Tests pour évaluer le biais de non-réponse dans les enquêtes Section 5. DiscussionTests pour évaluer le biais de non-réponse dans les enquêtes Section 5. Discussion

Dans le présent article, nous avons considéré des tests de détection du biais de non-réponse après l’utilisation de la poststratification ou de la pondération par l’inverse de la propension à répondre. Les arguments utilisés dans les théorèmes pourraient être étendus à des méthodes similaires qui sont utilisées pour corriger le biais de non-réponse, telles que le ratissage (raking), qui effectue une poststratification itérative sur des totaux de population de marge, ou le calage, qui ajuste les poids de manière que les totaux de population estimés concordent avec les totaux de contrôle pour un ensemble de variables auxiliaires. Haziza et Lesage (2016) soutiennent que l’utilisation d’une procédure en deux étapes de pondération par la propension à répondre suivie d’un calage offre plus de protection contre le biais de non-réponse qu’uniquement le calage en une seule étape, parce que ce dernier implique un modèle reliant les propensions à répondre et les variables de calage, et que le modèle peut être mal spécifié. Les tests proposés dans le présent article pourraient être étendus à des situations où l’on utilise à la fois la pondération par la propension à répondre et la poststratification, ou être utilisés séparément pour évaluer le biais éliminé à chaque étape d’un processus en deux étapes.

Nous avons employé le jackknife pour l’estimation de la variance par rééchantillonnage. Cependant, tous les estimateurs sont des fonctions lisses des totaux de population, si bien que d’autres estimateurs de la variance par rééchantillonnage, tels que les répliques répétées équilibrées ou le bootstrap pourraient également être utilisés.

Une difficulté de l’évaluation du biais de non-réponse tient à la quantité limitée d’information disponible sur l’échantillon sélectionné. Pour certaines enquêtes, toute l’information auxiliaire disponible est utilisée ou prise en considération pour former les poststrates, les classes de pondération par ratissage ou les pondérations par l’inverse de la propension à répondre. Pour les caractéristiques utilisées dans la poststratification, l’estimateur poststratifié ne possède ni variance ni biais, de sorte que tester ces caractéristiques ou des caractéristiques étroitement associées ne permettra pas de découvrir le biais de non-réponse dans d’autres variables étudiées. Les variables auxiliaires qui ne sont pas utilisées pour les corrections de la non-réponse sont souvent omises uniquement parce qu’elles n’ont pas été sélectionnées dans la méthode de choix du modèle utilisé pour former les poststrates ou pour choisir les variables pour la régression logistique, et cette situation se produit habituellement parce que leur pouvoir explicatif pour la prédiction de l’indicateur de réponse est faible après que les autres variables aient été incluses dans le modèle. Pour les enquêtes dont la base de sondage contient moins d’information, il pourrait être possible d’obtenir des données auxiliaires en provenance d’autres sources, comme des dossiers administratifs associés aux adresses des répondants ou des paradonnées. Il est important de s’assurer que les variables utilisées pour tester le biais de non-réponse soient enregistrées de manière cohérente pour les répondants et les non-répondants. Par exemple, si $y$ est l’évaluation de la présence d’enfants dans le ménage faite dans la rue par l’intervieweur, cette évaluation initiale doit être utilisée pour les répondants ainsi que les non-répondants : l’évaluation utilisée dans l’analyse du biais de non-réponse ne doit pas être mise à jour après que l’intervieweur confirme le nombre réel d’enfants dans un ménage répondant.

Après avoir testé les variables disponibles pour la présence d’un biais de non-réponse, nous ne savons toujours pas si les ajustements ont éliminé le biais pour les variables de résultat qui ne sont disponibles que pour les répondants. Abraham, Helms et Presser (2009), ainsi que Kohut, Keeter, Doherty, Dimock et Christian (2012) ont constaté que les estimations du bénévolat et de la participation civique sont plus élevées dans les enquêtes à faible taux de réponse que pour la Current Population Survey, ce qui indique que les ajustements de la pondération n’éliminent pas le biais pour les variables d’engagement civique, alors qu’ils semblent corriger le biais pour les variables démographiques et la propriété du logement. Toutefois, tester une grande gamme de variables auxiliaires pour la présence d’un biais résiduel peut donner plus de confiance dans les résultats d’une enquête sur les variables non testées, ou peut témoigner de préoccupations au sujet des inférences faites d’après l’enquête pour les variables d’intérêt. Nous recommandons que les concepteurs d’enquêtes planifient celles-ci en pensant à l’évaluation du biais de non-réponse, et recueillent des renseignements supplémentaires sur l’échantillon sélectionné dans la mesure du possible. En général, plus on peut recueillir d’information sur l’échantillon sélectionné, mieux c’est.

La comparaison des estimations en utilisant différents ensembles de poids peut présenter un intérêt particulier quand on étudie des stratégies axées sur des plans de collecte dynamique ou adaptatifs, telles que celles décrites dans Groves et Heeringa (2006) et résumées dans Tourangeau, Brick, Lohr et Li (2016). Dans ces stratégies, les phases ultérieures du plan sont modifiées en se servant de l’information recueillie au cours des phases de collecte antérieures. Une stratégie avec plan de collecte dynamique pourrait consister à estimer les taux de réponse après la première phase de l’enquête, puis à répartir les ressources à la deuxième phase de manière à égaliser les taux entre les sous-groupes d’intérêt. Dans une comparaison expérimentale de différentes stratégies avec plan de collecte dynamique, il pourrait être intéressant d’évaluer le biais de non-réponse estimé pour les diverses stratégies. Riddles, Marker, Rizzo, Wiley et Zukerberg (2015) ont comparé les estimations pondérées de la non-réponse pour différents seuils d’exclusion dans la U.S. Schools and Staffing Survey afin de voir si les estimations variaient avec une troncation plus précoce de la collecte des données.

Les résultats des théorèmes 1 à 5 sont exprimés pour des échantillons probabilistes. Or, l’intérêt augmente pour l’usage d’échantillons non probabilistes en vue d’étudier les populations (Baker, Brick, Bates, Battaglia, Couper, Dever, Gile et Tourangeau 2013). Les partisans des échantillons non probabilistes soutiennent que, avec des taux de réponse parfois inférieurs à 10 %, un grand échantillon non probabiliste peu coûteux peut avoir une plus petite erreur quadratique moyenne qu’un petit échantillon probabiliste. Les mêmes méthodes de poststratification et de pondération par l’inverse de la propension à répondre sont habituellement appliquées aux échantillons non probabilistes. Les tests proposés dans le présent article peuvent être adaptés en vue de les utiliser avec ces échantillons, à condition que l’information auxiliaire soit connue pour une série d’individus qui peuvent remplacer la base de sondage. Dans le cas d’une enquête en ligne, il pourrait être possible de comparer les caractéristiques des personnes qui visitent la page Web à celles des personnes qui répondent à l’enquête. Les travaux de recherche doivent se poursuivre dans ce domaine.

Remerciements

Les auteurs remercient les examinateurs de leurs suggestions constructives qui leur ont permis d’améliorer l’article.

Annexe

Le lemme qui suit montre que la variabilité additionnelle due au mécanisme de réponse stochastique est $O (M^{2} / n) .$

Lemme 1. Supposons que les hypothèses (A3) et (A5) sont satisfaites et que $| q_{h i k} | \leq Q$ pour toute unité $(h i k) \in U .$ Alors

$E [V (\sum_{h i k \in U} Z_{h i k} w_{h i k} q_{h i k} r_{h i k} | Z)] = O (M^{2} / n) .$

Preuve. En vertu de l’hypothèse (A5),

$\begin{array}{l} | E [V (\sum_{h i k \in U} Z_{h i k} w_{h i k} q_{h i k} r_{h i k} | Z)] | & = | E [\sum_{h =1}^{H} \sum_{i =1}^{N_{h}} \sum_{k =1}^{M_{h i}} \sum_{p =1}^{M_{h i}} Z_{h i k} Z_{h i p} w_{h i k} w_{h i p} Cov (r_{h i k}, r_{h i p}) q_{h i k} q_{h i p}] | \\ \leq Q^{2} E [\sum_{h =1}^{H} \sum_{i =1}^{N_{h}} \sum_{k =1}^{M_{h i}} \sum_{p =1}^{M_{h i}} Z_{h i k} Z_{h i p} w_{h i k} w_{h i p}] \\ = Q^{2} \sum_{h =1}^{H} \sum_{i =1}^{N_{h}} \sum_{k =1}^{M_{h i}} \sum_{p =1}^{M_{h i}} P [(h i) \in S] P [k \in S_{h i}, p \in S_{h i}] w_{h i k} w_{h i p} \\ = O (M^{2} / n) . \end{array}$

La dernière ligne découle implicitement de l’hypothèse (A3).

Preuve du théorème 1. De (2.4), il découle que

$V_{1} (\hat{θ}) = V [\sum_{c =1}^{C} \frac{1}{p_{c}} ({\hat{Y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R} ({\hat{M}}_{c}^{R} - M_{c}^{R})) - {\hat{Y}}_{S S}]$

$V_{2} (\hat{θ}) = V [\sum_{c =1}^{C} \frac{{\hat{T}}_{c}}{p_{c}}] + 2 Cov [\sum_{c =1}^{C} \frac{{\hat{T}}_{c}}{p_{c}}, \sum_{c =1}^{C} \frac{({\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) {\hat{M}}_{c}^{R}}{p_{c}} - {\hat{Y}}_{S S}] .$

Le terme principal se simplifie en

$\begin{array}{l} V_{1} (\hat{θ}) & = V [\sum_{h i k \in U} Z_{h i k} w_{h i k} \sum_{c =1}^{C} δ_{c h i k} {\frac{r_{h i k}}{p_{c}} (y_{h i k} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) - y_{h i k}}] \\ = V [E [\sum_{h i k \in U} Z_{h i k} w_{h i k} \sum_{c =1}^{C} δ_{c h i k} {\frac{r_{h i k}}{p_{c}} (y_{h i k} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) - y_{h i k}} | Z]] \\ + E [V [\sum_{h i k \in U} Z_{h i k} w_{h i k} \sum_{c =1}^{C} δ_{c h i k} {\frac{r_{h i k}}{p_{c}} (y_{h i k} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) - y_{h i k}} | Z]] \\ = V (\sum_{h i k \in U} Z_{h i k} w_{h i k} e_{R h i k}) + E [V [\sum_{h i k \in U} Z_{h i k} w_{h i k} \sum_{c =1}^{C} δ_{c h i k} \frac{r_{h i k}}{p_{c}} (y_{h i k} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) | Z]] . \end{array}$

Le lemme 1 et l’hypothèse (A4), qui garantit que $1 / p_{c}$ est bornée, implique que le deuxième terme est $O (M^{2} / n) .$

Pour montrer que $V_{2} (\hat{θ}) = o (M^{2} / n),$ notons qu’en vertu de (A4) et de l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

$V [\frac{{\hat{T}}_{c}}{p_{c}}] \leq \frac{1}{ε^{2}} \sum_{c =1}^{C} \sum_{d =1}^{C} \sqrt{V [({\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) ({\hat{M}}_{c}^{R} - M_{c}^{R})] V [({\bar{y}}_{d}^{R} - {\bar{Y}}_{d}^{R}) ({\hat{M}}_{d}^{R} - M_{d}^{R})]} .$

L’hypothèse (A2) implique (Fuller 2009, théorème 1.3.2) que

$\sqrt{n} [\begin{matrix} {\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R} \\ {\hat{M}}_{c}^{R} / M_{c}^{R} - 1 \end{matrix}] \to N (0, Σ_{c})$

quand $n \to \infty,$ où $Σ_{c}$ est une matrice définie non négative. Conséquemment,

${(\frac{n}{M_{c}^{R}})}^{2} V [({\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) ({\hat{M}}_{c}^{R} - M_{c}^{R})] \to Σ_{c} [1,1] Σ_{c} [2,2] + 2 {(Σ_{c} [1,2])}^{2};$

l’application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz au terme de covariance implique que $V_{2} (\hat{θ}) = o (M^{2} / n) .$

Preuve du théorème 2. Nous montrons que

$\tilde{V} (θ) = \sum_{h =1}^{H} \frac{n_{h}}{n_{h} - 1} \sum_{i \in S_{h}} {({\tilde{b}}_{h i} - {\tilde{b}}_{h})}^{2}$

est convergent, où

${\tilde{b}}_{h i} = \sum_{k \in S_{h i}} w_{h i k} {\sum_{c =1}^{C} \frac{1}{p_{c}} r_{h i k} δ_{c h i k} (y_{h i k} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) - y_{h i k}} = \sum_{k \in S_{h i}} w_{h i k} {\tilde{e}}_{r h i k}$

et ${\tilde{b}}_{h} = \sum_{i \in S_{h}} {\tilde{b}}_{h i} / n_{h} .$ Les arguments donnés dans Yung et Rao (2000) impliquent alors que $(n / M^{2}) [\tilde{V} (θ) - \hat{V} (θ)]$ converge vers zéro en probabilité.

Notons que

$E [{\tilde{b}}_{h i} | Z] = \sum_{k \in S_{h i}} w_{h i k} e_{R h i k},$

$\begin{array}{l} E [{\tilde{b}}_{h i}^{2} | Z] & = E [{(\sum_{k \in S_{h i}} w_{h i k} {\sum_{c =1}^{C} \frac{1}{p_{c}} [R_{h i k} + r_{h i k} - R_{h i k}] δ_{c h i k} (y_{h i k} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) - y_{h i k}})}^{2} | Z] \\ = {(\sum_{k \in S_{h i}} w_{h i k} e_{R h i k})}^{2} + V (\sum_{k \in S_{h i}} w_{h i k} {\tilde{e}}_{r h i k} | Z), \end{array}$

$\begin{array}{l} E [{\tilde{b}}_{h}^{2} | Z] & = \frac{1}{n_{h}^{2}} E [\sum_{i \in S_{h}} b_{h i}^{2} + \sum_{i \in S_{h}} \sum_{j \neq i} b_{h i} b_{h j} | Z] \\ = \frac{1}{n_{h}^{2}} \sum_{i \in S_{h}} V (\sum_{k \in S_{h i}} w_{h i k} {\tilde{e}}_{r h i k} | Z) + {(\frac{1}{n_{h}} \sum_{i \in S_{h}} \sum_{k \in S_{h i}} w_{h i k} e_{R h i k})}^{2} . \end{array}$

Cela implique que

$\begin{array}{l} E [\sum_{i \in S_{h}} {[{\tilde{b}}_{h i} - {\tilde{b}}_{h}]}^{2}] & = E [\sum_{i \in S_{h}} {(\sum_{k \in S_{h i}} w_{h i k} e_{R h i k})}^{2} - \frac{1}{n_{h}} {(\sum_{i \in S_{h}} \sum_{k \in S_{h i}} w_{h i k} e_{R h i k})}^{2}] \\ + (1 - \frac{1}{n_{h}}) E [\sum_{i \in S_{h}} V (\sum_{k \in S_{h i}} w_{h i k} {\tilde{e}}_{r h i k} - y_{h i k} | Z)], \end{array}$

de sorte que ${\hat{V}}_{L} (\hat{θ})$ est un estimateur approximativement sans biais de $V_{1} (\hat{θ}) .$ La convergence découle de (A2), qui implique la normalité asymptotique, et de la loi des grands nombres.

Preuve du théorème 3. Pour $c \neq d,$

$Cov [({\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) ({\hat{M}}_{c}^{R} - M_{c}^{R}), ({\bar{y}}_{d}^{R} - {\bar{Y}}_{d}^{R}) ({\hat{M}}_{d}^{R} - M_{d}^{R})] = o (M^{2} / n^{2})$

parce que $E [({\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) ({\bar{y}}_{d}^{R} - {\bar{Y}}_{d}^{R})] = o (n^{- 1})$ pour l’échantillonnage aléatoire simple (équation (4.26) de Lohr 2010). Par conséquent,

$\begin{array}{l} V (\sum_{c =1}^{C} \frac{{\hat{T}}_{c}}{p_{c}}) & = \sum_{c =1}^{C} \sum_{d =1}^{C} \frac{1}{p_{c}} \frac{1}{p_{d}} Cov [({\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) ({\hat{M}}_{c}^{R} - M_{c}^{R}), ({\bar{y}}_{d}^{R} - {\bar{Y}}_{d}^{R}) ({\hat{M}}_{d}^{R} - M_{d}^{R})] \\ = \sum_{c =1}^{C} \frac{1}{p_{c}^{2}} V [{\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}] V [{\hat{M}}_{c}^{R} - M_{c}^{R}] + o (M^{2} / n^{2}) . \end{array}$

Le deuxième terme de $V_{2} (\hat{θ})$ est:

$\begin{array}{l} 2 Cov [\sum_{c =1}^{C} \frac{{\hat{T}}_{c}}{p_{c}}, \sum_{c =1}^{C} \frac{({\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) {\hat{M}}_{c}^{R}}{p_{c}} - {\hat{Y}}_{S S}] \\ =2 \sum_{c =1}^{C} \sum_{d =1}^{C} \frac{1}{p_{c} p_{d}} Cov [{\hat{T}}_{c}, ({\bar{y}}_{d}^{R} - {\bar{Y}}_{d}^{R}) {\hat{M}}_{d}^{R} - p_{d} {\hat{M}}_{d}^{R} {\bar{y}}_{d}^{R} - p_{d} {\hat{Y}}_{d}^{N R}] \\ =2 \sum_{c =1}^{C} \frac{1}{p_{c}^{2}} Cov [- ({\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}) ({\hat{M}}_{c}^{R} - M_{c}^{R}), (1 - p_{c}) {\bar{y}}_{c}^{R} {\hat{M}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R} {\hat{M}}_{c}^{R} - p_{c} {\hat{Y}}_{c}^{N R}] + o (\frac{M^{2}}{n^{2}}) \\ =2 \sum_{c =1}^{C} \frac{p_{c} - 1}{p_{c}^{2}} V [{\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}] V [{\hat{M}}_{c}^{R} - M_{c}^{R}] + o (\frac{M^{2}}{n^{2}}) . \end{array}$

En combinant les termes, nous obtenons

$V_{2} (\hat{θ}) = \sum_{c} \frac{2 p_{c} - 1}{p_{c}^{2}} V [{\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}] V [{\hat{M}}_{c}^{R} - M_{c}^{R}] + o (\frac{M^{2}}{n^{2}}) .$

Nous pouvons estimer $p_{c}$ par le taux de réponse empirique dans la poststrate $c,$ $V [{\bar{y}}_{c}^{R} - {\bar{Y}}_{c}^{R}]$ par $s_{c}^{2} / n_{c}^{R},$ et, sous échantillonnage aléatoire simple, $V [{\hat{M}}_{c}^{R} - M_{c}^{R}] = M_{c} p_{c} (M - M_{c} p_{c}) / n .$ Le terme $V_{2} (\hat{θ})$ peut être négatif quand $p_{c} < 1 / 2$ pour certaines poststrates; toutefois, quand $p_{c} < 1 / 2$ et $V [{\bar{y}}_{c}^{R}] >0,$ alors le terme d’ordre un de la variance, $V_{1} (\hat{θ}),$ est positif et le terme d’ordre deux est d’ordre inférieur.

Preuve du théorème 4. La condition (A4) assure que, asymptotiquement, une séparation complète n’aura pas lieu et que $R_{h i k}^{M}$ est strictement non nul.

La dérivée de $\hat{A}$ par rapport aux paramètres est

$\begin{array}{l} \hat{D} (r, β, θ) & = \frac{\partial \hat{A}}{\partial {(β, θ)}^{'}} \\ = [\begin{matrix} - \sum_{h i k \in S} w_{h i k} {[1 + \exp (- x_{h i k}^{^{'}} β)]}^{- 2} \exp (- x_{h i k}^{^{'}} β) x_{h i k} x_{h i k}^{^{'}} & 0 \\ - \sum_{h i k \in S} w_{h i k} r_{h i k} y_{h i k} \exp (- x_{h i k}^{^{'}} β) x_{h i k}^{^{'}} & - 1 \end{matrix}] . \end{array}$

En utilisant le conditionnement successif et l’indépendance de $r$ et $Z,$ la valeur espérée de $\hat{D} (r, β, θ)$ est

$\begin{array}{l} D (R, β, θ) & = [\begin{matrix} - \sum_{h i k \in U} {[1 + \exp (- x_{h i k}^{^{'}} β)]}^{- 2} \exp (- x_{h i k}^{^{'}} β) x_{h i k} x_{h i k}^{^{'}} & 0 \\ - \sum_{h i k \in U} R_{h i k} y_{h i k} \exp (- x_{h i k}^{^{'}} β) x_{h i k}^{^{'}} & - 1 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} - X^{'} {[I + Q]}^{- 2} Q X & 0 \\ - T^{'} Q X & - 1 \end{matrix}] . \end{array}$

Aussi, $Cov [vec \hat{D} (r, β, θ)] = O (M^{2} / n)$ parce que

$\begin{array}{l} V [\sum_{h i k \in S} w_{h i k} r_{h i k} y_{h i k} \exp (- x_{h i k}^{^{'}} β) x_{h i k}^{^{'}}] & = V [\sum_{h i k \in S} w_{h i k} R_{h i k} y_{h i k} \exp (- x_{h i k}^{^{'}} β) x_{h i k}^{^{'}}] \\ + E {V [\sum_{h i k \in S} w_{h i k} r_{h i k} y_{h i k} \exp (- x_{h i k}^{^{'}} β) x_{h i k}^{^{'}} | Z]} . \end{array}$

Le premier terme est $O (M^{2} / n)$ en vertu des arguments classiques et le deuxième terme est $O (M^{2} / n)$ en vertu du lemme 1, en notant que le bornage de $R_{h i k}$ et $x_{h i k}$ borne également $\exp (- x_{h i k}^{^{'}} β) .$ Par conséquent,

$V [\begin{matrix} \hat{β} - β \\ \hat{θ} - θ \end{matrix}] = D {(R, β, θ)}^{- 1} V [\sum_{h i k \in S} w_{h i k} u (y_{h i k}, x_{h i k}, r_{h i k}, β)] D {(R, β, θ)}^{- T} + o (M^{2} / n) .$

Le résultat en (3.3) s’ensuit parce que

${[D (R, β, θ)]}^{- 1} = [\begin{matrix} - C & 0 \\ T^{'} Q X C & - 1 \end{matrix}] .$

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ISSN : 1712-5685

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Note de reconnaissance

Le succès du système statistique du Canada repose sur un partenariat bien établi entre Statistique Canada et la population, les entreprises, les administrations canadiennes et les autres organismes. Sans cette collaboration et cette bonne volonté, il serait impossible de produire des statistiques précises et actuelles.

Normes de service à la clientèle

Statistique Canada s'engage à fournir à ses clients des services rapides, fiables et courtois. À cet égard, notre organisme s'est doté de normes de service à la clientèle qui doivent être observées par les employés lorsqu'ils offrent des services à la clientèle.

Droit d'auteur

Publication autorisée par le ministre responsable de Statistique Canada.

L'utilisation de la présente publication est assujettie aux modalités de l'Entente de licence ouverte de Statistique Canada.

N° 12-001-X au catalogue

Périodicité : Semi-annuel

Ottawa

Date de modification :: 2016-12-20

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Tests pour évaluer le biais de non-réponse dans les enquêtes Section 5. DiscussionTests pour évaluer le biais de non-réponse dans les enquêtes Section 5. Discussion

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