Appariement statistique par imputation fractionnaire 5. Modèles d’erreur de mesureAppariement statistique par imputation fractionnaire 5. Modèles d’erreur de mesure

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Examinons maintenant l’application d’un appariement statistique au problème des modèles d’erreur de mesure. Supposons que l’on s’intéresse au paramètre  $\theta$ de la distribution conditionnelle $f\left(y_2|y_1\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right).$ Dans l’échantillon initial, au lieu d’observer $\left(y_{1i}\mathrm{,}{y}_{2i}\right),$ on observe $\left(x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\right),$ où $x_i$ est une version contaminée de $y_{1i}.$ Comme il est possible que l’inférence pour $\theta$ fondée sur $\left(x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\right)$ soit biaisée, d’autres renseignements sont nécessaires. L’une des façons courantes d’obtenir ces renseignements supplémentaires est de recueillir $\left(x_i\mathrm{,}{y}_{1i}\right)$ dans le cadre d’une étude de calage externe. Dans ce cas, on observe $\left(x_i\mathrm{,}{y}_{1i}\right)$ dans l’échantillon A et $\left(x_i\mathrm{,}{y}_{2i}\right)$ dans l’échantillon B, l’échantillon A étant l’échantillon de calage et l’échantillon B, l’échantillon principal. Guo et Little (2011) présentent une application d’un calage externe.

Le cadre de calage externe peut s’exprimer sous forme de problème d’appariement statistique. Le tableau 5.1 établit de façon explicite le lien entre l’appariement statistique et le calage externe. Une hypothèse de variable instrumentale permet l’inférence pour $\theta$ en fonction de données selon la structure présentée dans le tableau 1.1. Dans la notation du modèle d’erreur de mesure, l’hypothèse de variable instrumentale est

$$f\left(y_{2i}|y_{1i}\mathrm{,}{x}_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}f\left(y_{2i}|y_{1i}\right)\text{et}f\left(y_{1i}|x_i\mathrm{<mo>=</mo>}a\right)\ne f\left(y_{1i}|x_i\mathrm{<mo>=</mo>}b\right)\mathrm{,}(5.1)$$

pour certains $a\ne b.$ L’hypothèse de variable instrumentale peut être considérée raisonnable dans les applications relatives à l’erreur dans les covariables parce que le modèle d’intérêt en question est $f\left(y_{2i}|y_{1i}\right)\mathrm{,}$ et $x_i$ est une version contaminée de $y_{1i}$ ne contenant aucun renseignement supplémentaire à propos de $y_{2i}$ sachant $y_{1i}.$

Dans le cas où $f\left(y_{2i}|y_{1i}\right)$ et $f\left(y_{1i}|x_i\right)$ sont entièrement paramétriques, on peut utiliser l’imputation fractionnaire paramétrique pour exécuter l’algorithme EM. Cette méthode exige une évaluation de l’espérance conditionnelle de la fonction de score des données complètes sachant les valeurs observées. Pour évaluer l’espérance conditionnelle par imputation fractionnaire, on écrit d’abord la distribution conditionnelle de $y_1$ sachant $\left(x\mathrm{,}{y}_2\right)$ comme suit :

$$f\left(y_1|x\mathrm{,}{y}_2\right)\propto f\left(y_1|x\right)f\left(y_2|y_1\right)\mathrm{.}(5.2)$$

Soit un estimateur ${\widehat{f}}_a\left(y_{1i}|x_i\right)$ de $f\left(y_{1i}|x_i\right)$ provenant de l’échantillon de calage (échantillon A). La mise en œuvre de l’algorithme EM par imputation fractionnaire se déroule comme suit :

1. Pour chaque $i\in B,$ générer $y_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}$ à partir de ${\widehat{f}}_a\left(y_1|x_i\right),$ pour $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}m.$
2. Calculer les poids fractionnaires

$$w_{ij\left(t\right)}^{*}\propto f\left(y_{2i}|y_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{<mo>;</mo>}{\widehat{\theta }}_t\right)$$

• avec ${\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij\left(t\right)}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$

3. Mettre à jour $\theta$ en résolvant

$${\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij\left(t\right)}^{*}S\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{,}{y}_{2i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,}$$

• où $S\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{y}_1\mathrm{,}{y}_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\partial \log f\left(y_2|y_1\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \right)/\partial \theta .$

4. Reprendre à l’étape 2 jusqu’à la convergence.

Cette méthode exige que l’on génère des données à partir de $f\left(y_1|x\right).$ Dans le cas de certains modèles non linéaires ou de modèles assortis de variances non constantes, la simulation à partir de la distribution conditionnelle de $y_1$ sachant $x$ peut exiger le recours à des méthodes Monte Carlo comme l’acceptation-rejet ou l’algorithme de Metropolis-Hastings. La simulation présentée à la section 6.2 est un bon exemple d’une simulation dans laquelle la distribution conditionnelle de $y_1|x$ n’a pas d’expression de forme explicite. Dans ce cas, on peut envisager une autre solution plus simple à calculer. Pour décrire cette solution, posons $h\left(y_1|x\right)$ comme distribution conditionnelle « de travail », par exemple la distribution normale, à partir de laquelle les échantillons peuvent être facilement générés. On présume que les estimations ${\widehat{f}}_a\left(y_1|x\right)$ et ${\widehat{h}}_a\left(y_1|x\right)$ de $f\left(y_1|x\right)$ et $h\left(y_1|x\right),$ respectivement, peuvent être obtenues à partir de l’échantillon A. La mise en œuvre de l’algorithme EM par imputation fractionnaire s’effectue ensuite comme suit :

1. Pour chaque $i\in B,$ générer $x_i^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}$ à partir de ${\widehat{h}}_a\left(y_1|x_i\right),$ pour $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}m.$
2. Calculer les poids fractionnaires

$$w_{ij\left(t\right)}^{*}\propto f\left(y_{2i}|y_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{<mo>;</mo>}{\widehat{\theta }}_t\right){\widehat{f}}_a\left(y_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}|x_i\right)/ {\widehat{h}}_a\left(y_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}|x_i\right)(5.3)$$

• avec ${\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij\left(t\right)}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$

3. Mettre à jour $\theta$ en résolvant

$${\displaystyle \sum _{i\in B}}{w}_{ib}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{w}_{ij\left(t\right)}^{*}S\left(\theta \mathrm{<mo>;</mo>}{y}_{1i}^{\mathrm{<mo>*</mo>}\left(j\right)}\mathrm{,}{y}_{2i}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0.}$$

4. Reprendre à l’étape 2 jusqu’à la convergence.

L’estimation de la variance est une application directe de la méthode de linéarisation présentée à la section 3. La méthode d’imputation fractionnaire hot deck décrite à la section 3 assortie des poids fractionnaires définis en (3.3) s’applique aussi directement au contexte de l’erreur de mesure.

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