7 Certaines conclusions

Jae Kwang Kim et Changbao Wu

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Les méthodes de rééchantillonnage offrent une alternative asymptotiquement équivalente aux méthodes de linéarisation, mais sont plus commodes et plus souples sur le plan opérationnel. Nous nous sommes concentrés sur des paramètres de population qui sont des fonctions lisses des moyennes ou des totaux. Nos résultats théoriques et nos études par simulation limitées montrent que les stratégies proposées pour construire des poids de rééchantillonnage parcimonieux et efficaces donnent de bons résultats pour l'estimation de la variance et les intervalles de confiance. Néanmoins, un certain nombre de problèmes doivent être étudiés plus en profondeur. Premièrement, pour des paramètres complexes tels que les coefficients de corrélation de population, les estimateurs de la variance par rééchantillonnage parcimonieux ne sont pas très stables. Deuxièmement, d'autres preuves de l'efficacité des stratégies proposées pour les grandes enquêtes complexes conjuguées à l'utilisation de poids bootstrap ou jackknife généraux sont nécessaires. Troisièmement, il n'est pas certain que les poids de rééchantillonnage parcimonieux seront efficaces pour des paramètres qui sont des fonctions non lisses des moyennes ou des totaux, tels que les quantiles de population, pour lesquels on sait que les intervalles de confiance de la théorie normale sont inefficaces (Sitter et Wu 2001).

Une autre question importante est celle de l'application éventuelle des méthodes proposées à des paramètres et à des estimateurs définis au moyen d'équations d'estimation. Soit $\theta$ défini comme étant la solution de

$U_N(\theta )={\displaystyle \sum _{i=1}^N{u}_i(y_i,x_i;\theta )}=0.$(7.1)

Soit $\widehat{\theta }$ obtenu en résolvant une version fondée sur l'échantillon de (7.1) donnée par

$U_n(\theta )={\displaystyle \sum _{i\in S}{w}_i{u}_i(y_i,x_i;\theta )}=0.$(7.2)

Les analyses par la régression ou par la régression logistique en utilisant des données d'enquête complexes peuvent être considérées comme des cas particuliers de forme générale donnés par (7.1) et (7.2). La variance de type sandwich habituelle de $\widehat{\theta }$ est donnée par

$$V(\widehat{\theta })\doteq {\left\{\frac{\partial U_N(\theta )}{\partial \theta }\right\}}^{-1}V\{U_n(\theta )\}{\left\{\frac{\partial U_N(\theta )}{\partial \theta }\right\}}^{-1}\text{ (7.3)}$$

Nous pouvons maintenant obtenir un estimateur de la variance $v(\widehat{\theta })$ si nous remplaçons $\partial U_N(\theta )/\partial \theta$ par $\partial U_n(\theta )/\partial \theta$ à $\theta =\widehat{\theta }$ et estimons $V\{U_n(\theta )\}$ en appliquant la méthode d'estimation de la variance par rééchantillonnage à ${\widehat{U}}_n={\displaystyle {\sum }_{i\in S}{w}_i{u}_i}$ avec $u_i=u_i(y_i,x_i;\widehat{\theta }).$ Pour des discussions détaillées des équations d'estimation et de l'échantillonnage, consulter entre autres, Binder (1983), Skinner (1989), et Godambe et Thompson (2009).

Arriver à une estimation efficace de la variance en utilisant un nombre limité de jeux de poids de rééchantillonnage est un problème de recherche important du point de vue tant théorique que pratique. Les poids de rééchantillonnage entièrement efficaces conçus en suivant la procédure décrite à la section 2 peuvent être traités comme des jeux de poids initiaux si la taille de l'échantillon $n$ est grande. En principe, les stratégies que nous proposons à la section 3 pour produire des poids de rééchantillonnage parcimonieux et efficaces peuvent être combinées avec d'autres jeux de poids de rééchantillonnage initiaux, y compris les poids bootstrap (Shao 1996) ou les poids jackknife avec suppression d'un groupe (Kott 2001). On devrait également inclure autant de variables pertinentes que possible dans l'étape de calage, afin que les poids de rééchantillonnage calés finaux ne soient pas seulement parcimonieux, mais également efficaces pour l'obtention d'estimateurs de la variance pour une grande classe d'estimateurs. Des extensions de la méthode proposée afin de traiter les poids calés ou les corrections de la non-réponse sont en cours d'étude.

Remerciements

Nous remercions deux examinateurs anonymes et le rédacteur associé de leurs commentaires très utiles. Les présents travaux ont pour origine les discussions initiales entre le premier auteur J.K. Kim et le professeur Randy Sitter de la Simon Fraser University qui a disparu en mer tragiquement durant une expédition en kayak en 2007. Les auteurs souhaitent dédier le présent article à la mémoire du professeur Sitter qui était également le superviseur de la thèse de doctorat du deuxième auteur C. Wu. Les travaux de recherche de J.K. Kim ont été financés en partie par une entente de coopération entre le Natural Resources Conservation Service du US Department of Agriculture et la Iowa State University. Les travaux de recherche de C. Wu ont été financés par des subventions du Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada et du réseau des mathématiques et des technologies de l'information et des systèmes complexes (MITACS).

Annexe

A  Preuve du théorème 2

En vertu de l'hypothèse (4.2), nous avons

$\underset{1\le k\le L}{\max }{c}_k{({\widehat{t}}_y^{(k)}-{\widehat{t}}_y)}^2=O_p(L^{-1}{n}^{-1}{N}^2),$

qui, combiné à (4.3), implique que

$\underset{1\le k\le L}{\max }({\widehat{\mu }}_y^{(k)}-{\widehat{\mu }}_y)=o_p(1),$(A.1)

où ${\widehat{\mu }}_y^{(k)}=N^{-1}{\widehat{t}}_y^{(k)}$ et ${\widehat{\mu }}_y=N^{-1}{\widehat{t}}_y.$ Soit $g({\mu }_y)=f(N{\mu }_y).$ Nous pouvons écrire

${\widehat{\theta }}^{(k)}-\widehat{\theta }=g({\widehat{\mu }}_y^{(k)})-g({\widehat{\mu }}_y)=\dot{g}({\widehat{\mu }}_y)({\widehat{\mu }}_y^{(k)}-{\widehat{\mu }}_y)+Q_{nk}({\widehat{\mu }}_y^{(k)}-{\widehat{\mu }}_y),$

où $\dot{g}(\mu )=\partial g(\mu )/\partial \mu ,Q_{nk}=\dot{g}({\mu }_k^{*})-\dot{g}({\widehat{\mu }}_y)$ et ${\mu }_k^{*}$ est un point intérieur sur le segment de droite compris entre ${\widehat{\mu }}^{(k)}$ et $\widehat{\mu }.$ En vertu de (A.1), nous avons

$\underset{1\le k\le L}{\max }({\mu }_k^{*}-{\widehat{\mu }}_y)=o_p(1).$(A.2)

Définissons

$D_{\delta }=\{\mu |\underset{k}{\max }\Vert {\mu }_k^{*}-\mu \Vert <\delta \text{et}\underset{k}{\max }\Vert \dot{g}({\mu }_k^{*})-\dot{g}(\mu )\Vert >ϵ\}.$

Par construction, nous avons, pour tout $ϵ>0$ et $\delta >0,$

$P\left\{\underset{k}{\max }\Vert \dot{g}({\mu }_k^{*})-\dot{g}({\widehat{\mu }}_y)\Vert >ϵ\right\}\le P({\widehat{\mu }}_y\in D_{\delta })+P\left(\underset{k}{\max }\Vert {\mu }_k^{*}-{\widehat{\mu }}_y\Vert \ge \delta \right).$

En vertu de la continuité de $\dot{g}(\mu )$ à $\mu ={\mu }_y$ et du fait que ${\widehat{\mu }}_y={\mu }_y+o_p(1),$ nous avons que, pour tout $ϵ>0,$ il existe un $\delta =\delta (ϵ)>0$  tel que $P({\widehat{\mu }}_y\in D_{\delta })=o(1).$ Cela, conjugué à (A.2), implique que

$\underset{k}{\max }\Vert \dot{g}({\mu }_k^{*})-\dot{g}({\widehat{\mu }}_y)\Vert =o_p(1).$(A.3)

Maintenant, nous avons

${\displaystyle \sum _{k=1}^L{c}_k}{({\widehat{\theta }}^{(k)}-\widehat{\theta })}^2=A_n+B_n+2C_n\text{},$(A.4)

où

$$\begin{array}{c}{A}_n={\displaystyle {\sum }_{k=1}^L{c}_k\{\dot{g}({\widehat{\mu }}_y)({\widehat{\mu }}_y^{(k)}-{\widehat{\mu }}_y)}{\}}^2,\\ B_n={\displaystyle {\sum }_{k=1}^L{c}_k\{Q_{nk}}({\widehat{\mu }}_y^{(k)}-{\widehat{\mu }}_y){\}}^2\text{ et}\\ C_n={\displaystyle {\sum }_{k=1}^L{c}_k\dot{g}({\widehat{\mu }}_y){({\widehat{\mu }}_y^{(k)}-{\widehat{\mu }}_y)}^2}{Q}_{nk}.\end{array}$$

Notons que (4.4) implique que

${\displaystyle \sum _{k=1}^L{c}_k}{({\widehat{\mu }}_y^{(k)}-{\widehat{\mu }}_y)}^2/V({\widehat{\mu }}_y)=1+o_p(1).$(A.5)

En vertu des arguments de linéarisation classique, nous avons $A_n/V(\widehat{\theta })\to 1$ en probabilité. En outre, en vertu de (A.3) et (A.5), nous avons $B_n/V(\widehat{\theta })=o_p(1)$ et $C_n/V(\widehat{\theta })=o_p(1).$ Cela établit (4.5).

B  Preuve du théorème 3

En combinant (3.10) et (3.11) et en ignorant les termes d'ordre plus faible, nous avons

$v_0({\widehat{t}}_y)-v_C({\widehat{t}}_y)\doteq {\widehat{\beta }}^{\prime }{v}_0({\widehat{t}}_z)\widehat{\beta }-\widehat{{\beta }^{\prime }}{v}_1({\widehat{t}}_z)\widehat{\beta }\doteq {\beta }^{\prime }{v}_0({\widehat{t}}_z)\beta -{\beta }^{\prime }{v}_1({\widehat{t}}_z)\beta .$

où $\beta$ est la limite de probabilité de $\widehat{\beta }.$ En vertu de (4.6), nous avons

$E^{*}\{v_0({\widehat{t}}_z)\}=v_1({\widehat{t}}_z),$(B.1)

où $E^{*}(\cdot )$ désigne l'espérance sous la sélection aléatoire de $L_0$ jeux de poids conditionnellement aux $L$ jeux de poids. De même, en vertu de (3.11), nous avons

$v_1({\widehat{t}}_y)-v_C({\widehat{t}}_y)\doteq v_1({\widehat{t}}_e)-v_0({\widehat{t}}_e).$

En vertu de (4.6) de nouveau, nous avons

$E^{*}\{v_0({\widehat{t}}_e)\}=v_1({\widehat{t}}_e).$(B.2)

Soit ${\widehat{d}}_1=v_C({\widehat{t}}_y)-v_1({\widehat{t}}_y),$ nous avons $E({\widehat{d}}_1)=0$ en vertu de (B.2), ce qui prouve (4.7). En outre, de nouveau en vertu de (B.2), nous avons $\text{Cov}\{{\widehat{d}}_1,v_1({\widehat{t}}_y)\}=0.$ Donc, nous avons

$V\{v_C({\widehat{t}}_y)\}=V\{v_1({\widehat{t}}_y)\}+V({\widehat{d}}_1)\ge V\{v_1({\widehat{t}}_y)\}.$(B.3)

De la même façon, nous pouvons également prouver que $V\{v_0({\widehat{t}}_y)\}\ge V\{v_C({\widehat{t}}_y)\}.$

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