2. Notation

Benmei Liu, Partha Lahiri et Graham Kalton

Soit $N_{i h}$ la taille de la population dans la strate $h$ dans le domaine $i$ d'une population finie $(i = 1, ..., m; h = 1, ..., H_{i}) .$ Soit $y_{i h k}$ la réponse binaire pour la caractéristique d'intérêt pour l'unité $k$ dans la strate $h$ dans le domaine $i$ $(k = 1, ..., N_{i h})$ . Les paramètres à estimer sont les proportions dans les petits domaines $P_{i} = \sum_{h} \sum_{k} y_{i h k} / N_{i h}$ .

Sous le plan de sondage aléatoire simple stratifié choisi pour l'étude, $n_{i h}$ unités sont sélectionnées parmi les $N_{i h}$ unités dans la strate $(i h)$ . L'estimateur direct classique pour $P_{i}$ est :

$p_{i w} = \frac{\sum_{h}^{H_{i}} \sum_{k}^{n_{i h}} w_{i h} y_{i h k}}{\sum_{h}^{H_{i}} \sum_{k}^{n_{i h}} w_{i h}}, i = 1, ..., m, (2.1)$

où $w_{i h}$ désigne le poids de sondage donné par $w_{i h} = N_{i h} / n_{i h} .$

La variance de $p_{i w}$ peut s'exprimer sous la forme

$V A R_{s t} (p_{i w}) = \frac{P_{i} (1 - P_{i})}{n_{i}} D E F F_{i}, (2.2)$

où $D E F F_{i}$ est l'effet de plan qui traduit l'effet du plan de sondage complexe (Kish 1965). Pour un échantillon aléatoire simple stratifié avec fractions d'échantillonnage négligeables dans toutes les strates, l'effet de plan est donné approximativement par :

$D E F F_{i} = \frac{\sum_{h} W_{i h}^{2} P_{i h} (1 - P_{i h}) / n_{i h}}{P_{i} (1 - P_{i}) / n_{i}}, (2 .3)$

où $W_{i h} = N_{i h} / N_{i}$ , $N_{i} = \sum_{h} N_{i h}$ , $n_{i} = \sum_{h} n_{i h}$ , et $P_{i h}$ est la proportion dans la population de la strate $h$ dans le domaine $i$ .

L'effet de plan $D E F F_{i}$ est une fonction des $P_{i h}$ , qui sont inconnus. Si $P_{i h} (1 - P_{i h}) \approx P_{i} (1 - P_{i})$ , une approximation de $D E F F_{i}$ peut être donnée par $d e f f_{i w} = n_{i} \sum_{h} W_{i h}^{2} / n_{i h}$ . La valeur de $d e f f_{i w}$ se calcule facilement, puisqu'elle ne dépend d'aucun des paramètres inconnus.

Les méthodes d'estimation sur petits domaines peuvent être utilisées pour résoudre le problème dû au fait que $p_{i w}$ est très imprécis quand la taille de l'échantillon $n_{i}$ est petite. La section 3 donne la description des modèles HB au niveau du domaine sur lesquels porte la présente étude.

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Date de modification :: 2017-09-20

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