Remarque concernant l’estimation par régression lorsque la taille de la population est inconnue 2. Estimateurs par régressionRemarque concernant l’estimation par régression lorsque la taille de la population est inconnue 2. Estimateurs par régression

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Sous des conditions générales de régularité (Isaki et Fuller 1982; Montanari 1987), une approximation de l’estimateur par régression (1.1) est

$${\tilde{Y}}_{\text{REG}}\mathrm{<mo> = </mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }+{\left(X-{\widehat{X}}_{\pi }\right)}^{{\rm T}}B\mathrm{,}(2.1)$$

où $B$ est la limite en probabilité de $\widehat{B}$ lorsque la taille de l’échantillon et celle de la population tendent vers l’infini. Pour de grands échantillons, la variance de l’estimateur par régression (1.1) peut être étudiée avec (2.1). Notons que ${\tilde{Y}}_{\text{REG}}$ est sans biais sous le plan de sondage $p\left(s\right)$ et peut être réexprimé sous la forme :

$${\tilde{Y}}_{\text{REG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{X}^{{\rm T}}B+{\displaystyle \sum _{i\in s}}{d}_i{E}_i\mathrm{,}(2.2)$$

où $E_i\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_i-x_i^{{\rm T}}B.$

Une approximation de la variance par rapport au plan de ${\widehat{Y}}_{\text{REG}}$ peut être donnée par

$${\text{AV}}_p\left({\widehat{Y}}_{\text{REG}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{\displaystyle \sum _{j\in U}}{\Delta }_{ij}\frac{E_i}{{\pi }_i}\frac{E_j}{{\pi }_j}\mathrm{,}(2.3)$$

où ${\Delta }_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{ij}-{\pi }_i{\pi }_j$ et ${\pi }_{ij}$ est la probabilité d’inclusion du second ordre pour les unités $i$ et $j.$ Notons que $B$  peut être estimée selon l’approche assistée par modèle (Särndal, Swensson et Wretman 1992) et l’approche de la variance optimale (Montanari 1987). Les deux méthodes permettent d’obtenir des estimateurs approximativement sans biais. Dans le cas de l’approche assistée par modèle, les propriétés de base (biais et variance) sont valides même lorsque le modèle n’est pas spécifié correctement. Sous l’approche de la variance optimale, aucune hypothèse n’est formulée au sujet de la variable d’intérêt.

L’estimateur assisté par modèle de Särndal et coll. (1992) suppose un modèle de travail entre la variable d’intérêt $\left(y\right)$ et les variables auxiliaires $\left(x\right).$ Le modèle de travail est désigné par $m\mathrm{<mo>: </mo>}{y}_i\mathrm{<mo> = </mo>}{x}_i^{{\rm T}}\beta +{\epsilon }_i$ où $\beta$ est un vecteur de $p$ paramètres inconnus, $E_m\left({\epsilon }_i|x_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0},$ $V_m\left({\epsilon }_i|x_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_i^2,$ et ${\text{Cov}}_m\left({\epsilon }_i\mathrm{,}{\epsilon }_j|x_i\mathrm{,}{x}_j\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,}i\ne j.$ Sous cette approche, $B$ dans l’équation (2.1) est l’estimateur des moindres carrés ordinaires de $\beta$ dans la population et est donné par

$$B_{\text{GREG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i{x}_i{x}_i^{{\rm T}}\right)}^{-1}\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i{x}_i{y}_i\right)\mathrm{,}(2.4)$$

où $c_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_i^{-2}.$ Cela donne l’estimateur suivant pour le total $Y$

$${\widehat{Y}}_{\text{GREG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }+{\left(X-{\widehat{X}}_{\pi }\right)}^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{GREG}}\mathrm{,}(2.5)$$

où

$${\widehat{B}}_{\text{GREG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{i\in s}}{c}_i{d}_i{x}_i{x}_i^{{\rm T}}\right)}^{-1}\left({\displaystyle \sum _{i\in s}}{c}_i{d}_i{x}_i{y}_i\right)\mathrm{.}(2.6)$$

L’estimateur optimal de Montanari (1987), obtenu en minimisant la variance par rapport au plan de

$${\tilde{Y}}_{\text{REG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }+{\left(X-{\widehat{X}}_{\pi }\right)}^{{\rm T}}B\mathrm{,}$$

est

$${\tilde{Y}}_{\text{OPT}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }+{\left(X-{\widehat{X}}_{\pi }\right)}^{{\rm T}}{B}_{\text{OPT}}\mathrm{,}(2.7)$$

où

$$\begin{array}{ll}{B}_{\text{OPT}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left\{V\left({\widehat{X}}_{\pi }\right)\right\}}^{-1}\text{Cov}\left({\widehat{X}}_{\pi }\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\pi }\right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{\displaystyle \sum _{j\in U}}{\Delta }_{ij}\frac{x_i}{{\pi }_i}\frac{x_j^{{\rm T}}}{{\pi }_j}\right)}^{-1}\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{\displaystyle \sum _{j\in U}}{\Delta }_{ij}\frac{x_i}{{\pi }_i}\frac{y_j}{{\pi }_j}\right)\mathrm{.}\hfill \end{array}(2.8)$$

L’estimateur optimal pour le total $Y$ est estimé par

$${\widehat{Y}}_{\text{OPT}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }+{\left(X-{\widehat{X}}_{\pi }\right)}^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{OPT}}\mathrm{,}(2.9)$$

où

$${\widehat{B}}_{\text{OPT}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{i\in s}}{\displaystyle \sum _{j\in s}}\frac{{\Delta }_{ij}}{{\pi }_{ij}}\frac{x_i}{{\pi }_i}\frac{x_j^{{\rm T}}}{{\pi }_j}\right)}^{-1}\left({\displaystyle \sum _{i\in s}}{\displaystyle \sum _{j\in s}}\frac{{\Delta }_{ij}}{{\pi }_{ij}}\frac{x_i}{{\pi }_i}\frac{y_j}{{\pi }_j}\right)\mathrm{.}(2.10)$$

Il est à noter que, pour que nous puissions calculer les vecteurs de régression, la première composante qui les définit doit être inversible. Nous pouvons nous assurer qu’elle l’est en réduisant le nombre de variables auxiliaires qui entrent dans la régression si l’efficience de l’estimateur par régression qui en découle n’en souffre pas trop. Par contre, si la perte d’efficience est importante, nous pouvons inverser ces matrices singulières en utilisant des inverses généralisés.

Comme il est mentionné dans l’introduction, les totaux de population ne sont pas nécessairement connus pour toutes les composantes du vecteur auxiliaire $x.$ La régression utilise normalement les variables auxiliaires pour lesquelles un total de population correspondant est connu. En décomposant $x_i$ en ${\left(\mathrm{1,}{x}_i^{*{\rm T}}\right)}^{{\rm T}}$ où $x_i^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(x_{2i}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{pi}\right)}^{{\rm T}},$ Singh et Raghunath (2011) ont proposé un estimateur semblable au GREG qui suppose une régression fondée sur une ordonnée à l’origine et la variable $x^{*},$ même si seul le total de population de $x^{*}$ est connu.

Si $N$ est inconnu et que le total de population de $x^{*}$ est connu, leur estimateur est

$${\widehat{Y}}_{\text{SREG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }+{\left(X^{*}-{\widehat{X}}_{\pi }^{*}\right)}^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{2,\text{GREG}}\mathrm{,}(2.11)$$

où $X^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{x}_i^{*}$ et ${\widehat{X}}_{\pi }^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s}}{d}_i{x}_i^{*}.$ Le vecteur de régression des coefficients estimés ${\widehat{B}}_{2,\text{GREG}}$ est obtenu à partir de ${\widehat{B}}_{\text{GREG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\widehat{B}}_{1,GREG}\mathrm{,}{\widehat{B}}_{2,\text{GREG}}^{{\rm T}}\right)}^{{\rm T}}$ donné par (2.6). La variance approximative par rapport au plan de ${\widehat{Y}}_{\text{SREG}}$ prend la même forme que l’équation (2.3), où $E_i\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_i-x_i^{*{\rm T}}{B}_{2,\text{GREG}},$ et

$$B_{\mathrm{2,}\text{GREG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left\{{\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i\left(x_i^{*}-{\overline{X}}_N^{*}\right){\left(x_i^{*}-{\overline{X}}_N^{*}\right)}^{{\rm T}}\right\}}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i\left(x_i^{*}-{\overline{X}}_N^{*}\right)y_i$$

et ${\overline{X}}_N^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{x}_i^{*}/N.$

Nous pouvons obtenir les propriétés de (2.11) en notant que

$$\begin{array}{ll}{\widehat{Y}}_{\text{SREG}}-Y\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }-Y+{\left(X^{*}-{\widehat{X}}_{\pi }^{*}\right)}^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{2,\text{GREG}}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }-Y+{\left(X^{*}-{\widehat{X}}_{\pi }^{*}\right)}^{{\rm T}}{B}_{2,\text{GREG}}+{\left(X^{*}-{\widehat{X}}_{\pi }^{*}\right)}^{{\rm T}}\left({\widehat{B}}_{2,\text{GREG}}-B_{2,\text{GREG}}\right)\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Étant donné que ${\widehat{B}}_{\mathrm{2,}\text{GREG}}-B_{\mathrm{2,}\text{GREG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{O}_p\left(n^{-1/2}\right)$ sous certaines conditions de régularité examinées dans Fuller (2009, chapitre 2), le dernier terme est d’ordre plus faible. Ainsi, en ignorant les termes d’ordre plus faible, nous obtenons l’approximation

$${\widehat{Y}}_{\text{SREG}}-Y\cong {\displaystyle \sum _{i\in s}}{d}_i{E}_i-{\displaystyle \sum _{i\in U}}{E}_i\mathrm{,}(2.12)$$

où $E_i\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_i-x_i^{*{\rm T}}{B}_{\mathrm{2,}\text{GREG}}.$ Par conséquent, ${\widehat{Y}}_{\text{SREG}}$ est approximativement sans biais sous le plan. Nous pouvons calculer la variance asymptotique en utilisant

$$V\left\{{\displaystyle \sum _{i\in s}}{d}_i{E}_i-{\displaystyle \sum _{i\in U}}{E}_i\right\}\mathrm{<mo>=</mo>}E\left\{{\left({\displaystyle \sum _{i\in s}}{d}_i{E}_i-{\displaystyle \sum _{i\in U}}{E}_i\right)}^2\right\}\mathrm{.}$$

Comme nous pouvons le voir, la variance asymptotique peut être assez importante à moins que ${\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{E}_i\mathrm{<mo>=</mo>\; 0.}$

Remarque 2.1 Si $y_i\mathrm{<mo>=</mo>}a+b{x}_i,$  nous avons ${\widehat{Y}}_{\text{SREG}}-Y\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\widehat{N}}_{\pi }-N\right)a,$  ce qui implique que $V\left({\widehat{Y}}_{\text{SREG}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{a}^{2}V\left({\widehat{N}}_{\pi }\right).$  Cela signifie que si $V\left({\widehat{N}}_{\pi }\right)\mathrm{<mo>></mo>\; 0},$  nous pouvons accroître artificiellement $a^{2}V\left({\widehat{N}}_{\pi }\right),$  la variance de ${\widehat{Y}}_{\text{SREG}},$  en choisissant des valeurs élevées de $a.$

Il est à noter que l’estimateur par régression optimal obtenu en utilisant $x^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(x_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_p\right)}^{{\rm T}}$ est lui aussi approximativement sans biais sous le plan, car

$$\begin{array}{ll}{\widehat{Y}}_{\text{OPT}}^{*}-Y\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }-Y+{\left(X^{*}-{\widehat{X}}_{\pi }^{*}\right)}^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{OPT}}^{*}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }-Y+{\left(X^{*}-{\widehat{X}}_{\pi }^{*}\right)}^{{\rm T}}{B}_{\text{OPT}}^{*}+{\left(X^{*}-{\widehat{X}}_{\pi }^{*}\right)}^{{\rm T}}\left({\widehat{B}}_{\text{OPT}}^{*}-B_{\text{OPT}}^{*}\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où $B_{\text{OPT}}^{*}$ est obtenu en remplaçant $x_i$ par $x_i^{*}$ dans l’équation (2.8). Étant donné que ${\widehat{B}}_{\text{OPT}}^{*}-B_{\text{OPT}}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{O}_p\left(n^{-1/2}\right)$ sous certaines conditions de régularité examinées dans Fuller (2009, chapitre 2), en ignorant les termes d’ordre plus faible, nous obtenons

$${\widehat{Y}}_{\text{OPT}}^{*}-Y\cong {\widehat{Y}}_{\pi }-Y+{\left(X^{*}-{\widehat{X}}_{\pi }^{*}\right)}^{{\rm T}}{B}_{\text{OPT}}^{*}\mathrm{.}$$

La variance asymptotique de ${\widehat{Y}}_{\text{OPT}}^{*}$ est plus faible que celle de ${\widehat{Y}}_{\text{SREG}},$ car l’estimateur optimal minimise la variance asymptotique dans la classe d’estimateurs de la forme

$${\widehat{Y}}_B\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }+{\left(X^{*}-{\widehat{X}}_{\pi }^{*}\right)}^{{\rm T}}\widehat{B}(2.13)$$

indexée par $\widehat{B}.$

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