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3. Estimation par la régression modifiée pour bases de sondage évolutives

John Preston

Les estimateurs RM peuvent être étendus au cas des bases de sondage évolutives par ajout des « nouvelles unités » à la population de la période précédente et par ajout des « unités disparues » à la population de la période courante pour créer une « pseudo-population » (diagramme 3.1). Ces « pseudo-populations » satisferont à l'exigence que les unités de la population ne changent pas entre la période précédente et la période courante. L'extension de l'estimateur RM pour tenir compte des bases de sondage évolutives est décrite en détail ci-après.

Considérons une population dynamique qui évolue au cours du temps en raison de l'ajout des « nouvelles unités » et de la suppression des « unités disparues ». À la période $t,$ l'union de $U_{h}^{(t)}$ et $U_{h}^{(t - 1)}$ peut être subdivisée en trois composantes. La première composante comprend les unités de la population présentes dans la strate $h$ à la période $t - 1$ mais non à la période $t,$ c'est-à-dire la population d'« unités disparues » $U_{d h}^{(t - 1)}$ de la strate $h,$ constituée de $N_{d h}^{(t - 1)}$ unités. La deuxième composante comprend les unités présentes dans la population de la strate $h$ à la période $t - 1$ et à la période $t,$ c'est-à-dire la population « commune » $U_{c h}^{(t - 1)} = U_{c h}^{(t)}$ de la strate $h,$ constituée de $N_{c h}^{(t - 1)} = N_{c h}^{(t)}$ unités. La troisième composante comprend les unités présentes dans la population de la strate $h$ à la période $t$ mais non à la période $t - 1,$ c'est-à-dire la population de « nouvelles unités » $U_{b h}^{(t)}$ de la strate $h,$ constituée de $N_{b h}^{(t)}$ unités. Les unités de la population qui changent de strate entre les périodes $t - 1$ et $t$ sont incluses dans la population d'« unités disparues » $U_{d h}^{(t - 1)}$ sous leur strate à la période $t - 1$ et sont également incluses dans la population de « nouvelles unités » $U_{b h}^{(t)}$ sous leur strate à la période $t .$

Diagramme 3.1 Populations et échantillons standard et pseudo-populations et échantillons

Description du diagramme 3.1

À la période $t > 1,$ définissons la « pseudo-population » $U_{h}^{* (t - 1)} = U_{h}^{* (t)}$ dans la strate $h$ comme étant l'union de $U_{h}^{(t)}$ et $U_{h}^{(t - 1)},$ constituée de $N_{h}^{* (t - 1)} = N_{h}^{* (t)} = N_{d h}^{(t - 1)} + N_{c h}^{(t - 1)} + N_{b h}^{(t)}$ unités. Il est important de noter que la « pseudo-population » $U_{h}^{* (t - 1)}$ à la période $t - 1$ diffère de la « pseudo-population » $U_{h}^{* (t - 1)}$ à la période $t,$ car la « pseudo-population » $U_{h}^{* (t - 1)}$ à la période $t - 1$ est fondée sur l'union de $U_{h}^{(t - 2)}$ et $U_{h}^{(t - 1)},$ tandis que la « pseudo-population » $U_{h}^{* (t - 1)}$ à la période $t$ est fondée sur l'union de $U_{h}^{(t - 1)}$ et $U_{h}^{(t)} .$ Donc, les « pseudo-populations » pour les périodes courante et précédente doivent être calculées à chaque période. Définissons les « pseudo-valeurs » de la variable d'intérêt $y$ pour l'unité $i$ à la période $t - 1$ et à la période $t$ comme étant :

$y_{i}^{* (t - 1)} = {\begin{array}{l} y_{i}^{(t - 1)}, & si i \in U_{c h}^{(t - 1)} \\ 0, & si i \in U_{b h}^{(t)} \end{array}$

$y_{i}^{* (t)} = {\begin{array}{l} y_{i}^{(t)}, & si i \in U_{c h}^{(t)} \\ 0, & si i \in U_{d h}^{(t - 1)} \end{array}$

et définissons les « pseudo-valeurs » des variables auxiliaires $x$ pour l'unité $i$ à la période $t - 1$ et à la période $t$ comme étant :

$x_{i}^{* (t - 1)} = {\begin{array}{l} x_{i}^{(t - 1)}, & si i \in U_{c h}^{(t - 1)} \\ 0, & si i \in U_{b h}^{(t)} \end{array}$

$x_{i}^{* (t)} = {\begin{array}{l} x_{i}^{(t)}, & si i \in U_{c h}^{(t)} \\ 0, & si i \in U_{d h}^{(t - 1)} . \end{array}$

À la période $t > 1,$ notons que $s_{h}^{* (t - 1)}$ et $s_{h}^{* (t)}$ sont les « pseudo-échantillons » dans la strate $h,$ où $s_{h}^{* (t - 1)}$ est constitué de toutes les unités sélectionnées dans l'échantillon original $s_{h}^{(t - 1)}$ dans la strate $h$ à la période $t - 1$ plus un échantillon aléatoire d'unités $s_{b h}^{(t)}$ provenant de la population de « nouvelles unités » $U_{b h}^{(t)}$ dans la strate $h$ à la période $t$ sélectionnées avec les probabilités d'inclusion $π_{i}^{(t - 1)} = n_{h}^{(t - 1)} / N_{h}^{(t - 1)} (i \in U_{h}^{(t - 1)}),$ et $s_{h}^{* (t)}$ est constitué de toutes les unités sélectionnées dans l'échantillon original $s_{h}^{(t)}$ dans la strate $h$ à la période $t$ plus un échantillon aléatoire d'unités $s_{d h}^{(t - 1)}$ provenant de la population d'« unités disparues » $U_{d h}^{(t - 1)}$ dans la strate $h$ à la période $t - 1$ sélectionnées avec les probabilités d'inclusion $π_{i}^{(t)} = n_{h}^{(t)} / N_{h}^{(t)} (i \in U_{h}^{(t)}) .$ Soient $n_{h}^{* (t - 1)}$ et $n_{h}^{* (t)}$ les tailles des « pseudo-échantillons » $s_{h}^{* (t - 1)}$ et $s_{h}^{* (t)}$ , respectivement. De nouveau, il est important de noter que le « pseudo-échantillon » $s_{h}^{* (t - 1)}$ à la période $t - 1$ diffère du « pseudo-échantillon » $s_{h}^{* (t - 1)}$ à la période $t,$ car le « pseudo-échantillon » $s_{h}^{* (t - 1)}$ à la période $t - 1$ comprend un échantillon aléatoire d'unités provenant de la population de « nouvelles unités » à la période $t - 1,$ tandis que le « pseudo-échantillon » $s_{h}^{* (t - 1)}$ à la période $t$ comprend un échantillon aléatoire d'unités provenant de la population d'« unités disparues » à la période $t - 1.$ Donc, les « pseudo-échantillons » pour les périodes courante et précédente doivent être calculés à chaque période.

Le choix d'une méthode appropriée de sélection de l'échantillon, pour la sélection des échantillons aléatoires supplémentaires d'unités tirées des populations de « nouvelles unités » et d'« unités disparues », dépendra de la méthode de sélection de l'échantillon utilisée pour sélectionner les échantillons originaux. Dans le cas de nombreuses enquêtes-entreprises répétées, les échantillons sont sélectionnés en utilisant une méthode de sélection par attribution de nombres aléatoires permanents (NAP) afin de pouvoir exercer un certain contrôle sur le roulement des unités qui entrent dans l'échantillon et qui en sortent d'une période à la suivante. Considérons le cas le plus simple où les échantillons originaux $s_{h}^{(t - 1)}$ et $s_{h}^{(t)}$ dans la strate $h$ décrits par ${i \in U_{h}^{(t - 1)} e t R_{i} \in [S_{h}^{(t - 1)}, E_{h}^{(t - 1)})}$ et ${i \in U_{h}^{(t)} e t R_{i} \in [S_{h}^{(t)}, E_{h}^{(t)})},$ où $S_{h}^{(t)}$ et $E_{h}^{(t)}$ sont les points de début et de fin de l'intervalle de sélection dans la strate $h$ à la période $t,$ et $R_{i}$ est le nombre aléatoire permanent attribué à l'unité $i .$ Dans ce cas, les « pseudo-échantillons » $s_{h}^{* (t - 1)}$ et $s_{h}^{* (t)}$ dans la strate $h$ sont décrits par ${i \in U_{h}^{* (t - 1)} e t R_{i} \in [S_{h}^{(t - 1)}, E_{h}^{(t - 1)})}$ et ${i \in U_{h}^{* (t)} e t R_{i} \in [S_{h}^{(t)}, E_{h}^{(t)})} .$ Cette méthode de sélection donnera une même quantité de chevauchement entre les échantillons provenant de la population d'« unités disparues » aux périodes $t - 1$ et $t,$ et entre les échantillons provenant de la population de « nouvelles unités » aux périodes $t - 1$ et $t$ qu'entre les échantillons provenant de la population « commune » aux périodes $t - 1$ et $t .$ Manifestement, la quantité de chevauchements des échantillons provenant des populations d'« unités disparues » et de « nouvelles unités » aura une incidence sur le comportement des estimations, et l'optimisation de la quantité de chevauchements pourrait être étudiée.

Soit les « pseudo-poids de sondage » $w_{i}^{* (t - 1)} = 1 / π_{i}^{(t - 1)}$ pour toutes les unités du « pseudo-échantillon » $s_{h}^{* (t - 1)},$ et $w_{i}^{* (t)} = 1 / π_{i}^{(t)}$ pour toutes les unités du « pseudo-échantillon » $s_{h}^{* (t)} .$ Puisque les « pseudo-poids de sondage » pour les unités échantillonnées originales sont égaux aux poids de sondage originaux et les « pseudo-valeurs » de la variable d'intérêt sont égales à zéro pour les unités échantillonnées additionnelles provenant des populations de « nouvelles unités » et d'« unités disparues », l'estimateur HT ${\hat{Y}}_{HT}^{* (t)} = \sum_{h = 1}^{H} \sum_{i \in s_{h}^{* (t)}} w_{i}^{* (t)} y_{i}^{* (t)}$ basé sur le « pseudo-échantillon », les « pseudo-valeurs » et les « pseudo-poids de sondage » est équivalent à l'estimateur HT ${\hat{Y}}_{HT}^{(t)} = \sum_{h = 1}^{H} \sum_{i \in s_{h}^{(t)}} w_{i}^{(t)} y_{i}^{(t)}$ basé sur l'échantillon original, les valeurs originales et les poids de sondage originaux. D'où, l'inclusion de ces unités échantillonnées additionnelles dans le « pseudo-échantillon » provenant des populations de « nouvelles unités » et d'« unités disparues » n'introduira aucune variabilité supplémentaire dans les estimations ponctuelles.

L'estimateur RM proposé pour le cas particulier des bases de sondage évolutives peut s'écrire sous la forme :

${\hat{Y}}_{RM}^{* (t)} = \sum_{i \in s^{* (t)}} {\overset{⌣}{w}}_{i}^{* (t)} y_{i}^{* (t)} (3.1)$

où ${\overset{⌣}{w}}_{i}^{* (t)} = w_{i}^{* (t)} {\overset{⌣}{g}}_{i}^{* (t)}$ et ${\overset{⌣}{g}}_{i}^{* (t)}$ est le « pseudo-poids $g$ » pour l'unité $i$ à la période $t$ donné par :

$\begin{array}{l} {\overset{⌣}{g}}_{i}^{* (t)} & = & 1 + {((X^{(t)}, {\tilde{Z}}^{* (t)}) - ({\hat{X}}_{HT}^{(t)}, {\hat{Z}}_{HT}^{* (t)}))}^{T} \\ \times & {(\sum_{i \in s^{* (t)}} \frac{w_{i}^{* (t)} (x_{i}^{* (t)}, z_{i}^{* (t)}) {(x_{i}^{* (t)}, z_{i}^{* (t)})}^{T}}{c_{i}^{(t)}})}^{- 1} \frac{(x_{i}^{* (t)}, z_{i}^{* (t)})}{c_{i}^{(t)}} (3.2) \end{array}$

et les valeurs RM1, RM2 et RMP pour les « pseudo-variables auxiliaires composites » sont données par :

$z_{(RM 1) i}^{* (t)} = {\begin{array}{l} R_{h}^{(t - 1, t)} y_{i}^{* (t - 1)}, & si i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{* (t - 1)} et s_{h}^{* (t)} \ s_{h}^{* (t - 1)} \neq \emptyset \\ R_{h}^{(t - 1, t)} (\frac{\sum_{i \in s_{h}^{(t)}} w_{i}^{(t)}}{\sum_{i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{(t - 1)}} w_{i}^{* (t)}}) y_{i}^{* (t - 1)}, & si i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{* (t - 1)} et s_{h}^{* (t)} \ s_{h}^{* (t - 1)} = \emptyset \\ R_{h}^{(t - 1, t)} (\frac{(\sum_{i \in s_{h}^{(t)}} w_{i}^{(t)} - \sum_{i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{(t - 1)}} w_{i}^{* (t)})}{\sum_{i \in s_{h}^{* (t)} \ s_{h}^{* (t - 1)}} w_{i}^{* (t)}}) {\bar{Y}}_{(RM) h}^{(t - 1)}, & si i \in s_{h}^{* (t)} \ s_{h}^{* (t - 1)} . \end{array} (3.3)$

$z_{(RM 2) i}^{* (t)} = {\begin{array}{l} R_{h}^{(t - 1, t)} {(\frac{\sum_{i \in s_{h}^{(t)}} w_{i}^{(t)}}{\sum_{i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{(t - 1)}} w_{i}^{* (t)}}) y_{i}^{* (t - 1)} + (1 - (\frac{\sum_{i \in s_{h}^{(t)}} w_{i}^{(t)}}{\sum_{i \in s_{h}^{(t)} \cap s_{h}^{* (t - 1)}} w_{i}^{* (t)}})) y_{i}^{* (t)}}, & si i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{* (t - 1)} \\ R_{h}^{(t - 1, t)} y_{i}^{* (t)}, & si i \in s_{h}^{* (t)} \ s_{h}^{* (t - 1)} . \end{array} (3.4)$

$z_{(RMP) i}^{* (t)} = {\begin{array}{l} R_{h}^{(t - 1, t)} y_{i}^{* (t - 1)}, & si i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{* (t - 1)} et s_{h}^{* (t)} \ s_{h}^{* (t - 1)} \neq \emptyset \\ R_{h}^{(t - 1, t)} (\sum_{i \in s_{h}^{(t)}} w_{i}^{(t)} / \sum_{i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{(t - 1)}} w_{i}^{* (t)}) y_{i}^{* (t - 1)}, & si i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{* (t - 1)} et s_{h}^{* (t)} \ s_{h}^{* (t - 1)} = \emptyset \\ R_{h}^{(t - 1, t)} {y_{i}^{* (t)} - [(\sum_{i \in s_{h}^{(t)} \ s_{h}^{* (t - 1)}} w_{i}^{* (t)} / \sum_{i \in s_{h}^{* (t)} \ s_{h}^{* (t - 1)}} w_{i}^{* (t)}) \\ \times (\sum_{i \in s_{h}^{(t)} \cap s_{h}^{* (t - 1)}} w_{i}^{* (t)} y_{i}^{* (t)} / \sum_{i \in s^{(t)} \cap s^{* (t - 1)}} w_{i}^{* (t)})] \\ + [((\sum_{i \in s_{h}^{(t)}} w_{i}^{(t)} - \sum_{i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{(t - 1)}} w_{i}^{* (t)}) / \sum_{i \in s_{h}^{* (t)} \ s_{h}^{* (t - 1)}} w_{i}^{* (t)}) \\ \times (\sum_{i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{(t - 1)}} w_{i}^{* (t)} y_{i}^{* (t - 1)} / \sum_{i \in s_{h}^{* (t)} \cap s_{h}^{(t - 1)}} w_{i}^{* (t)})]}, & si i \in s_{h}^{* (t)} \ s_{h}^{* (t - 1)} . \end{array} (3.5)$

où $R_{h}^{(t - 1, t)} = (\sum_{i \in s_{h}^{(t - 1)}} w_{i}^{(t - 1)} / \sum_{i \in s_{h}^{(t)}} w_{i}^{(t)})$ est un facteur de correction appliqué aux valeurs RM1, RM2 et RMP pour tenir compte de la variation relative de la taille de la population dans la strate $h$ entre la période $t - 1$ et la période $t .$ Les autres ajustements des valeurs RM2 et RMP ont été effectués pour s'assurer que l'estimateur HT pour les « pseudo-variables auxiliaires composites » ${\hat{Z}}_{HT}^{* (t)} = \sum_{h = 1}^{H} \sum_{i \in s_{h}^{* (t)}} w_{i}^{* (t)} z_{i}^{* (t)}$ à la période $t$ soit sans biais pour les variables d'enquête clés correspondantes $Y^{(t - 1)}$ à la période $t - 1.$ Une simple preuve de l'absence de biais dans l'estimateur HT pour les « pseudo-variables auxiliaires composites » est donnée à l'annexe.

L'estimateur HT ${\hat{Y}}_{HT}^{* (t)} = \sum_{h = 1}^{H} \sum_{i \in s_{h}^{* (t)}} w_{i}^{* (t)} y_{i}^{* (t)}$ est équivalent à ${\hat{Y}}_{HT}^{(t)} = \sum_{h = 1}^{H} \sum_{i \in s_{h}^{(t)}} w_{i}^{(t)} y_{i}^{(t)}$ puisque les « pseudo-valeurs » pour la variable d'intérêt sont égales à zéro pour les unités échantillonnées additionnelles provenant des populations de « nouvelles unités » et d'« unités disparues ». De même, l'estimateur RG ${\hat{Y}}_{RG}^{* (t)} = \sum_{h = 1}^{H} \sum_{i \in s_{h}^{* (t)}} {\tilde{w}}_{i}^{* (t)} y_{i}^{* (t)}$ est équivalent à ${\hat{Y}}_{RG}^{(t)} = \sum_{h = 1}^{H} \sum_{i \in s_{h}^{(t)}} {\tilde{w}}_{i}^{(t)} y_{i}^{(t)}$ puisque les « pseudo-valeurs » pour la variable d'intérêt et les variables auxiliaires sont égales à zéro pour les unités échantillonnées additionnelles provenant des populations de « nouvelles unités » et d'« unités disparues ». Cependant, l'estimateur RM ${\hat{Y}}_{RM}^{* (t)} = \sum_{h = 1}^{H} \sum_{i \in s_{h}^{* (t)}} {\overset{⌣}{w}}_{i}^{* (t)} y_{i}^{* (t)}$ n'est pas équivalent à ${\hat{Y}}_{RM}^{(t)} = \sum_{h = 1}^{H} \sum_{i \in s_{h}^{(t)}} {\overset{⌣}{w}}_{i}^{(t)} y_{i}^{(t)}$ puisque les « pseudo-valeurs » pour les variables auxiliaires composites ne sont pas égales à zéro pour les unités échantillonnées additionnelles provenant des populations de « nouvelles unités » et d'« unités disparues ».

La procédure proposée d'ajout des « nouvelles unités » à la population de la période précédente et d'ajout des « unités disparues » à la population de la période courante est exécutée indépendamment à chaque période, de sorte qu'il n'y a pas d'accumulation de « nouvelles unités » et d'« unités disparues » dans la « pseudo-population » au cours du temps.

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Date de modification :: 2015-11-27

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