Application des formulations de la programmation en nombres entiers à la répartition optimale dans l’échantillonnage stratifié 5. Observations finalesApplication des formulations de la programmation en nombres entiers à la répartition optimale dans l’échantillonnage stratifié 5. Observations finales

Dans cet article, nous avons proposé deux nouvelles formulations permettant d’obtenir le minimum global dans les problèmes de répartition multivariée optimale. On peut appliquer ces formulations exactes de la programmation en nombres entiers de façon efficace en utilisant un logiciel commercial (à savoir le module R $R g l p k) .$ De plus, les formulations proposées permettent de définir les tailles d’échantillon minimales par strate, ce qui est très utile dans la pratique pour éviter les répartitions avec des tailles d’échantillon inférieures à 2, par exemple, qui rendraient difficile l’estimation de la variance. Ces tailles d’échantillon minimales peuvent être fixées à des valeurs plus élevées (par exemple 5, 10, 30 ou un autre chiffre) afin de s’assurer que les échantillons sont assez grands pour tolérer certains cas de non-réponse ou qu’une estimation est possible pour chaque strate si les strates sont utilisées comme domaines d’estimation.

L’approche proposée améliore les méthodes existantes en s’attaquant directement au problème de répartition et en tenant compte de la non-linéarité de la fonction objectif ou des contraintes, ainsi que de l’exigence selon laquelle les tailles d’échantillon pour les strates doivent être des nombres entiers. Dans la littérature sur ce sujet, les méthodes antérieures ne garantissent pas l’obtention d’un optimum global ou elles produisent des répartitions à valeur réelle qui doivent être arrondies à des nombres entiers.

Dans la pratique, les répartitions à valeur réelle ne constituent pas un problème majeur, à moins que les tailles de population par strate $N_{h}$ soient très petites ou que le nombre de strates soit très élevé. Dans le premier cas, l’échantillonnage d’une unité de plus ou de moins peut faire une grande différence dans les fractions d’échantillonnage, ce qui peut avoir d’importantes incidences sur les variances. Dans le deuxième cas, l’arrondissement des tailles d’échantillon attribuées peut faire une différence dans la taille d’échantillon totale $n .$ Lorsque toutes les tailles de population par strate $N_{h}$ sont relativement grandes et que le nombre de strates est raisonnable, l’arrondissement des tailles d’échantillon qui ne sont pas des nombres entiers ne cause pas de problème.

Dans cet article, nous avons effectué quelques calculs visant essentiellement à démontrer la faisabilité de l’approche proposée. La formulation C de l’approche proposée permet d’obtenir des résultats comparables à ceux obtenus avec la méthode de Bethel, en plus de produire des répartitions à valeurs entières qui correspondent à l’optimum global. Cependant, comme peu de différences ont été constatées entre la méthode de BSSM et celle de Bethel dans les applications examinées, il n’y aurait guère d’avantages à adopter la méthode de BSSM. Les résultats obtenus avec la formulation D représentaient des améliorations modestes par rapport à ceux obtenus avec la méthode classique employée dans la comparaison.

D’autres recherches sont requises pour tester l’approche face à des problèmes plus importants et pour en évaluer les mérites par rapport à d’autres méthodes dans d’autres scénarios pratiques. Un avantage important de l’approche proposée est qu’on peut appliquer les deux formulations en utilisant un logiciel commercial, comme il est expliqué plus haut.

Remerciements

Cette étude a été financée par la subvention de recherche E-26/111.947/2012 de FAPERJ.

Annexe A

Description des populations d’enquête examinées dans l’expérience numérique

Tableau A1
Description des populations
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Description des populations. Les données sont présentées selon Population (titres de rangée) et Description et Variables d’enquête XXXX(figurant comme en-tête de colonne).
Population	Description	Variables d’enquête $(y)$
CoffeeFarms	Plantations de café dans l’État de Paraná, au Brésil, d’après le recensement agricole de 1996.	Nombre de caféiers Superficie agricole totale Production de café
SchoolsNortheast	Données tirées du recensement des écoles de 2012, par école, région du Nord-Est du Brésil.	Nombre de salles de classe Nombre d’employés
MunicSw	Données sur les municipalités suisses tirées du module $S a m p l i n g S t r a t a .$	Superficie agricole Superficie industrielle Nombre de ménages Population

Tableau A2
Stratification des populations
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Stratification des populations. Les données sont présentées selon Population (titres de rangée) et Stratification(figurant comme en-tête de colonne).
Population	Stratification
CoffeeFarms	Stratification en fonction de la variable Nombre de caféiers, en utilisant l’algorithme de Kozak disponible dans le module $S t r a t i f i c a t i o n$
SchoolsNortheast	Douze strates ont été formées en tenant compte du type d’école (4 catégories) et du nombre d’élèves (3 catégories). La stratification par taille des écoles a été effectuée en utilisant l’algorithme de mise en grappes $k - means$ à l’intérieur de chaque type d’école.
MunicSw	Cette population est disponible dans le module $S a m p l i n g S t r a t a$ et les strates correspondent aux régions de la Suisse.

Tableau A3
Nombre de strates, nombre de variables d’enquête et taille totale pour les populations d’enquête examinées
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Nombre de strates. Les données sont présentées selon Population (titres de rangée) et XXXX(figurant comme en-tête de colonne).
Population	$H$	$m$	$N$
CoffeeFarms	3	3	20 472
SchoolsNortheast	12	2	75 084
MunicSw	7	4	2 896

Tableau A4
Résumés de la population par strate $- C o f f e e F a r m s$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Résumés de la population par strate $- C o f f e e F a r m s$ . Les données sont présentées selon Résumé (titres de rangée) et Strate, calculées selon XXXX unités de mesure (figurant comme en-tête de colonne).
Résumé	Strate
Résumé	$h = 1$	$h = 2$	$h = 3$
$N_{h}$	17 821	2 440	211
${\bar{Y}}_{1 h}$	4 291	26 688	218 712
${\bar{Y}}_{2 h}$	22	84	488
${\bar{Y}}_{3 h}$	2 671	13 204	129 033
$S_{h 1}$	2 873	15 541	193 366
$S_{h 2}$	69	262	583
$S_{h 3}$	4 611	24 704	200 447

Tableau A5
Résumés de la population par strate $- S c h o o l s N o r t h e a s t$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Résumés de la population par strate $- S c h o o l s N o r t h e a s t$ . Les données sont présentées selon Strate (titres de rangée) et XXXX(figurant comme en-tête de colonne).
Strate	$N_{h}$	${\bar{Y}}_{1 h}$	${\bar{Y}}_{2 h}$	$S_{h 1}$	$S_{h 2}$
$h = 1$	82	45,1	54,0	309,2	24,9
$h = 2$	63	23,9	146,3	14,4	92,6
$h = 3$	7	80,9	700,4	29	342,5
$h = 4$	783	16,2	95,7	6,4	49,5
$h = 5$	2 676	10,9	57,7	21,6	23,7
$h = 6$	3 958	6,1	26,7	4,2	17,9
$h = 7$	2 172	13,6	76,8	5,7	27,9
$h = 8$	45 243	2,5	9,3	3	8,8
$h = 9$	9 674	7,7	38,0	3,2	17,9
$h = 10$	1 743	17,3	49,1	9,2	36,7
$h = 11$	8 445	7,3	15,3	4,1	13,5
$h = 12$	238	37,7	140,8	18,4	88,9

Tableau A6
Résumés de la population par strate $- M u n i c S w$
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Résumés de la population par strate $- M u n i c S w$ . Les données sont présentées selon Résumé (titres de rangée) et Strate, calculées selon XXXX unités de mesure (figurant comme en-tête de colonne).
Résumé	Strate
Résumé	$h = 1$	$h = 2$	$h = 3$	$h = 4$	$h = 5$	$h = 6$	$h = 7$
$N_{h}$	589	913	321	171	471	186	245
${\bar{Y}}_{1 h}$	262,5	367,2	262,7	438,0	429,5	668,9	47,0
${\bar{Y}}_{2 h}$	5,5	5,3	9,7	13,3	7,9	11,0	4,1
${\bar{Y}}_{3 h}$	963,9	782,1	1 345,2	3 319,1	906,0	1 465,2	550,7
${\bar{Y}}_{4 h}$	2 252,5	1 839,4	3 099,5	7 297,7	2 226,0	3 675,8	1 252,4
$S_{h 1}$	220,5	342,4	173,2	290,2	414,2	568,7	65,3
$S_{h 2}$	15,1	13,0	19,4	29,7	14,9	15,5	8,2
$S_{h 3}$	4 600,9	2 794,7	5 003,5	14 610,0	2 178,6	2 802,1	1 197,5
$S_{h 4}$	9 540,3	5 621,6	9 764,5	28 589,4	4 759,4	5 914,5	2 514,9

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Date de modification :: 2017-09-20

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