Une généralisation du paradigme de Fellegi-Holt pour la localisation automatique des erreurs 3. Opérations de vérificationUne généralisation du paradigme de Fellegi-Holt pour la localisation automatique des erreurs 3. Opérations de vérification

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Poursuivons la notation de la section 2 en définissant une opération de vérification $g$ comme une fonction affine de forme générale

$$g\left(x\right)=Tx+S\alpha +c,(3.1)$$

où $T$ et $S$ sont des matrices de coefficients connues de dimensions $p\times p$ et $p\times m,$ respectivement, $\alpha =\left({\alpha }_1, \dots , {\alpha }_m\right)\prime$ est un vecteur de paramètres libres qui peuvent se produire dans $g,$ et $c$ est un vecteur de $p$ constantes connues. Dans le cas particulier où $g$ ne comprend aucun paramètre libre $\left(m=0\right),$ le second terme de l’équation (3.1) disparaît. Il est parfois utile d’imposer une ou plusieurs contraintes linéaires aux paramètres libres de $g:$

$$R\alpha +d\odot 0,(3.2)$$

où $R$ est une matrice connue et $d,$ un vecteur de constantes connu. (Remarque : La notation matricielle-vectorielle est utilisée tout au long de l’article parce qu’elle permet de décrire avec concision les résultats; le recours à des matrices pour représenter les règles et les opérations de vérification ne constitue toutefois probablement pas le meilleur moyen de traiter ces résultats par ordinateur.)

Comme premier exemple, prenons l’opération qui remplace l’une des valeurs originales de $x$ par une nouvelle valeur arbitraire (imputation), que nous appellerons opération FH, vu son rôle central dans la vérification automatique fondée sur le paradigme de Fellegi-Holt. Soit $I$ la matrice identité $p\times p$ et $e_i$ le $i^{\text{e}}$ vecteur de base canonique de ${ℝ}^p.$ L’opération FH qui impute la variable $x_j$ est donnée par (3.1) où $T=I-e_j{e^{\prime }}_j,$ $S=e_j$ et $c=0.$ On obtient : $g\left(x\right)=x+e_j\left(\alpha -x_j\right)=\left(x_1, \dots ,x_{j-1},\alpha ,x_{j+1},\dots , x_p\right)\prime ,$ où $\alpha \in ℝ,$ un paramètre libre représentant la valeur imputée. Soulignons que pour un enregistrement de $p$ variables, on peut définir $p$ opérations FH distinctes.

Pour mieux illustrer le concept d’opération de vérification, d’autres exemples sont présentés ci-dessous. Pour faciliter la notation, ces exemples sont limités au cas où $p=3.$

• Opération de vérification qui change le signe d’une des variables :
• $$g\left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{rrr}\hfill -1& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 1& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right).$$
• Opération de vérification qui intervertit les valeurs de deux éléments adjacents :
• $$g\left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{rrr}\hfill 0& \hfill 1& \hfill 0\\ \hfill 1& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ x_1\\ x_3\end{array}\right).$$
• Opération de vérification qui transfère un nombre d’unités d’un élément à un autre, où le nombre d’unités transférées peut équivaloir à au plus $K$ unités dans un sens ou dans l’autre :
• $$g\left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 1& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}\hfill 1\\ \hfill 0\\ \hfill -1\end{array}\right)\alpha +\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+\alpha \\ x_2\\ x_3-\alpha \end{array}\right),$$
• où la contrainte suivante s’applique : $-K\le \alpha \le K.$
• Opération de vérification qui impute deux variables simultanément selon un ratio fixe :
• $$g\left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{rrr}\hfill 0& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}\hfill 1& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 1\\ \hfill 0& \hfill 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ x_3\end{array}\right),$$
• où la contrainte suivante s’applique : $\alpha =\left({\alpha }_1, {\alpha }_2\right)\prime$ satisfait $10{\alpha }_1-{\alpha }_2=0.$

Intuitivement, une opération de vérification est censée « renverser les effets » d’un type particulier d’erreur qui aurait pu se produire dans les données observées, c’est-à-dire que si l’erreur associée à l’opération de vérification $g$ s’est réellement produite dans l’enregistrement $x$ observé, alors $g\left(x\right)$ correspond à l’enregistrement que l’on aurait observé si cette erreur ne s’était pas produite. De façon un peu plus formelle, on présume ici que les erreurs qui surviennent dans les données peuvent être modélisées par un « processus de génération d’erreurs » stochastique $ℰ,$ et que chaque opération de vérification joue le rôle de « correcteur » d’une erreur particulière qui peut se produire dans $ℰ$ (voir la remarque n° 4 à la section suivante).

Si l’opération de vérification $g$ contient des paramètres libres, l’enregistrement $g\left(x\right)$ pourrait ne pas être déterminé de façon unique même lorsque les restrictions (2.1) et (3.2) sont prises en compte. Dans ce cas, il faut « imputer » des valeurs pour les paramètres libres de l’opération de vérification, ce qui signifie que certaines des variables de $x$ sont imputées au moyen de la transformation affine donnée par (3.1). Comme pour la vérification traditionnelle reposant sur le paradigme de Fellegi-Holt, la recherche des « imputations » appropriées pour les paramètres libres n’est pas considérée ici comme faisant partie du problème de localisation des erreurs. En revanche, si $g$ ne contient aucun paramètre libre, les valeurs imputées dans $g\left(x\right)$ découlent directement de l’opération de vérification elle-même et la distinction entre la localisation des erreurs et l’imputation devient floue.

Pour n’importe quelle application particulière, seul un petit sous-ensemble d’opérations de vérification possibles de la forme donnée en (3.1) pourrait être interprété de façon considérablement significative, au sens où l’on sait que les types d’erreur associés peuvent se produire. Dans ce qui suit, on présume qu’un ensemble fini d’opérations de vérification spécifiques de la forme donnée en (3.1) a été déterminé comme étant pertinent pour une application particulière. Cet ensemble correspond aux opérations de vérification autorisées pour cette application. Des suggestions sur la façon de bâtir cet ensemble sont présentées à la section 8.

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