Une mesure de l’effet de plan pour la pondération par calage dans les échantillons à un degré 3. Mesure proposée de l’effet de planUne mesure de l’effet de plan pour la pondération par calage dans les échantillons à un degré 3. Mesure proposée de l’effet de plan

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Nous étendons l’approche de Spencer (2000) dans le cas de l’échantillonnage à un degré afin de produire un nouvel effet de plan dû à la pondération pour un estimateur par calage. Alors que Spencer a supposé que $y_i=\alpha +\beta p_i+{\epsilon }_i,$ nous modélisons $y_i$ sous la forme $y_i=\alpha +x_i^T\beta +{\epsilon }_i={\dot{x}}_i^T\dot{\beta }+{\epsilon }_i,$ où ${\dot{x}}_i=\left[\begin{array}{cc}1& x_i\end{array}\right]$ et $\dot{\beta }=\left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta \end{array}\right].$ Désignons les estimateurs en population finie complète de $\alpha$ et $\beta$ par $A=\overline{Y}-\overline{X}B$ et $B={\left(X^{T}X\right)}^{-1}{X}^{T}Y,$ où $X$ est la matrice de dimensions $N\times p$ des variables auxiliaires pour les $N$ unités dans la population finie et $Y$ est le vecteur de dimension $N$ des valeurs de  $y.$ Les résidus dans la population finie sont définis comme étant $e_i=y_i-\left(A+x_i^{T}B\right)\equiv y_i-{\dot{x}}_i^T\dot{B}$ où $\dot{B}=\left[\begin{array}{cc}A& B\end{array}\right].$

La production de l’effet de plan proposé plus bas comprend quatre étapes, à savoir 1) construire une approximation linéaire de l’estimateur GREG, 2) obtenir la variance sous le plan de cette approximation linéaire, 3) substituer les composantes fondées sur un modèle dans l’expression de la variance de l’estimateur GREG, et 4) prendre le ratio de cette variance assistée par modèle à la variance de l’estimateur $\text{pwr}$ du total sous $\text{easar}.$ Puisque les étapes (1) à (4) produisent l’effet de plan théorique d’un estimateur, nous ajoutons l’étape finale, à savoir introduire les estimations fondées sur l’échantillon pour chaque composante de l’effet de plan théorique.

Étape 1. Une linéarisation de l’estimateur GREG (expression 6.6.9 dans Särndal et coll. 1992) prend la forme

$$\begin{array}{ll}{\widehat{T}}_{\text{GREG}}\hfill & \doteq {\widehat{T}}_{\text{HT}y}+{\left(T_x-{\widehat{T}}_{\text{HT}x}\right)}^T\dot{B}\hfill \\ \hfill & =T_x^T\dot{B}+{\displaystyle {\sum }_{i\in s}{e}_i/{\pi }_i}\hfill \end{array}(3.1)$$

où ${\displaystyle {\sum }_{i\in s}{e}_i}/{\pi }_i$ est l’estimateur HT du total de population des $e_i,$ $E_U={\displaystyle {\sum }_{i\in U}{e}_i}.$ Pour obtenir une formule de variance simple à l’étape 2, nous traitons le cas de l’échantillonnage avec remise et remplaçons ${\displaystyle {\sum }_{i\in s}{e}_i}/{\pi }_i$ par l’estimateur $\text{pwr}$ $n^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{e}_i}/p_i.$ Ensuite, nous définissons ${\delta }_i$ comme étant le nombre de fois que l’unité $i$ est sélectionnée dans l’échantillon. Puisque $E_{\pi }\left({\delta }_i\right)=n{p}_i,$ l’espérance sous le plan de la deuxième composante dans (3.1) est de la forme $E_{\pi }\left(n^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{e}_i}/p_i\right)=E_U.$

Étape 2. De l’étape 1 avec l’hypothèse d’échantillonnage avec remise, il découle que ${\widehat{T}}_{\text{GREG}}-T_x^T\dot{B}\doteq n^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{e}_i}/p_i,$ dont la variance sous le plan est donnée par

$$\begin{array}{ll}{\text{Var}}_{\pi }\left({\widehat{T}}_{\text{GREG}}-T_x^T{\dot{B}}_U\right)\hfill & \doteq {\text{Var}}_{\pi }\left(n^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{e}_i}/p_i\right)\hfill \\ \hfill & =n^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}{p}_i{\left(e_i/p_i-E_U\right)}^2}.\hfill \end{array}(3.2)$$

Étapes 3 et 4. Nous suivons l’approche de Spencer et substituons les valeurs du modèle dans l’expression de la variance (3.2) pour formuler une mesure de l’effet de plan. Cependant, nous substituons l’équivalent fondé sur un modèle de $e_i$ et non de $y_i.$ La substitution des résidus GREG $e_i$ dans l’expression de la variance et le calcul de son ratio à la variance de l’estimateur $\text{pwr}$ sous échantillonnage aléatoire simple avec remise, ${\text{Var}}_{\text{easar}}\left({\widehat{T}}_{\text{easar}}\right)=N^2{\sigma }_y^2/n,$ où ${\sigma }_y^2=N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{\left(y_i-\overline{Y}\right)}^2},$ produira notre effet de plan approximatif dû à la pondération par calage inégale. Nous pouvons simplifier grandement les choses en définissant $u_i=A+e_i,$ où $u_i=y_i-x_i^{T}B,$ ce qui implique que $\overline{U}=A+{\overline{E}}_U=A.$ L’effet de plan résultant (voir l’annexe) est

$${\text{Deff}}_H=\frac{n\overline{W}}{N}\left(\frac{{\sigma }_u^2}{{\sigma }_y^2}\right)+\frac{n{\sigma }_w}{N{\sigma }_y^2}\left({\rho }_{u^{2}w}{\sigma }_{u^2}-2A{\rho }_{uw}{\sigma }_u\right)(3.3)$$

où ${\sigma }_u^2=N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{\left(u_i-\overline{U}\right)}^2},{\sigma }_y^2=N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{\left(y_i-\overline{Y}\right)}^2},{\rho }_{u^{2}w}$ est la corrélation en population finie entre $u_i^2$ et $w_i,{\sigma }_{u^2}^2$ est la variance de $u_i^2$ , et ${\rho }_{uw}$ est la corrélation entre $u_i$ et $w_i.$

Dans (3.3), la première composante est d’ordre $O\left(1\right);$ le facteur $n\overline{W}/N$ est apparenté au $\text{deff}$ de Kish comme il est décrit plus bas. Le facteur ${\sigma }_u^2/{\sigma }_y^2$ est un ajustement basé sur l’efficacité avec laquelle les covariables prédisent $y.$ La deuxième composante dans (3.3) est d’ordre $O\left(n/N\right)$ et incorpore des termes reliés à la force de la relation entre les covariables de calage et les poids.

Notons que l’expression (3.3) est établie en supposant que l’on a procédé à un échantillonnage avec remise (AR). Bien que l’échantillonnage sans remise (SR) soit plus fréquent en pratique, le calcul de la variance SR d’un total estimé est compliqué, puisqu’il fait intervenir les probabilités de sélection conjointe. La formule de la variance AR est suffisamment simple pour donner une idée de l’effet du calage sur un $\text{deff}\text{.}$ Quand l’utilisation de l’échantillonnage SR donne lieu à des gains de précision, un facteur de correction pour population finie ponctuel peut être intégré dans (3.3), c’est-à-dire $\left(1-n/N\right){\text{Deff}}_H.$

Étape 5. Pour estimer (3.3), nous utilisons

$${\text{deff}}_H\approx {\text{deff}}_K\left(w\right)\frac{{\widehat{\sigma }}_u^2}{{\widehat{\sigma }}_y^2}+\frac{n{\widehat{\sigma }}_w}{N{\widehat{\sigma }}_y^2}\left({\widehat{\rho }}_{u^{2}w}{\widehat{\sigma }}_{u^2}-2\widehat{\alpha }{\widehat{\rho }}_{uw}{\widehat{\sigma }}_u\right),(3.4)$$

où l’estimation des paramètres du modèle $\widehat{\alpha }$ est obtenue par la méthode des moindres carrés pondérés par les poids de sondage, ${\widehat{\sigma }}_y^2$ a été défini à la section 2.3, ${\widehat{\sigma }}_u^2={\displaystyle {\sum }_{i\in s}{w}_i{\left({\widehat{u}}_i-{\overline{u}}_w\right)}^2}/{\displaystyle {\sum }_{i\in s}{w}_i},$ ${\widehat{\overline{u}}}_w={\displaystyle {\sum }_{i\in s}{w}_i{\widehat{u}}_i}/{\displaystyle {\sum }_{i\in s}{w}_i},{\widehat{u}}_i=y_i-x_i^T\widehat{\beta },$ et $\widehat{\beta }={\left(X_s^{T}W{X}_s\right)}^{-1}{X}_s^{T}W{y}_s$ est l’estimation par les moindres carrés pondérés par les poids de sondage de $\beta ,$ avec $W=\text{diag}\left(w_1,\dots ,w_n\right),$ et les autres termes définis à la section 2.1.

Si les corrélations dans (3.3) sont négligeables ou que la fraction d’échantillonnage $n/N$ est faible, le premier terme domine et nous obtenons

$${\text{Deff}}_H\approx \frac{n\overline{W}}{N}\left(\frac{{\sigma }_u^2}{{\sigma }_y^2}\right),$$

qui peut être estimé au moyen de

$${\text{deff}}_H\approx {\text{deff}}_K\left(w\right){\widehat{\sigma }}_u^2/{\widehat{\sigma }}_y^2.(3.5)$$

Notons que, dans les échantillons sans ajustement des poids par calage, nous avons ${\widehat{u}}_i=y_i-x_i^T\widehat{\beta }\approx y_i$ et ${\sigma }_u^2\approx {\sigma }_y^2.$ Dans ce cas, l’expression (3.5) devient ${\text{Deff}}_H\approx n\overline{W}/N,$ que nous estimons en utilisant la mesure de Kish ${\text{deff}}_K=1+{\left[\text{CV}\left(w\right)\right]}^2.$ Cependant, quand la relation entre les covariables de calage $x$ et $y$ est plus forte, la variance ${\sigma }_u^2$ doit être plus petite que ${\sigma }_y^2.$ Dans ce cas, la mesure (3.5) est plus petite que l’estimation de Kish. Les poids variables découlant des ajustements par calage ne sont donc pas aussi « pénalisés » (pénalité manifestée par des effets de plan exagérément élevés) qu’ils ne le seraient si on utilisait les mesures de Kish ou de Spencer. Cependant, si le calage est « inefficace », ou si la relation entre $x$ et $y$ est faible, alors ${\sigma }_u^2$ peut être plus grande que ${\sigma }_y^2,$ ce qui produit un effet de plan plus grand que l’unité. La mesure de Spencer tient compte uniquement d’une relation indirecte entre $x$ et $y$ s’il n’existe qu’une seule variable $x$ et qu’elle a été utilisée pour produire $p_i.$ Cela est illustré à la section 4. Nous examinons également la mesure dans laquelle les composantes de corrélation dans notre effet de plan proposé (3.3) sont suffisamment grandes pour influer sur la mesure exacte. Le calcul de (3.3) requiert uniquement les valeurs d’échantillon de $y$ , les covariables et les poids de calage. Cette mesure peut donc être produite plus rapidement que la mesure (2.3), dont les composantes ne sont souvent disponibles qu’à une étape ultérieure du traitement des données, après qu’un système d’estimation de la variance ait été mis en place.

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