6. Discussion

Benmei Liu, Partha Lahiri et Graham Kalton

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Le présent article décrit les résultats d'une étude par simulation réalisée à partir d'une population finie réelle pour évaluer les intervalles de crédibilité produits par quatre modèles hiérarchiques, en se basant sur leur longueur et sur leurs propriétés de couverture sous le plan de sondage. Autant que nous sachions, ce genre d'évaluation des intervalles de crédibilité (ou de confiance) fondée sur le plan de sondage n'a encore jamais été effectuée dans le contexte de l'estimation sur petits domaines.

Dans l'étude par simulation, nous avons comparé les propriétés de couverture sous le plan de sondage des intervalles de crédibilité résultant de divers modèles hiérarchiques bayésiens élaborés pour estimer les proportions dans de petits domaines sous un plan de sondage aléatoire simple stratifié. Globalement, aucun modèle ne l'emporte clairement sur les autres, si bien que nous ne pouvons pas en recommander un plutôt que les autres.

La version hiérarchique bayésienne du modèle bien connu de Fay-Herriot semble produire des intervalles de crédibilité exagérément prudents. La non-normalité du modèle d'échantillonnage ainsi que du modèle de lien pourrait être la source de ce problème. Pour le modèle hiérarchique bêta-logistique, les intervalles de crédibilité donnent presque la couverture nominale pour les proportions de population finie et, des quatre modèles étudiés, ce modèle est celui qui possède les meilleures propriétés de biais quand la taille d'échantillon est petite. Cependant, comme l'une des distributions conditionnelles complètes pour le modèle bêta-logistique fait intervenir les proportions pondérées par les poids de sondage, la méthode MCMC pose problème chaque fois qu'une de ces proportions est nulle. Les intervalles de crédibilité pour ce modèle sont également plus larges que ceux observés pour les deux autres modèles comportant un modèle de lien logistique. La largeur de l'intervalle de crédibilité sous le modèle bêta-logistique pourrait peut-être être réduite si le modèle est modifié, par exemple en utilisant un modèle de mélange de lois à effet aléatoire en deux parties approprié qui permettrait d'éviter le problème des proportions pondérées par les poids de sondage nulles. Une étude plus approfondie à ce sujet est nécessaire. Il pourrait aussi être utile d'envisager d'autres modèles, peut-être un modèle probabiliste discret pour le niveau 1, en vue d'améliorer l'estimation des intervalles des petites proportions pour les petits domaines.

L'étude par simulation a montré que la couverture des intervalles de crédibilité bayésiens des proportions dans la population finie s'écartait considérablement du niveau nominal de 95 % pour les quatre modèles, et une constatation semblable a été faite pour la couverture sous le plan de sondage du modèle de Fay-Herriot dont l'usage est très répandu. Compte tenu de ces résultats, nous avons effectué un certain nombre d'analyses supplémentaires en vue de trouver une explication. Ces analyses comprenaient l'ajout de variables prédictives aux modèles, l'utilisation d'une loi a priori uniforme pour ${\sigma }_{\nu }^2$ (fondée sur des arguments formulés par Gelman 2006), l'utilisation de l'approche de la meilleure prédiction empirique pour le modèle M1, l'accroissement de la taille d'échantillon dans les États ne comptant que quelques naissances en fixant le nombre minimum à 50, et l'application de ces méthodes pour estimer la proportion de naissances dont le poids à la naissance était inférieur à la médiane nationale dans chaque État. Même si les propriétés de couverture des intervalles des proportions dans la population finie au niveau de l'État présentaient certaines différences, aucune de ces analyses n'a produit des taux de couverture proches des taux nominaux. Le seul cas où ces derniers coïncidaient avec les taux de couverture réels était celui d'un jeu de données simulé construit sous le modèle M1 pour les proportions au niveau de l'État de naissances pour lesquelles le poids de naissance était inférieur à la médiane nationale; les taux de couverture moyens étaient de 5,1 % et de 5,2 % pour les approches du meilleur prédicteur empirique (MPE) et HB, respectivement.

L'étude par simulation a été limitée à un plan de sondage à un seul degré. En outre, pour simplifier, aucune variable auxiliaire n'a été incluse dans les modèles de lien dans les analyses principales, alors qu'en pratique, l'ajout de ce genre de variables est habituel et presque essentiel. D'autres études par simulation doivent être réalisées en vue d'examiner différents plans de sondage et différentes tailles d'échantillon, et d'intégrer certaines variables auxiliaires dans les modèles de lien. Nous espérons que notre étude encouragera d'autres chercheurs à exécuter des simulations fondées sur le plan de sondage similaires pour évaluer les méthodes d'estimation sur petits domaines. À la lumière de nos résultats limités, il convient de mettre en garde les utilisateurs d'estimations sur petits domaines quant à l'interprétation des intervalles de crédibilité des estimations.

Remerciements

Les auteurs tiennent à remercier les rédacteurs associés ainsi que deux réviseurs pour leurs suggestions constructives ayant permis d'améliorer significativement l'article original. Les travaux de recherche du deuxième auteur ont été financés par la National Science Foundation SES-085100.

Annexe

Annexe A

A1. Distributions conditionnelles complètes pour les paramètres de chaque modèle

Soit $\overrightarrow{p}={(p_{1w},\mathrm{...},p_{mw})}^t$ et $r_i=\frac{{\psi }_i}{{\psi }_i+{\sigma }_v^2}$.

Les distributions conditionnelles complètes pour le modèle de Fay-Herriot (M1) sont les suivantes :

i) ${\theta }_i|\mu ,{\sigma }_v^2,\overrightarrow{p}~N((1-r_i)p_{iw}+r_i\mu ,{\psi }_i(1-r_i))$;

ii) $\mu |{\theta }_i,{\sigma }_v^2,p~N\left(\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{\theta }_i},\frac{{\sigma }_v^2}{m}\right)$;

iii) ${\sigma }_v^2|\mu ,{\theta }_i,\overrightarrow{p}~ING\left(a+\frac{1}{2}m,b+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^m({\theta }_i}-\mu {)}^2\right)$.

Les distributions conditionnelles complètes pour le modèle normal-logistique (M2) sont les suivantes :

i) ${\theta }_i|\mu ,{\sigma }_v^2,\overrightarrow{p}\propto \frac{1}{{\theta }_i(1-{\theta }_i){\sigma }_v\sqrt{{\psi }_i}}\exp \left(-\frac{{(p_{iw}-{\theta }_i)}^2}{2{\psi }_i}-\frac{{(\mathrm{logit}({\theta }_i)-\mu )}^2}{2{\sigma }_v^2}\right)$;

ii) $\mu |{\theta }_i,{\sigma }_v^2,p~N\left(\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{i=1}^m\mathrm{logit}({\theta }_i}),\frac{{\sigma }_v^2}{m}\right)$;

iii) ${\sigma }_v^2|\mu ,{\theta }_i,\overrightarrow{p}~ING\left(a+\frac{1}{2}m,b+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^m(\mathrm{logit}({\theta }_i})-\mu {)}^2\right)$.

Les distributions conditionnelles complètes pour le modèle normal-logistique avec variance inconnue (M3) sont les mêmes que pour le modèle M2 excepté que ${\psi }_i$ est remplacé par ${\theta }_i(1-{\theta }_i)def{f}_{iw}/n_i$ pour la distribution de ${\theta }_i$ sachant les autres paramètres.

Soit ${\delta }_{iw}=\frac{n_i}{def{f}_{iw}}-1.$ Les distributions conditionnelles complètes pour le modèle bêta-logistique (M4) sont les suivantes :

i) ${\theta }_i|\mu ,{\sigma }_v^2,\overrightarrow{p}\propto \frac{1}{{\theta }_i(1-{\theta }_i){\sigma }_v}\frac{p_{iw}^{{\theta }_i{\delta }_{iw}-1}{(1-p_{iw})}^{(1-{\theta }_i){\delta }_{iw}-1}}{\Gamma ({\theta }_i{\delta }_{iw})\Gamma ((1-{\theta }_i){\delta }_{iw})}\exp \left(-\frac{{(\mathrm{logit}({\theta }_i)-\mu )}^2}{2{\sigma }_v^2}\right);$

ii) $\mu |{\theta }_i,{\sigma }_v^2,p~N\left(\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{i=1}^m\mathrm{logit}({\theta }_i}),\frac{{\sigma }_v^2}{m}\right)$;

iii) ${\sigma }_v^2|\mu ,{\theta }_i,\overrightarrow{p}~ING\left(a+\frac{1}{2}m,b+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{i=1}^m(\mathrm{logit}({\theta }_i})-\mu {)}^2\right)$.

Annexe B

Code WinBUGS pour le modèle 1 :

Model {
      for ( i in 1 :N)  {
         pobs[i] ~ dnorm(theta[i], D[i])
         D[i] <- 1/varhat[i]
         theta[i]<-u+v[i]
         v[i]~dnorm(0, tau)
                          }
       u~dflat()
       tau~dgamma(0.001, 0.001)
       sigma_v2<-1/tau
          }

Code WinBUGS pour le modèle 2 :

Model {
      for ( i in 1 :N)  {
         pobs[i] ~ dnorm(theta[i], D[i])
         D[i] <- 1/varhat[i]
         logit(theta[i])<-u+v[i]
         v[i]~dnorm(0, tau)
                           }
       u~dflat()
       tau~dgamma(0.001, 0.001)
       sigma_v2<-1/tau
          }

Code WinBUGS pour le modèle 3 :

Model {
      for ( i in 1 :N)  {
         pobs[i] ~ dnorm(theta[i], E[i])
         E[i] <- SAMPn[i]/(theta[i]*(1-theta[i])*DEFF_kish[i])
         logit(theta[i])<-u+v[i]
         v[i]~dnorm(0, tau)
         D[i]<-1/E[i]
                          }
       u~dflat()
       tau~dgamma(0.001, 0.001)
       sigma_v2<-1/tau
          }

Code WinBUGS pour le modèle 4 :

Model {
      for ( i in 1 :N) {
         pobs[i] ~ dbeta(a[i], b[i])
         a[i] <- theta[i]*(theta[i]*(1-theta[i])/D[i]-1)
         b[i] <- (1-theta[i])*(theta[i]*(1-theta[i])/D[i]-1)
         logit(theta[i])<-u+v[i]
         v[i]~dnorm(0, tau)
         D[i]<-theta[i]*(1-theta[i])*DEFF_kish[i]/SAMPn[i]
                          }
       u~dflat()
       tau~dgamma(0.001, 0.001)
       sigma_v2<-1/tau
          }

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