4 Validité

Jae Kwang Kim et Changbao Wu

À la présente section, nous présentons une discussion générale de la validité de l'estimateur de la variance par rééchantillonnage. Soit $θ = f (t_{y})$ un paramètre de population finie, qui est une fonction lisse du total de population $t_{y} = \sum_{i = 1}^{N} y_{i} .$ Nous supposons que $\hat{θ} = f ({\hat{t}}_{y})$ est utilisé pour estimer $θ,$ où ${\hat{t}}_{y}$ est l'estimateur de Horvitz-Thompson de $t_{y}$ défini en (2.1). L'estimateur de la variance par rééchantillonnage de $\hat{θ}$ est formé par

$v_{R} (\hat{θ}) = \sum_{k = 1}^{L} c_{k} {({\hat{θ}}^{(k)} - \hat{θ})}^{2},$ (4.1)

où ${\hat{θ}}^{(k)} = f ({\hat{t}}_{y}^{(k)})$ et ${\hat{t}}_{y}^{(k)}$ est la $k^{e}$ réplique de ${\hat{t}}_{y} .$

Pour explorer les propriétés asymptotiques de l'estimateur de la variance par rééchantillonnage (4.1), nous émettons l'hypothèse d'une série de populations finies et d'échantillons, telle que décrite dans Isaki et Fuller (1982). Les populations finies et les plans d'échantillonnage satisfont les conditions de régularité qui suivent.

C1. Pour toute caractéristique de la population $u_{i}$ avec moment d'ordre deux borné,

$\sum_{i \in S} w_{i} u_{i} {u^{'}}_{i} - \sum_{i = 1}^{N} u_{i} {u^{'}}_{i} = O_{p} (n^{- 1 / 2} N) .$

C2. Les poids de sondage sont uniformément bornés. Autrement dit, $K_{1} < N^{- 1} n w_{i} < K_{2}$ pour tout $i$ et tout $n,$ où $K_{1}$ et $K_{2}$ sont des constantes fixes.

C3. $n V (N^{- 1} {\hat{t}}_{y})$ est borné.

C4. Pour tout $y$ avec moment d'ordre quatre borné, l'estimateur de la variance par rééchantillonnage $v_{R} ({\hat{t}}_{y}) = \sum_{k = 1}^{L} c_{k} {({\hat{t}}_{y}^{(k)} - {\hat{t}}_{y})}^{2}$ satisfait

$E [{c_{k} {({\hat{t}}_{y}^{(k)} - {\hat{t}}_{y})}^{2}}^{2}] < K L^{- 2} {V ({\hat{t}}_{y})}^{2}$ (4.2)

pour un certain $K,$ uniformément en $k = 1, \dots, L,$

$\max_{k} c_{k}^{- 1} = O (L),$ (4.3)

$E [{\frac{v_{R} ({\hat{t}}_{y})}{V ({\hat{t}}_{y})} - 1}^{2}] = o (1) . (4.4)$

La condition (4.2) fait en sorte qu'aucune réplique particulière ne domine les autres. La condition (4.3) contrôle l'ordre des facteurs $c_{k} .$ La condition (4.4) implique que $v_{R} ({\hat{t}}_{y})$ est un estimateur convergent de $V ({\hat{t}}_{y}) .$ Les conditions (4.2) à (4.4) ont également été utilisées dans Kim, Navarro et Fuller (2006).

En utilisant les conditions de régularité susmentionnées, le théorème suivant prouve la convergence de l'estimateur de la variance par rééchantillonnage de la forme (4.1).

Théorème 2. Soit $θ = f (t_{y})$ le paramètre d'intérêt et $\hat{θ} = f ({\hat{t}}_{y}),$ où $f (\cdot)$ est une fonction lisse avec une dérivée continue à $t_{y} .$ Sous les conditions de régularité susmentionnées, l'estimateur de la variance $v_{R} (\hat{θ})$ dans (4.1) satisfait

$\frac{v_{R} (\hat{θ})}{V (\hat{θ})} = 1 + o_{p} (1) . (4.5)$

Preuve. Voir l'annexe A.

Nous prouvons maintenant la validité de l'estimateur amélioré de la variance $v_{C} ({\hat{t}}_{y})$ proposé à la section 3.2. Pour simplifier, nous supposons que $v_{1} ({\hat{t}}_{y})$ est un estimateur entièrement efficace de la variance $V ({\hat{t}}_{y})$ pour ${\hat{t}}_{y} = \sum_{i \in S} w_{i} y_{i} .$ Nous supposons aussi que $v_{0} ({\hat{t}}_{y}),$ défini en (3.4), satisfait

$E^{*} {v_{0} ({\hat{t}}_{y})} = v_{1} ({\hat{t}}_{y}),$ (4.6)

où $E^{*} (\cdot)$ désigne l'espérance sous la sélection aléatoire des $L_{0}$ répliques pour les $L$ jeux de poids de rééchantillonnage entièrement efficaces, comme il est discuté à la section 3.1. Si $v_{1} ({\hat{t}}_{y})$ est asymptotiquement sans biais, alors $v_{0} ({\hat{t}}_{y})$ est également asymptotiquement sans biais en vertu de (4.6). Pour le jackknife avec suppression d'un groupe, la condition (4.6) peut être interprétée comme $E {v_{0} ({\hat{t}}_{y})} = E {v_{1} ({\hat{t}}_{y})}$ et $V {v_{0} ({\hat{t}}_{y})} \geq V {v_{1} ({\hat{t}}_{y})} .$

Théorème 3. Supposons que l'estimateur de la variance initial $v_{0} ({\hat{t}}_{y})$ défini en (3.4) satisfait (4.6). Supposons que l'estimateur amélioré de la variance $v_{C} ({\hat{t}}_{y}) = \sum_{k = 1}^{L_{0}} c_{k 0} {({\hat{t}}_{y c}^{(k)} - {\hat{t}}_{y})}^{2}$ est calculé en utilisant les poids de rééchantillonnage calés comme il est décrit à la section 3.2, avec le choix de $τ_{i}$ satisfaisant $Cov ({\hat{t}}_{e}, {\hat{t}}_{z}) ≐ 0 .$ En ignorant les termes d'ordre faible, nous avons

$E {v_{C} ({\hat{t}}_{y})} = E {v_{1} ({\hat{t}}_{y})}$ (4.7)

$V {v_{1} ({\hat{t}}_{y})} \leq V {v_{C} ({\hat{t}}_{y})} \leq V {v_{0} ({\hat{t}}_{y})} .$ (4.8)

Preuve. Voir l'annexe B.

Pour un paramètre général $θ = f (t_{y}),$ nous posons que ${\hat{θ}}_{c}^{(k)} = f ({\hat{t}}_{y c}^{(k)})$ et calculons $v_{C} (\hat{θ}) = \sum_{k = 1}^{L_{0}} c_{k 0} {({\hat{θ}}_{c}^{(k)} - \hat{θ})}^{2} .$ La validité de $v_{C} (\hat{θ})$ peut être établie en combinant les résultats des théorèmes 2 et 3.

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Date de modification :: 2017-09-20

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