du théorème 1. Sous échantillonnage PPT, ${\pi }_i=n_j{p}_{ij}$ pour l'unité $i\in U_j,$ et à chaque tirage avec remise, l'indice échantillonné $i_t\in U_j\mathrm{,}t=1,\dots \mathrm{,}{n}_j$ possède $P\left(i_t=i\right)=p_{ij}$ pour chaque $i\in U_j.$ En calculant les moyennes et les variances (sous échantillonnage répété) de ${\widehat{N}}_j,$ ${\widehat{X}}_j,$ ${\widehat{Y}}_j,$ $N_j^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in S_j}}{x}_i{y}_i/{\pi }_i$ et $N_j^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in S_j}}{x}_i^2/{\pi }_i,$ nous constatons que les variances sont d'ordre $n_j^{-1}$ au moyen des limites données dans (C2) et (C3) et des bornes données dans (C4). Les assertions de la partie (a) s'ensuivent directement.

Pour l'assertion (b), nous avons, en vertu de la définition de $\widehat{\beta }$, que

$$\begin{array}{lll}\widehat{\beta }\hfill & =\hfill & \frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^2{\displaystyle {\sum }_{i\in S_j}\left(x_i-{\widehat{\mu }}_{x\mathrm{,}j}+{\widehat{\mu }}_{x\mathrm{,}j}-\left({\widehat{X}}_1+{\widehat{X}}_2\right)/\left({\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2\right)\right)y_i/{\pi }_i}}}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^2{\displaystyle {\sum }_{i\in S_j}{\left(x_i-{\widehat{\mu }}_{x\mathrm{,}j}+{\widehat{\mu }}_{x\mathrm{,}j}-\left({\widehat{X}}_1+{\widehat{X}}_2\right)/\left({\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2\right)\right)}^2/{\pi }_i}}}\hfill \\ \hfill & =\hfill & \frac{N^{-1}\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^2{\widehat{\beta }}_j{\widehat{\sigma }}_{xj}^2{\widehat{N}}_j+\left({\widehat{N}}_1{\widehat{N}}_2/\left({\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2\right)\right)\left({\widehat{\mu }}_{x1}-{\widehat{\mu }}_{x2}\right)\left({\widehat{\mu }}_{y1}-{\widehat{\mu }}_{y2}\right)}\right)}{N^{-1}\left({\displaystyle \sum _{j=1}^2}{\widehat{\sigma }}_{xj}^2{\widehat{N}}_j+\left({\widehat{N}}_1{\widehat{N}}_2/\left({\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2\right)\right){\left({\widehat{\mu }}_{x1}-{\widehat{\mu }}_{x2}\right)}^2\right)}\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

d'où l'égalité (2.1) dans (b) découle immédiatement par substitution des limites de la partie (a) ainsi que des limites $N_j/N\to {\omega }_j.$

Soit ${\Sigma }_N$ la matrice diagonale par blocs avec deux blocs diagonaux $D_{N_1}$ et $D_{N_2},$ et pour $j=1,2$ soit

$$\begin{array}{llll}{\Omega }_{1j}\hfill & =\hfill & \frac{1}{N_j\sqrt{n_j}}{\displaystyle \sum _{i\in S_j}}\left(\frac{1}{p_{ij}}-N_j\right)\mathrm{,}{\Omega }_{2j}=\frac{1}{N_j\sqrt{n_j}}{\displaystyle \sum _{i\in S_j}}\left(\frac{x_i}{p_{ij}}-X_j\right)\mathrm{,}\hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill & (\text{A}\text{.1})\hfill \\ {\Omega }_{3j}\hfill & =\hfill & \frac{1}{N_j\sqrt{n_j}}{\displaystyle \sum _{i\in S_j}}\left(\frac{y_i}{p_{ij}}-Y_j\right)\mathrm{,}{\Omega }_{4j}=\frac{1}{N_j\sqrt{n_j}}{\displaystyle \sum _{i\in S_j}}\frac{x_i-{\mu }_{x\mathrm{,}j}}{p_{ij}}\left(y_i-{\alpha }_j-{\beta }_j{x}_i\right).\hfill & \hfill \end{array}$$

Puisque $S_1$ et $S_2$ sont indépendants, ${\left\{{\Omega }_{k1}\right\}}_{k=1}^4$ est indépendant de ${\left\{{\Omega }_{k2}\right\}}_{k=1}^4\cdot$ Notons que, ici et tout au long de la présente preuve, les sommes sur $i\in S_j$ utilisées pour définir ${\widehat{X}}_j,$ ${\widehat{Y}}_j,$ ${\Omega }_{kj},$ et les estimateurs de variance doivent être interprétés comme étant des sommes avec multiplicité compte tenu du plan d'échantillonnage PPT avec remise. La condition (C4) permet d'appliquer le théorème central limite de Liapounov pour montrer que

$${\Sigma }_N^{-1/2}{\left[{\Omega }_{11}\mathrm{,}{\Omega }_{21}\mathrm{,}{\Omega }_{31}\mathrm{,}{\Omega }_{12}\mathrm{,}{\Omega }_{22}\mathrm{,}{\Omega }_{32}\right]}^T{\to }_{{}_d}N\left(\mathrm{0,}{I}_6\right)\mathrm{,}{\Omega }_{4j}{\to }_{{}_d}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_{xe\mathrm{,}j}^2\right)\mathrm{,} (\text{A}\text{.2})$$

où $I_6$ est la matrice identité de dimensions $6\times 6$ , et ${\sigma }_{xe\mathrm{,}j}^2$ est donné dans l'énoncé de (d). Les limites qui définissent les variances asymptotiques dans (A.2) existent conformément à (C3).

Preuve de (c). Il est facile de vérifier d'après la définition que

$$\left(\begin{array}{l}{\widehat{\beta }}_j-{\beta }_j\hfill \\ {\widehat{\alpha }}_j-{\alpha }_j\hfill \end{array}\right)=\frac{1}{{\widehat{N}}_j{\widehat{\sigma }}_{xj}^2}{\displaystyle \sum _{i\in S_j}}\left(\begin{array}{c}{x}_i-{\widehat{\mu }}_{xj}\\ {\widehat{\sigma }}_{xj}^2-(x_i-{\widehat{\mu }}_{xj}){\widehat{\mu }}_{xj}\end{array}\right)\frac{y_i-{\alpha }_j-{\beta }_j{x}_i}{{\pi }_i}\mathrm{.}$$

Puisqu'il a été établi dans (a) que ${\widehat{\sigma }}_{xj}^2{\to }_{{}_P}{\sigma }_{xj}^2$ et ${\widehat{N}}_j/N_j{\to }_{{}_P}1,$ il s'ensuit que la distribution limite de $\sqrt{n_j}\left({\widehat{\beta }}_j-{\beta }_j\right)$ est la même que celle de

$${\sqrt{n}}_j{\left(N_j{\sigma }_{xj}^2\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in S_j}}\left(x_i-{\mu }_{xj}\right)\left(y_i-{\alpha }_j-{\beta }_j{x}_i\right)/{\pi }_i\mathrm{,}$$

qui est clairement la même que celle de ${\sigma }_{xj}^{-2}{\Omega }_{4j}$ dans (A.1). La première assertion de (c) découle immédiatement de (A.2). La convergence de ${\widehat{\sigma }}_{xe\mathrm{,}j}^2$ s'ensuit en notant en vertu de (a) que

$${\widehat{\sigma }}_{xe\mathrm{,}j}^2-N_j^{-2}{\displaystyle \sum _{i\in S_j}}\frac{{\left(x_i-{\mu }_{xj}\right)}^2}{{\pi }_i{p}_{ij}}{\left(y_i-{\alpha }_j-{\beta }_j{x}_i\right)}^2{\to }_{{}_P}0. (\text{A}\text{.3})$$

Le deuxième terme du premier membre de (A.3) contient une variance d'échantillonnage PPT avec remise calculée de manière qu'elle soit bornée par $1/n_j$ conformément à (C4), dont l'espérance en vertu de (C3) converge vers ${\sigma }_{xe\mathrm{,}j}^2.$

Preuve de (d). De (1.2) et (a), il découle que $\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}-Y\right)/N{\to }_{{}_P}0,$ qui peut aussi être considéré comme la représentation

$$\begin{array}{lll}\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}-Y\right)/N\hfill & =\hfill & \frac{\sqrt{n}}{N}{\displaystyle \sum _{j=1}^2}\left[\frac{N_j{\widehat{Y}}_j}{{\widehat{N}}_j}-Y_j+{\widehat{\beta }}_j\left(X_j-\frac{N_j{\widehat{X}}_j}{{\widehat{N}}_j}\right)\right]\hfill \\ \hfill & =\hfill & \frac{\sqrt{n}{N}_1^2}{\sqrt{n_1}N{\widehat{N}}_1}\left[\left(-{\overline{Y}}_1+{\widehat{\beta }}_1{\overline{X}}_1\right){\Omega }_{11}-{\widehat{\beta }}_1{\Omega }_{21}+{\Omega }_{31}\right]\hfill \\ \hfill & +\hfill & \frac{\sqrt{n}{N}_2^2}{\sqrt{n_1}N{\widehat{N}}_2}\left[\left(-{\overline{Y}}_2+{\widehat{\beta }}_2{\overline{X}}_2\right){\Omega }_{12}-{\widehat{\beta }}_2{\Omega }_{22}+{\Omega }_{32}\right]\hfill \\ \hfill & =\hfill & d_{n1}^T{\overline{\Omega }}_1+d_{n2}^T{\overline{\Omega }}_2\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où la deuxième égalité découle des définitions notationnelles de ${\Omega }_{kj}$ de même que ${\pi }_i=n_j{p}_{ij},$ ${\widehat{Y}}_j={\displaystyle {\sum }_{i\in S_j}}{y}_i/{\pi }_i\mathrm{,}{\widehat{X}}_j={\displaystyle {\sum }_{i\in S_j}}{x}_i/{\pi }_i,$ et la troisième de

$$d_{nj}=\frac{\sqrt{n}{N}_j^2}{\sqrt{n_j}N{\widehat{N}}_j}{\left[-{\overline{Y}}_j+{\widehat{\beta }}_j{\overline{X}}_j\mathrm{,}-{\widehat{\beta }}_j\mathrm{,1}\right]}^T\mathrm{,}{\overline{\Omega }}_1={\left[{\Omega }_{11}\mathrm{,}{\Omega }_{21}\mathrm{,}{\Omega }_{31}\right]}^T\mathrm{,}{\overline{\Omega }}_2={\left[{\Omega }_{21}\mathrm{,}{\Omega }_{22}\mathrm{,}{\Omega }_{32}\right]}^T\mathrm{.}$$

En vertu de (A.2), ${\overline{\Omega }}_1=O_p(1)$ et ${\overline{\Omega }}_2=O_p\left(1\right).$ En vertu de la condition (C2), $d_{nj}^T=a_{2j}^T+o_p\left(1\right).$ Par conséquent, en vertu de (A.2), de la condition (C3) et de la méthode delta,

$$\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}-Y\right)/N=a_{21}^T{\overline{\Omega }}_1+a_{22}^T{\overline{\Omega }}_2+o_p\left(1\right){\to }_{d}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_2^2\right)\mathrm{,}$$

où la variance asymptotique ${\sigma }_2^2={\displaystyle {\sum }_{j=1}^2}{a}_{2j}^T{D}_j{a}_{2j}$ est systématiquement estimée par

$$\frac{n}{N^2}{\displaystyle \sum _{j=1}^2}{\displaystyle \sum _{i\in S_j}}\frac{1}{{\pi }_i^2}{\left(y_i-{\widehat{\beta }}_j{x}_i-\left({\widehat{Y}}_j-{\widehat{\beta }}_j{\widehat{X}}_j\right)/{\widehat{N}}_j\right)}^2\mathrm{,}$$

qui est en accord avec la formule (9) de Cheng et coll. (2010). La preuve que $\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}-Y\right)/N{\to }_{d}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_1^2\right)$ est similaire.

Preuve du théorème 2. En vertu de la conclusion (c) du théorème 1,

$$\sqrt{n}\left({\widehat{\beta }}_2-{\widehat{\beta }}_1-{\beta }_2+{\beta }_1\right){\to }_{d}N\left(\mathrm{0,}{\displaystyle \sum _{j=1}^2}{\sigma }_{xe\mathrm{,}j}^2/\left({\phi }_j^2{\sigma }_{xj}^4\right)\right)\mathrm{.} (\text{A}\text{.4})$$

La conclusion (2.4) dans la partie (a) de ce théorème s'ensuit directement.

Dans la preuve du théorème 1, nous avons montré que

$$\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}-Y\right)/N=a_{21}^T{\overline{\Omega }}_1+a_{22}^T{\overline{\Omega }}_2+o_p\left(1\right)\mathrm{,} (\text{A}\text{.5})$$

où les vecteurs constants $a_{kj}$ (et ${\mu }_x\mathrm{,}{\mu }_y$ ) ont été définis dans la partie (d) du théorème 1. De même,

$$\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}-Y\right)/N=a_{11}^T{\overline{\Omega }}_1+a_{12}^T{\overline{\Omega }}_2+o_p\left(1\right)\mathrm{.} (\text{A}\text{.6})$$

Quand (2.3) est vérifiée, ${\beta }_j=\beta$ (en vertu de la partie (b) du théorème 1) et ${\mu }_y-\beta {\mu }_x={\displaystyle {\sum }_{j=1}^2}{\omega }_j\left({\mu }_{yj}-{\beta }_j{\mu }_{xj}\right)={\mu }_{y2}-\beta {\mu }_{x2},$ de sorte que $a_{1j}=a_{2j}$ pour $j=1,2.$ Il découle directement de (A.5) et (A.6) que $\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}-{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\right)/N{\to }_{{}_P}0,$ et donc que les estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,}k}$ suivent la même loi asymptotique, qui est normale comme nous l'avons montré à la partie (d) du théorème 1. Enfin, la définition de ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ implique que $P\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}={\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}\text{ou}{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\right)=1$ , et (A.5) et (A.6) impliquent que

$$\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}-Y\right)/N=a_{21}^T{\overline{\Omega }}_1+a_{22}^T{\overline{\Omega }}_2+o_p\left(1\right)\mathrm{,} (\text{A}\text{.7})$$

ce qui achève la preuve de (2.5) dans (a).

Preuve de (b). Si ${\beta }_1\ne {\beta }_2,$ alors (A.4) implique que $P\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}={\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\right)\to 1,$ c.-à-d. que le test t pour l'égalité de ${\widehat{\beta }}_j$ donne lieu au rejet avec certitude à la limite. Alors (A.7) continue d'être vérifiée, et la loi asymptotique de ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ demeure la même que celle de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}.$

Preuve du théorème 3. Dans ce théorème, les hypothèses (C2) à (C4) sont remplacées par les hypothèses selon lesquelles les triplets iid $\left(y_i\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}{z}_i\right)$ satisfont les conditions de moments et le modèle (2.7). Les assertions dans (C2) à (C4) restent alors vérifiées lorsque la probabilité tend vers 1 quand $n\mathrm{,}N$ sont grands, ce qui est établi à l'aide de la loi (forte) des grands nombres.

Outre les conclusions des théorèmes 1 et 2, il reste à montrer que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ possède une plus petite variance asymptotique que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}.$ Soit $\vartheta =\left({\vartheta }_1\mathrm{,}{\vartheta }_2\right)$ et

$$F_j\left(\vartheta \right)=\left[-{\vartheta }_1\mathrm{,}-{\vartheta }_2\mathrm{,1}\right]D_j{\left[-{\vartheta }_1\mathrm{,}-{\vartheta }_2\mathrm{,1}\right]}^T.$$

Selon la définition de ${\sigma }_1^2$ et ${\sigma }_2^2$ dans (2.2), il suffit de montrer que $F_j\left(\vartheta \right)$ prend sa valeur minimale à $\vartheta =\left({\alpha }_j\mathrm{,}{\beta }_j\right).$ Nous allons maintenant prouver cela pour $j=1.$ La preuve pour $j=2$ est similaire. Soit $m_{i{i}^{\prime }}$ l'élément $\left(i\mathrm{,}{i}^{\prime }\right)$ de $D_1.$ Puisque $D_1$ est symétrique et définie positive sous la condition (C3), $m_{12}=m_{21}$ et il existe un ${\theta }^{\ast }=\left({\theta }_1^{\ast }\mathrm{,}{\theta }_2^{\ast }\right)$ unique tel que $F_1\left({\theta }^{\ast }\right)={\min }_{\vartheta }{F}_1\left(\vartheta \right)$ et $\partial F_1\left(\vartheta \right)/{\partial {\vartheta }^T|}_{\vartheta ={\theta }^{\ast }}=0.$ Cela implique que ${\theta }^{\ast }$ est la solution des deux équations suivantes :

$$m_{11}{\vartheta }_1+m_{12}{\vartheta }_2=m_{13}\mathrm{,}{m}_{12}{\vartheta }_1+m_{22}{\vartheta }_2=m_{23} (\text{A}\text{.8})$$

Par conséquent, il suffit de montrer que ${\theta }^{\ast }=\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\beta }_1\right).$ Puisque $D_1$ est définie positive, le système d'équations (A.8) possède une solution unique. Étant donné la définition de $D_1,$

$$\begin{array}{lll}{m}_{11}{\alpha }_1+m_{12}{\beta }_1\hfill & =\hfill & \underset{N_1\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{N_1^2}\left[{\displaystyle \sum _{i\in U_1}}{\left(\frac{1}{p_{i1}}-N_1\right)}^2{p}_{i1}{\alpha }_1+{\displaystyle \sum _{i\in U_1}}\left(\frac{1}{p_{i1}}-N_1\right)\left(\frac{x_i}{p_{i1}}-X_1\right)p_{i1}{\beta }_1\right]\hfill \\ \hfill & =\hfill & \underset{N_1\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{N_1^2}\left[{\displaystyle \sum _{i\in U_1}}\left(\frac{1}{p_{i1}}-N_1\right)\left({\alpha }_1-N_1{\alpha }_1{p}_{i1}+{\beta }_1{x}_i-{\beta }_1{p}_{i1}{X}_1\right)\right]\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

et

$$\begin{array}{lll}{m}_{13}\hfill & =\hfill & \underset{N_1\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{N_1^2}\left[{\displaystyle \sum _{i\in U_1}}\left(\frac{1}{p_{i1}}-N_1\right)\left(\frac{y_i}{p_{i1}}-Y_1\right)p_{i1}\right]\hfill \\ \hfill & =\hfill & \underset{N_1\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{N_1^2}\left[{\displaystyle \sum _{i\in U_1}}\left(\frac{1}{p_{i1}}-N_1\right)\left({\alpha }_1+{\beta }_1{x}_i+{\epsilon }_i-N_1{\alpha }_1{p}_{i1}-{\beta }_1{p}_{i1}{X}_1\right)\right]\hfill \\ \hfill & =\hfill & \underset{N1\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{N_1^2}\left[{\displaystyle \sum _{i\in U_1}}\left(\frac{1}{p_{i1}}-N_1\right)\left({\alpha }_1-N_1{\alpha }_1{p}_{i1}+{\beta }_1{x}_i-{\beta }_1{p}_{i1}{X}_1\right)\right]\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où la dernière égalité découle de l'hypothèse que ${\epsilon }_i$ est indépendant de $x_i$ et $z_i$ , et est de moyenne 0 et de variance finie, et chacune des séquences $z_i,$ $1/z_i,$ et $x_i/z_i$ est iid avec une espérance finie. Par conséquent, $m_{11}{\alpha }_1+m_{12}{\beta }_1=m_{13}.$ On prouve de même que $m_{12}{\alpha }_1+m_{22}{\beta }_2=m_{23}.$ Par conséquent, $\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\beta }_1\right)$ est la solution unique du système d'équations (A.8), c.-à-d. que $F_1\left(\vartheta \right)$ prend sa valeur minimale à $\vartheta =\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\beta }_1\right).$ D'où, ${\sigma }_2^2\text{<}{\sigma }_1^2.$ Cela termine la preuve du théorème 3.

Remerciements

Le présent article décrit les travaux de recherche et analyses des auteurs et est diffusé en vue d’informer les parties intéressées et de favoriser la discussion. Les conclusions n’engagent que les auteurs et n’ont pas été approuvées par le Census Bureau. Nous tenons à remercier trois examinateurs et un rédacteur associé de leurs commentaires et suggestions utiles qui nous ont permis d’améliorer l’article. Les travaux de recherche de Jun Shao ont été financés partiellement par la bourse NSF Grant DMS-1007454.

Bibliographie

Bancroft, T., et Han, C.-P. (1977). Inference based on conditional specifications: A note and a bibliography. International Statistical Review, 45, 117-127.

Cheng, Y., Corcoran, C., Barth, J. et Hogue, C. (2009). An estimation procedure for the new public employment survey design. Washington, DC: American Statistical Association. Survey Research Methods Section, American Statistical Association, 3032-3046.

Cheng, Y., Slud, E. et Hogue, C. (2010). Variance estimation for decision-based estimators with application to the annual survey of public employment and payroll. Government Statistics Section of the American Statistical Association. Vancouver: American Statistical Association.

Deville, J.-C., et Särndal, C.-E. (1992). Calibration estimators in survey sampling. Journal of the American Statistical Association, 87, 376-382.

Fuller, W.A. (2009). Sampling Statistics. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Isaki, C., et Fuller, W. (1982). Survey design under the regression superpopulation model. Journal of the American Statistical Association, 77, 89-96.

Rao, J.N.K., et Ramachandran, V. (1974). Comparison of the separate and combined ratio estimators. Sankhy�, C, 36, 151-156.

Saleh, A.K. Md. (2006). Theory of Preliminary Test and Stein-type Estimation, with Applications. Hoboken: Wiley-Interscience.

Särndal, C.-E., Swensson, B. et Wretman, J. (1992). Model Assisted Survey Sampling. New York: Springer-Verlag.

Shao, J., et Tu, D. (1995) The Jackknife and Bootstrap. New York: Springer.

Slud, E.V. (2012). Moderate-sample behavior of adaptively pooled stratified regression estimators. U.S. Census Bureau preprint.

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