Une note sur le concept d’invariance dans les plans d’échantillonnage à deux phases Section 3. Implications de la propriété d’invarianceUne note sur le concept d’invariance dans les plans d’échantillonnage à deux phases Section 3. Implications de la propriété d’invariance

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3.1 Invariance faible

Pour un plan d’échantillonnage à deux phases arbitraire, la probabilité d’inclusion de l’unité $i,$ ${\pi }_i\mathrm{,}i\in s_1\mathrm{,}$ est généralement inconnue et définie comme étant

$$\begin{array}{ll}{\pi }_i\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\text{E}\left(I_{1i}{I}_{2i}\right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\text{E}\left\{I_{1i}\text{E}\left(I_{2i}|I_1\right)\right\}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i_1\text{}\mathrm{<mo>:</mo>}{i}_{1i}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}}{\pi }_{2i}\left(I_1\right)P\left(I_1\mathrm{<mo>=</mo>}{i}_1\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}(3.1)$$

où $i_1$ désigne une réalisation du vecteur aléatoire $I_1.$ Donc, les ${\pi }_i$ sont généralement inconnues parce qu’elles nécessitent de connaître non seulement $P\left(I_1\mathrm{<mo>=</mo>}{i}_1\right)$ pour chaque $I_1$ possible (ce que nous connaissons dans de nombreux cas), mais aussi ${\pi }_{2i}\left(I_1\right)$ pour chaque $I_1.$ Ces dernières sont généralement inconnues parce que ${\pi }_{2i}\left(I_1\right)$ peut dépendre du résultat de la phase 1. Cependant, si le plan d’échantillonnage est faiblement invariant, ${\pi }_{2i}\left(I_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{2i}$ et (3.1) se réduit à

$${\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{2i}{\displaystyle \sum _{i_1\mathrm{<mo>:</mo>}{i}_{1i}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}}P\left(I_1\mathrm{<mo>=</mo>}{i}_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{1i}{\pi }_{2i}\mathrm{.}(3.2)$$

Supposons que nous souhaitions estimer le total de population $t_y\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{y}_i.$ Puisque les ${\pi }_i$ sont généralement inconnues, l’estimateur d’Horvitz-Thompson de $t_y,$

$${\widehat{t}}_{HT}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in s_2}}{\pi }_i^{-1}{y}_i\mathrm{,}$$

ne peut habituellement pas être utilisé. Fréquemment en pratique, on recourt plutôt à l’estimateur par double dilatation (DE pour double expansion)

$${\widehat{t}}_{DE}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in s_2}}{\pi }_{1i}^{-1}{\pi }_{2i}{\left(I_1\right)}^{-1}{y}_i\mathrm{.}$$

En général, ${\widehat{t}}_{HT}$ ainsi que ${\widehat{t}}_{DE}$ diffèrent. Toutefois, pour les plans d’échantillonnage à deux phases faiblement invariants, l’expression (3.2) montre clairement que tous deux sont identiques.

3.2 Invariance forte

Soit $\theta$ un paramètre de population finie et $\widehat{\theta },$ un estimateur de $\theta .$ La variance totale de $\widehat{\theta }$ peut être exprimée sous la forme

$$V\left(\widehat{\theta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}VE\left(\widehat{\theta }|I_1\right)+EV\left(\widehat{\theta }|I_1\right)\mathrm{.}(3.3)$$

La décomposition (3.3) est souvent appelée décomposition à deux phases de la variance; p. ex., Särndal et coll.(1992). Si le plan d’échantillonnage à deux phases est fortement invariant, la variance totale de $\widehat{\theta }$ peut aussi être décomposée comme suit

$$V\left(\widehat{\theta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}EV\left(\widehat{\theta }|I_2\right)+VE\left(\widehat{\theta }|I_2\right)\mathrm{.}(3.4)$$

La décomposition (3.4) est souvent appelée décomposition inverse de la variance, car l’ordre d’échantillonnage est inversé, ce qui ne se justifie que si le plan à deux phases est fortement invariant. La décomposition (3.4) ne peut pas être utilisée dans le cas d’un plan d’échantillonnage à deux phases faiblement invariant, car le vecteur $I_2$ ne peut pas être généré avant le vecteur $I_1\mathrm{.}$ La décomposition inverse a été étudiée dans le contexte de la non-réponse par Fay (1991), Shao et Steel (1999), et Kim et Rao (2009), entre autres. Dans un contexte de non-réponse, en supposant que les unités répondent indépendamment les unes des autres, l’ensemble de répondants peut être considéré comme un échantillon de deuxième phase sélectionné par échantillonnage de Poisson où les probabilités d’inclusion, appelées probabilités de réponse, sont inconnues. Si ces dernières restent les mêmes d’une réalisation de l’échantillon à l’autre, nous sommes essentiellement en présence d’un plan d’échantillonnage à deux phases fortement invariant. La décomposition (3.4) peut être utilisée pour justifier des estimateurs de variance simplifiés pour les plans d’échantillonnage à deux phases; voir Beaumont, Béliveau et Haziza (2015).

Remerciements

Les auteurs remercient un rédacteur associé et un examinateur de leurs commentaires et suggestions, qui leur ont permis d’améliorer la qualité du présent article. Les travaux de recherche de David Haziza ont été financés par une subvention du Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada.

Bibliographie

Beaumont, J.-F., Béliveau, A. et Haziza, D. (2015). Clarifying some aspects of variance estimation in two-phase sampling. Journal of Survey Statistics and Methodology, 3, 524-542.

Fay, R.E. (1991). A design-based perspective on missing data variance. Proceedings of the 1991 Annual Research Conference, US Bureau of the Census, 429-440.

Kim, J.K., et Rao, J.N.K. (2009). A unified approach to linearization variance estimation from survey data after imputation for item nonresponse. Biometrika, 96, 917-932.

Särndal, C.-E., Swensson, B. et Wretman, J. (1992). Model Assisted Survey Sampling. Springer-Verlag, New York.

Shao, J., et Steel, P. (1999). Variance estimation for survey data with composite imputation and nonnegligible sampling fractions. Journal of the American Statistical Association, 94, 254-265.

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