4. Exemples

Jan Kowalski et Jacek Wesołowski

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4.1 Scénario de Patterson, $p=1$

Le scénario en cascade de Patterson est utilisé, par exemple, pour réaliser l’Enquête sur la population active en Australie $(N=n=8,$  voir Australian Bureau of Statistics (2002)) et au Canada $(N=n=6,$  voir Singh, Drew, Gambino et Mayda (1990)). Il n’y a pas de zéros dans le schéma, d’où $h=0$  et le polynôme $Q_p=Q_1,$  voir (3.3), ne contient pas l’opérande de somme avec la trace, c’est-à-dire

$$Q_1\left(x\right)=\left(N-1\right)\left(1+{\rho }^2-2\rho x\right)+1-{\rho }^2\mathrm{.}$$

Sa seule racine $x_1=-\frac{1+{\rho }^2}{2\rho }-\frac{1-{\rho }^2}{2\left(N-1\right)\rho }$  est réelle et satisfait $\left|x_1\right|>\frac{1+{\rho }^2}{2\left|\rho \right|}>1,$  c’est-à-dire que l’HYPOTHÈSE I est satisfaite. Il donne aussi $d_1=d_{-}\left(x_1\right)$  réelle de la forme

$$d_1=\frac{N+\left(N-2\right){\rho }^2-\sqrt{{\left[N+\left(N-2\right){\rho }^2\right]}^2-4{\left(N-1\right)}^2{\rho }^2}}{2\left(N-1\right)\rho }\mathrm{.}$$

En outre, $S$  définie en (3.4) est une matrice de dimensions $1\times 1$  de la forme $S=$   $\left[\left(N-1\right)\frac{1-d_1\rho }{1-{\rho }^2}+1\right]\ne 0,$  c’est-à-dire que l’HYPOTHÈSE II est vérifiée trivialement. Donc, en vertu du théorème 3.1, pour tout $t\in \mathbb{Z},$  nous avons

$${\widehat{\mu }}_t=a_1{\widehat{\mu }}_{t-1}+{\underset{\_}{r}}_0^T{\underset{\_}{X}}_t+{\underset{\_}{r}}_1^T{\underset{\_}{X}}_{t-1}\mathrm{,}$$

où

$$\{\begin{array}{l}{a}_1=d_1\hfill \\ {\underset{\_}{r}}_0=c_{\mathrm{0,1}}N\left(d_1\right)\underset{\_}{1}\hfill \\ {\underset{\_}{r}}_1=-c_{\mathrm{0,1}}{C}^{T}N\left(d_1\right)\underset{\_}{1}\hfill \end{array},$$

où

$$c_{\mathrm{0,1}}=\frac{1}{\left(N-1\right)\frac{1-d_1\rho }{1-{\rho }^2}+1}\mathrm{.}$$

En prenant par exemple $N=6$  et $\rho =0\text{,}9,$ nous obtenons pour tout $t:$

$${\widehat{\mu }}_t=0\text{,}7942{\widehat{\mu }}_{t-1}+{\left[\begin{array}{r}\hfill 0\text{,}1765\\ \hfill 0\text{,}1765\\ \hfill 0\text{,}1765\\ \hfill 0\text{,}1765\\ \hfill 0\text{,}1765\\ \hfill 0\text{,}1176\end{array}\right]}^T{\underset{\_}{X}}_t+{\left[\begin{array}{r}\hfill 0\text{,}0000\\ \hfill -0\text{,}1588\\ \hfill -0\text{,}1588\\ \hfill -0\text{,}1588\\ \hfill -0\text{,}1588\\ \hfill -0\text{,}1588\end{array}\right]}^T{\underset{\_}{X}}_{t-1}\mathrm{.}$$

Remarque 4.1 Patterson (1950) a considéré le même scénario dans le modèle « classique ». Il a prouvé formellement que le coefficient de récurrence $a_1\left(t\right)$  converge quand $t\to \infty$  et a montré que la limite était $a_1$  telle que donnée plus haut. Les vecteurs ${\underset{\_}{r}}_0\left(t\right)$  et ${\underset{\_}{r}}_1\left(t\right),$  étant des fonctions continues de $a_1\left(t\right),$  convergent vers ${\underset{\_}{r}}_0$  et ${\underset{\_}{r}}_1,$  respectivement. Autrement dit, la solution « stationnaire » est en effet en harmonie avec l’asymptotique de la solution « classique ».

4.2 Scénarios avec intervalles de taille 1, $p=2$

Le polynôme $Q_p=Q_2,$  voir (3.3), a la forme suivante :

$$Q_2\left(x\right)=-\frac{4h{\rho }^2}{1+{\rho }^2}{x}^2-2\left(N-2h-1\right)\rho x+\left(N-h-1\right)\left(1+{\rho }^2\right)+1-{\rho }^2\mathrm{.}$$

Comme $1-{\rho }^2>0,$  on voit immédiatement que son discriminant

$$\Delta =4{\left(N-2h-1\right)}^2{\rho }^2+4\frac{4h{\rho }^2}{1+{\rho }^2}\left[\left(N-h-1\right)\left(1+{\rho }^2\right)+1-{\rho }^2\right]>4{\rho }^2{\left(N-1\right)}^2>0.(4.1)$$

Donc, $Q_2$  possède deux racines réelles uniques

$$x_{\pm }=\left(1+{\rho }^2\right)\frac{-2\left(N-2h-1\right)\rho \pm \sqrt{\Delta }}{8h{\rho }^2}\mathrm{.}$$

Notons que, puisque la taille de tous les intervalles est égale à un, nous avons nécessairement $N-h-1\ge h\ge 1.$  En utilisant ce fait et l’inégalité (4.1), nous obtenons par conséquent

$$\left|x_{\pm }\right|>\left(1+{\rho }^2\right)\frac{N-h-1}{2\left|\rho \right|}\ge \frac{1+{\rho }^2}{2\left|\rho \right|}>1,\text{ puisque }\left|\rho \right|\in \left(\mathrm{0,1}\right)\mathrm{.}$$

Donc l’HYPOTHÈSE I du théorème 3.1 est satisfaite.

De la remarque 3.1 il découle que $d_1=d_{-}\left(x_{-}\right)=x_{-}+\sqrt{x_{-}^2-1}<0$  et $d_2=d_{-}\left(x_{+}\right)=x_{+}-\sqrt{x_{+}^2-1}>0$ sont des nombres réels.

Puisque, dans ce cas, $s=h$  et $m_1=\dots =m_h=1,$  nous avons ${\tilde{H}}_1\left(d_i\right)=1$  et $H_1\left(d_i\right)=1+{\rho }^2,$   $i=1,2.$  Par conséquent, l’équation $S\underset{\_}{c}=\underset{\_}{e}$  implique que

$$\left(1-d_i\rho \right)\left(d_i-\rho \right)c_{\mathrm{0,}i}+\left(1+{\rho }^2\right)c_{k\mathrm{,}i}=0,k=1,\dots \mathrm{,}h\mathrm{,}i=1,2.$$

Donc, $c_{\mathrm{1,1}}=c_{\mathrm{2,1}}=\dots =c_{h\mathrm{,1}}$  et $c_{\mathrm{1,2}}=c_{\mathrm{2,2}}=\dots =c_{h\mathrm{,2}}.$  Conséquemment, le système $S\underset{\_}{c}=\underset{\_}{e}$  se réduit au système à quatre inconnues $c_{\mathrm{0,1}},c_{\mathrm{1,1}},c_{\mathrm{0,2}}$  et $c_{\mathrm{1,2}}:$

$$\tilde{S}{\left(c_{\mathrm{0,1}}\mathrm{,}{c}_{\mathrm{1,1}}\mathrm{,}{c}_{\mathrm{0,2}}\mathrm{,}{c}_{\mathrm{1,2}}\right)}^T={\left(\mathrm{1,0,0,0}\right)}^T$$

avec

$$\tilde{S}=\frac{1}{1-{\rho }^2}\left[\begin{array}{cccc}\left(N-1\right)\left(1-d_1\rho \right)+1-{\rho }^2& h\left(1-d_1\rho \right)& \left(N-1\right)\left(1-d_2\rho \right)+1-{\rho }^2& h\left(1-d_2\rho \right)\\ 1-d_1\rho & 1& 1-d_2\rho & 1\\ \left(1-d_1\rho \right)\left(d_1-\rho \right)& d_1\left(1+{\rho }^2\right)& 0& 0\\ 0& 0& \left(1-d_2\rho \right)\left(d_2-\rho \right)& d_2\left(1+{\rho }^2\right)\end{array}\right]\mathrm{.}$$

Pour montrer que $\tilde{S}$  est non singulière, nous commençons par montrer que

$$\rho \left(d_1+d_2\right)\ge 0.(4.2)$$

À cette fin, nous notons d’abord que

$$\rho \left(x_{-}+x_{+}\right)=-\left(1+{\rho }^2\right)\frac{N-2h-1}{2h}\le 0.(4.3)$$

En outre,

$$\begin{array}{lll}\rho \left(d_1+d_2\right)\hfill & =\hfill & \rho \left(x_{-}+x_{+}\sqrt{x_{-}^2-1}-\sqrt{x_{+}^2-1}\right)=\rho \left(x_{-}+x_{+}\right)\left(1+\frac{x_{-}-x_{+}}{\sqrt{x_{-}^2-1}+\sqrt{x_{+}^2-1}}\right)\hfill \\ \hfill & =\hfill & \frac{\rho (x_{-}+x_{+})}{\sqrt{x_{-}^2-1}+\sqrt{x_{+}^2-1}}\left(\sqrt{x_{-}^2-1}+x_{-}+\sqrt{x_{+}^2-1}-x_{+}\right).\hfill \end{array}$$

En raison de (4.3), la dernière expression est non négative, puisque le second facteur est strictement négatif. Maintenant, nous sommes prêts à considérer le déterminant

$$\det \tilde{S}=\frac{\left(d_2-d_1\right)\rho }{{\left(1-{\rho }^2\right)}^4}s\left(d_1\mathrm{,}{d}_2\right)\mathrm{,}$$

où

$$\begin{array}{lll}s\left(d_1\mathrm{,}{d}_2\right)\hfill & =\hfill & \left(1+{\rho }^2\right)\left[\left(N-1\right)\left(1-d_1\rho \right)\left(1-d_2\rho \right)+\left(1-{\rho }^2\right)\left(1+d_1{d}_2{\rho }^2\right)\right]\hfill \\ \hfill & +\hfill & h\left(1-d_1\rho \right)\left(1-d_2\rho \right)\left(-1+\left(d_1+d_2\right)\rho +d_1{d}_2{\rho }^2-2{\rho }^2\right).\hfill \end{array}$$

Nous notons que $\left|d_i\right|<1,i=1,2,$  et donc $\left|d_1{d}_2\right|<1.$  Par conséquent, nous avons $1+{\rho }^2>\left(1-d_1\rho \right)\left(1-d_2\rho \right)>0,1+d_1{d}_2{\rho }^2>0.$  Ces inégalités ainsi que (4.2) donnent

$$\begin{array}{lll}s\left(d_1\mathrm{,}{d}_2\right)\hfill & >\hfill & \left(1-d_1\rho \right)\left(1-d_2\rho \right)\left\{\left(N-1\right)\left(1+{\rho }^2\right)-h\left[1+d_1{d}_2{\rho }^2+2{\rho }^2\right]\right\}\hfill \\ \hfill & >\hfill & \left(1-d_1\rho \right)\left(1-d_2\rho \right)\left[\left(N-h-1\right)\left(1+{\rho }^2\right)-2h{\rho }^2\right]\hfill \\ \hfill & >\hfill & \left(1-d_1\rho \right)\left(1-d_2\rho \right)\left(N-2h-1\right)\left(1+{\rho }^2\right)\hfill \\ \hfill & \ge \hfill & 0.\hfill \end{array}$$

Conséquemment, $\det \tilde{S}\ne 0.$

Puisque $\text{rang }S=\text{rang }\tilde{S}+2\left(h-1\right)$ , nous obtenons $\text{rang }S=2\left(h+1\right)$  et donc l’HYPOTHÈSE II du théorème 3.1 est satisfaite. En outre, ${\tilde{S}}^{-1}$  existe. Donc,

$$\left(c_{\mathrm{0,1}}\mathrm{,}{c}_{\mathrm{1,1}}\mathrm{,}{c}_{\mathrm{0,2}}\mathrm{,}{c}_{\mathrm{1,2}}\right)=\left(\mathrm{1,0,0,0}\right){\left[{\tilde{S}}^{-1}\right]}^T.$$

Enfin, nous concluons que la récurrence est de la forme suivante :

$${\widehat{\mu }}_t=a_1{\widehat{\mu }}_{t-1}+a_2{\widehat{\mu }}_{t-2}+{\underset{\_}{r}}_0^T{\underset{\_}{X}}_t+{\underset{\_}{r}}_1^T{\underset{\_}{X}}_{t-1}+{\underset{\_}{r}}_2^T{\underset{\_}{X}}_{t-2}\mathrm{,}$$

où

$$\{\begin{array}{l}{a}_1=d_1+d_2\hfill \\ a_2=-d_1{d}_2\hfill \\ {\underset{\_}{r}}_0=N\left(d_1\right)\left[\left(c_{\mathrm{0,1}}+c_{\mathrm{1,1}}\right)\underset{\_}{1}-c_{\mathrm{1,1}}\underset{\_}{\epsilon }\right]+N\left(d_2\right)\left[\left(c_{\mathrm{0,2}}+c_{\mathrm{1,2}}\right)\underset{\_}{1}-c_{\mathrm{1,2}}\underset{\_}{\epsilon }\right]\hfill \\ {\underset{\_}{r}}_1=-\left(d_{2}I+C^T\right)N\left(d_1\right)\left[\left(c_{\mathrm{0,1}}+c_{\mathrm{1,1}}\right)\underset{\_}{1}-c_{\mathrm{1,1}}\underset{\_}{\epsilon }\right]-\left(d_{1}I+C^T\right)N\left(d_2\right)\left[\left(c_{\mathrm{0,2}}+c_{\mathrm{1,2}}\right)\underset{\_}{1}-c_{\mathrm{1,2}}\underset{\_}{\epsilon }\right]\hfill \\ {\underset{\_}{r}}_2=d_2{C}^{T}N\left(d_1\right)\left[\left(c_{\mathrm{0,1}}+c_{\mathrm{1,1}}\right)\underset{\_}{1}-c_{\mathrm{1,1}}\underset{\_}{\epsilon }\right]+d_1{C}^{T}N\left(d_2\right)\left[\left(c_{\mathrm{0,2}}+c_{\mathrm{1,2}}\right)\underset{\_}{1}-c_{\mathrm{1,2}}\underset{\_}{\epsilon }\right]\hfill \end{array}.$$

Par exemple, soit $N=7,h=2,H=\left\{3,6\right\}$  et soit $\rho =0\text{,}5.$ Alors

$$Q_2\left(x\right)=-1\text{,}6x^2-2x+5\text{,}75$$

et

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-2\text{,}6211\hfill \\ x_2=1\text{,}3711\hfill \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rrr}\hfill d_{+}\left(x_1\right)& \hfill =& \hfill -5\text{,}0439\\ \hfill d_1=d_{-}\left(x_1\right)& \hfill =& \hfill -0\text{,}1983\\ \hfill d_{+}\left(x_2\right)& \hfill =& \hfill 2\text{,}3091\\ \hfill d_2=d_{-}\left(x_2\right)& \hfill =& \hfill 0\text{,}4331\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}_1=0\text{,}2348\hfill \\ a_2=0\text{,}0859\hfill \end{array}.$$

Enfin, (3.9) prend la forme

$${\widehat{\mu }}_t=0\text{,}2348{\widehat{\mu }}_{t-1}+0\text{,}0859{\widehat{\mu }}_{t-2}+{\left[\begin{array}{r}\hfill 0\text{,}2171\\ \hfill 0\text{,}1904\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill 0\text{,}2171\\ \hfill 0\text{,}1904\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill 0\text{,}1850\end{array}\right]}^T{\underset{\_}{X}}_t+{\left[\begin{array}{r}\hfill -0\text{,}0093\\ \hfill -0\text{,}1086\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill -0\text{,}0093\\ \hfill -0\text{,}1086\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill 0\text{,}0010\end{array}\right]}^T{\underset{\_}{X}}_{t-1}+{\left[\begin{array}{r}\hfill 0\text{,}0000\\ \hfill 0\text{,}0047\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill -0\text{,}0476\\ \hfill 0\text{,}0047\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill -0\text{,}0476\end{array}\right]}^T{\underset{\_}{X}}_{t-2}.$$

4.3 Scénario de Szarkowski, $p=3$

S’il existe $h_2$  intervalles de taille 2 et $h_1$  intervalles de taille 1 dans le schéma en cascade, le polynôme $Q_p=Q_3,$ voir (3.3), prend la forme

$$Q_3\left(x\right)=\left(N-1\right)\left(1+{\rho }^2-2\rho x\right)+1-{\rho }^2-{\left(1+{\rho }^2-2\rho x\right)}^2\left(h_2\frac{2\rho x+2\left(1+{\rho }^2\right)}{1+{\rho }^2+{\rho }^4}+h_1\frac{1}{1+{\rho }^2}\right)\mathrm{.}$$

Le scénario de Szarkowski est défini par le schéma en cascade $\underset{\_}{\epsilon }={\left(\mathrm{1,1,0,0,1,1}\right)}^T$  (souvent noté aussi sous la forme $2-2-2),$  utilisé, par exemple, par le Bureau central de la statistique de la Pologne pour réaliser l’Enquête sur la population active (connue sous l’acronyme BAEL), voir Szarkowski et Witkowski (1994) ou Popiński (2006). En fait, ce genre de scénario est utilisé également dans l’EPA d’autres pays européens. Ici, $N=6$  et $H=\left\{3,4\right\}.$  Donc $h_2=1,h_1=0,$  et

$$Q_3\left(x\right)=5\left(1+{\rho }^2-2\rho x\right)+1-{\rho }^2-2{\left(1+{\rho }^2-2\rho x\right)}^2\frac{\rho x+1+{\rho }^2}{1+{\rho }^2+{\rho }^4}\mathrm{.}(4.4)$$

Wesołowski (2010) a prouvé que, dans ce cas, $Q_3$  est strictement croissant ou décroissant dans le domaine entier et possède deux racines conjuguées complexes $x_1,x_2,$  et une racine réelle $x_3\cancel{\in }\left[-\mathrm{1,1}\right],$  ce qui signifie que l’HYPOTHÈSE I du théorème 3.1 est vérifiée. Il a également montré dans cet article que la matrice $S,$  dans ce cas de dimensions $9\times 9,$  est inversible (ce qui signifie que l’HYPOTHÈSE II du théorème 3.1 est vérifiée). Donc, comme pour $p=1,2,$  la récurrence (3.9) pour le scénario de Szarkowski est toujours vérifiée.

En général, même dans le cas $p=3,$  la vérification des HYPOTHÈSES I et II du théorème 3.1 doit être effectuée numériquement, c’est-à-dire après l’attribution de la valeur du coefficient de corrélation $\rho .$  Cependant, il convient de noter que toutes les simulations exécutées confirment l’existence de la solution. L’approximation asymptotique des paramètres du modèle « classique » a également été observée dans les expériences numériques que nous avons effectuées.

Les coefficients $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}{a}_3$  dépendent de $d_1=d_{-}\left(x_1\right),d_2=d_{-}\left(x_2\right)=d_1^{\ast }$  et $d_3=d_{-}\left(x_3\right)$  de la façon suivante (voir (3.10)):

$$\{\begin{array}{l}{a}_1=d_1+d_2+d_3\hfill \\ a_2=-\left(d_1{d}_2+d_2{d}_3+d_1{d}_3\right)\hfill \\ a_3=d_1{d}_2{d}_3\hfill \end{array}\mathrm{.}$$

Pour le scénario de Szarkowski, en prenant par exemple $\rho =0\text{,}7$  dans (4.4), nous obtenons

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-0\text{,}5668-1\text{,}4069i\hfill \\ x_2=-0\text{,}5668+1\text{,}4069i\hfill \\ x_3=1\text{,}1336\hfill \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{r}\hfill d_{+}\left(x_1\right)\\ \hfill d_1=d_{-}\left(x_1\right)\\ \hfill d_{+}\left(x_2\right)\\ \hfill d_2=d_{-}\left(x_2\right)\\ \hfill d_{+}\left(x_3\right)\\ \hfill d_3=d_{-}\left(x_3\right)\end{array}\begin{array}{l}=-1\text{,}0368-3\text{,}1035i\hfill \\ =-0\text{,}0968+0\text{,}2899i\hfill \\ =-1\text{,}0368+3\text{,}1035i\hfill \\ =-0\text{,}0968-0\text{,}2899i\hfill \\ =1\text{,}6675\hfill \\ =0\text{,}5997\hfill \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}_1=0\text{,}4060\hfill \\ a_2=0\text{,}0227\hfill \\ a_3=0\text{,}0560\hfill \end{array}\mathrm{.}$$

En raison du théorème 3.1, nous obtenons la forme suivante de (3.9):

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\mu }}_t\hfill & =0\text{,}4060{\widehat{\mu }}_{t-1}+0\text{,}0227{\widehat{\mu }}_{t-2}+0\text{,}0560{\widehat{\mu }}_{t-3}\hfill \\ \hfill & +{\left[\begin{array}{r}\hfill 0\text{,}2862\\ \hfill 0\text{,}2217\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill 0\text{,}2862\\ \hfill 0\text{,}2059\end{array}\right]}^T{\underset{\_}{X}}_t+{\left[\begin{array}{r}\hfill -0\text{,}0036\\ \hfill -0\text{,}2004\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill -0\text{,}0036\\ \hfill -0\text{,}1984\end{array}\right]}^T{\underset{\_}{X}}_{t-1}+{\left[\begin{array}{r}\hfill -0\text{,}0143\\ \hfill 0\text{,}0026\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill -0\text{,}0143\\ \hfill 0\text{,}0033\end{array}\right]}^T{\underset{\_}{X}}_{t-2}+{\left[\begin{array}{r}\hfill 0\text{,}0000\\ \hfill 0\text{,}0100\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill 0\text{,}0000\\ \hfill -0\text{,}0760\\ \hfill 0\text{,}0100\end{array}\right]}^T{\underset{\_}{X}}_{t-3}.\hfill \end{array}$$

4.4 Scénario de la CPS, $p=9$

Considérons le scénario 4-8-4 bien connu et qui a fait l’objet de nombreuses études, pour lequel le schéma en cascade est

$$\underset{\_}{\epsilon }={\left(\mathrm{1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1}\right)}^T$$

qui est utilisé aux États-Unis pour la Current Population Survey, voir U.S. Bureau of Census (2002). Dans ce cas, $N=16,h=8$  et $H=\left\{\mathrm{5,}\dots \mathrm{,12}\right\}.$  Nous ne possédons aucune preuve analytique que les HYPOTHÈSES I et II sont satisfaites dans ce scénario pour tout $\rho .$

Le polynôme $Q_p=Q_9,$  voir (3.3), est de degré 9 et de la forme

$$Q_9\left(x\right)=15\left(1+{\rho }^2-2\rho x\right)+1-{\rho }^2-{\left(1+{\rho }^2-2\rho x\right)}^2\text{tr}\left(T_8\left(x\right)R_8^{-1}\right)\mathrm{.}$$

Par conséquent, son analyse, ainsi que l’analyse de la matrice $S$  (qui est de dimensions $81\times 81$  dans ce schéma), peut être effectuée numériquement, après avoir attribué une valeur pour $\rho .$  Afin d’utiliser le résultat du théorème 3.1, nous devons vérifier numériquement que les HYPOTHÈSES I et II sont satisfaites pour une valeur concrète donnée de $\rho .$  Nous avons confirmé que les hypothèses sont vérifiées pour plusieurs valeurs de $\rho$  prises au hasard dans l’intervalle $\left(-\mathrm{1,1}\right).$

En prenant par exemple $\rho =0\text{,}9,$ nous obtenons que $Q_9$  possède huit racines complexes et une racine réelle de la forme

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-0\text{,}7667-0\text{,}0208i\hfill \\ x_2=-0\text{,}7667+0\text{,}0208i\hfill \\ x_3=-0\text{,}1746-0\text{,}0320i\hfill \\ x_4=-0\text{,}1746+0\text{,}0320i\hfill \\ x_5=0\text{,}4989-0\text{,}0284i\hfill \\ x_6=0\text{,}4989+0\text{,}0284i\hfill \\ x_7=0\text{,}9391-0\text{,}0121i\hfill \\ x_8=0\text{,}9391+0\text{,}0121i\hfill \\ x_9=-1\text{,}0006\hfill \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}{d}_1=d_{-}\left(x_1\right)\hfill & =-0\text{,}7419-0\text{,}6220i\hfill \\ d_2=d_{-}\left(x_2\right)\hfill & =-0\text{,}7419+0\text{,}6220i\hfill \\ d_3=d_{-}\left(x_3\right)\hfill & =-0\text{,}1689-0\text{,}9532i\hfill \\ d_4=d_{-}\left(x_4\right)\hfill & =-0\text{,}1689+0\text{,}9532i\hfill \\ d_5=d_{-}\left(x_5\right)\hfill & =0\text{,}4825-0\text{,}8389i\hfill \\ d_6=d_{-}\left(x_6\right)\hfill & =0\text{,}4825+0\text{,}8389i\hfill \\ d_7=d_{-}\left(x_7\right)\hfill & =0\text{,}9064-0\text{,}3335i\hfill \\ d_8=d_{-}\left(x_8\right)\hfill & =0\text{,}9064+0\text{,}3335i\hfill \\ d_9=d_{-}\left(x_9\right)\hfill & =-0\text{,}9682\hfill \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}_1=0\text{,}7429\hfill \\ a_2=0\text{,}0019\hfill \\ a_3=0\text{,}0023\hfill \\ a_4=0\text{,}0029\hfill \\ a_5=0\text{,}0037\hfill \\ a_6=0\text{,}0049\hfill \\ a_7=0\text{,}0066\hfill \\ a_8=0\text{,}0088\hfill \\ a_9=0\text{,}0119\hfill \end{array}\mathrm{.}$$

Le coefficient $a_1$  est dominant en ce qui concerne la valeur absolue. Le deuxième plus grand coefficient, $a_9,$  est plus petit d’un ordre de grandeur, et les autres coefficients sont plus petits d’au moins deux ordres de grandeur. Les résultats pour d’autres valeurs du paramètre $\rho$  ont un comportement similaire.

 

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