6. Discussion

David G. Steel et Robert Graham Clark

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L’utilisation de coûts par unité inégaux peut améliorer l’efficacité des plans de sondage. Pour que les gains d’efficacité soit appréciables, les coûts par unité doivent varier considérablement. Même en l’absence d’erreur d’estimation, un coefficient de variation de 50 % peut n’entraîner qu’une amélioration de 6 % de la variance anticipée. Si ce coefficient de variation est de 75 %, comme cela peut se produire dans une enquête à mode de collecte mixte, la réduction de la variance anticipée (ou de la taille de l’échantillon pour une précision fixe) peut être supérieure à 12 %. Les coûts sont estimés avec une certaine erreur, ce qui réduit l’amélioration d’un facteur déterminé par la variation relative des erreurs relatives d’estimation des coûts au niveau individuel.

Annexe

A.1 Calculs détaillés

Lemme 1 : Soit $u_i$ défini pour $i\in U.$ Soit $u_i=\overline{u}+\theta e_i,$ où ${\displaystyle {\sum }_{i\in U}{e}_i}=0$ et $\theta$ est petit. Alors :

1. $\overline{\sqrt{u}}=\sqrt{\overline{u}}-\frac{1}{8}{\theta }^2{\overline{u}}^{-3/2}{S}_e^2+o\left({\theta }^2\right).$
2. $S_{\sqrt{u}}^2=\frac{1}{4}{\theta }^2{\overline{u}}^{-1}{S}_e^2+o\left({\theta }^2\right)=\frac{1}{4}{\overline{u}}^{-1}{S}_u^2+o\left({\theta }^2\right).$
3. $N^{-2}\left({\displaystyle {\sum }_{i\in U}{u}_i^{1/2}}\right)\left({\displaystyle {\sum }_{i\in U}{u}_i^{-1/2}}\right)=1+\frac{1}{4}{\theta }^2{\overline{u}}^{-2}{S}_e^2+o\left({\theta }^2\right)=1+\frac{1}{4}{C}_u^2+o\left({\theta }^2\right).$
4. $C_{\sqrt{u}}^2=\frac{1}{4}{\theta }^2{\overline{u}}^{-2}{S}_e^2+o\left({\theta }^2\right)=\frac{1}{4}{C}_u^2+o\left({\theta }^2\right).$

La notation $o\left(C_u^2\right)$ peut être utilisée à la place de $o\left({\theta }^2\right),$ puisque $C_u^2={\theta }^2{C}_e^2,$ ce qui est fait dans la suite de l’annexe.

Preuve :

Nous commençons par écrire $\overline{\sqrt{u}}$ comme une fonction de $\theta :$

$$\overline{\sqrt{u}}=N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}\sqrt{u_i}=N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}\sqrt{\overline{u}+\theta e_i}.$$

Si nous appelons cette fonction $g\left(\theta \right),$ la différenciation au point $\theta =0$ donne $g(0)=\sqrt{\overline{u}},$ $g^{\prime }(0)=0$ et

$$g″(0)=-\frac{1}{4}{N}^{-1}{\overline{u}}^{-3/2}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{e}_i^2=-\frac{1}{4}{\overline{u}}^{-3/2}{S}_e^2\mathrm{.}$$

D’où

$$\overline{\sqrt{u}}=g\left(\theta \right)=g(0)+g\prime (0)\theta +\frac{1}{2}g″(0){\theta }^2+o\left({\theta }^2\right)=\sqrt{\overline{u}}-\frac{1}{8}{\theta }^2{\overline{u}}^{-3/2}{S}_e^2+o\left({\theta }^2\right)$$

qui est le résultat a.

Le résultat b est prouvé en utilisant le résultat a :

$$\begin{array}{cc}{S}_{\sqrt{u}}^2& =N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{\left(\sqrt{u_i}\right)}^2-{\left(N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}\sqrt{u_i}\right)}^2\hfill \\ & =\overline{u}-{\left(\overline{\sqrt{u}}\right)}^2\hfill \\ & =\overline{u}-{\left(\sqrt{\overline{u}}-\frac{1}{8}{\theta }^2{\overline{u}}^{-3/2}{S}_e^2+o\left({\theta }^2\right)\right)}^2\hfill \\ & =\overline{u}-\left(\overline{u}+\frac{1}{64}{\theta }^4{\overline{u}}^{-3}{S}_e^4-\frac{1}{4}{\theta }^2{\overline{u}}^{-1}{S}_e^2+o\left({\theta }^2\right)\right)\hfill \\ & =\frac{1}{4}{\theta }^2{\overline{u}}^{-1}{S}_e^2+o\left({\theta }^2\right)\hfill \\ & =\frac{1}{4}{\overline{u}}^{-1}{S}_u^2+o\left({\theta }^2\right).\hfill \end{array}$$

Pour obtenir c, nous commençons par écrire $N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}{u}_i^{-1/2}}$ comme une fonction $g()$ de $\theta$ et effectuons un développement en série de Taylor :

$$\begin{array}{cc}{N}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{u}_i^{-1/2}& =N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{\left(\overline{u}+\theta e_i\right)}^{-1/2}\hfill \\ & =g\left(\theta \right)=g(0)+g\prime (0)\theta +\frac{1}{2}g″(0){\theta }^2+o\left({\theta }^2\right)(\text{A}.1)\hfill \\ & ={\overline{u}}^{-1/2}+0\theta +\frac{1}{2}\frac{3}{4}{\overline{u}}^{-5/2}{N}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{e}_i^2{\theta }^2+o\left({\theta }^2\right)\hfill \\ & ={\overline{u}}^{-1/2}+\frac{3}{8}{\overline{u}}^{-5/2}{S}_e^2{\theta }^2+o\left({\theta }^2\right)\hfill \end{array}$$

Notons que $N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}{u}_i^{1/2}}=\overline{\sqrt{u}}.$ La multiplication de l’expression pour $\overline{\sqrt{u}}$ dans le résultat a par (A.1) donne

$$\begin{array}{cc}{N}^{-2}\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{u}_i^{1/2}\right)\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{u}_i^{-1/2}\right)& =\left\{\sqrt{\overline{u}}-\frac{1}{8}{\theta }^2{\overline{u}}^{-3/2}{S}_e^2+o\left({\theta }^2\right)\right\}\left\{{\overline{u}}^{-1/2}+\frac{3}{8}{\overline{u}}^{-5/2}{S}_e^2{\theta }^2+o\left({\theta }^2\right)\right\}\hfill \\ & =1+\frac{1}{4}{\overline{u}}^{-2}{S}_e^2{\theta }^2+o\left({\theta }^2\right)\hfill \\ & =1+\frac{1}{4}{C}_u^2+o\left({\theta }^2\right)\hfill \end{array}$$

qui est le résultat c.

Pour le résultat d, commençons par noter que $\overline{\sqrt{u}}=\sqrt{\overline{u}}+o\left(\theta \right)$ d’après le résultat a, et donc, un développement en série de Taylor d’ordre 1 donne

$${\left(\overline{\sqrt{u}}\right)}^{-2}={\left(\sqrt{\overline{u}}\right)}^{-2}+o\left(\theta \right)={\overline{u}}^{-1}+o\left(\theta \right)\mathrm{.}$$

En combinant cela avec le résultat b, nous obtenons

$$\begin{array}{cc}{C}_{\sqrt{u}}^2& =S_{\sqrt{u}}^2{\left(\overline{\sqrt{u}}\right)}^{-2}\hfill \\ & =\left\{\frac{1}{4}{\theta }^2{\overline{u}}^{-1}{S}_e^2+o\left({\theta }^2\right)\right\}\left\{{\overline{u}}^{-1}+o\left(\theta \right)\right\}\hfill \\ & =\frac{1}{4}{\theta }^2{\overline{u}}^{-2}{S}_e^2+o\left({\theta }^2\right)\hfill \\ & =\frac{1}{4}{C}_u^2+o\left({\theta }^2\right)\hfill \end{array}$$

qui donne le résultat d.

Obtention de (3.3)

Pour le cas particulier où $u_i=v_i,$ (2.5) devient

$${\displaystyle \sum _{i\in U}}{u}_i^2=N{\overline{u}}^2\left(1+C_u^2\right)\mathrm{.}(\text{A}.2)$$

En appliquant (2.5), nous obtenons

$${\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i^{1/2}{z}_i^{1/2}=N\overline{\sqrt{c}}\overline{\sqrt{z}}\left(1+C_{\sqrt{c}\mathrm{,}\sqrt{z}}\right)(\text{A}.3)$$

où $\overline{\sqrt{c}}=N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}\sqrt{c_i}}$ et $\overline{\sqrt{z}}=N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}\sqrt{z_i}.$ En utilisant (A.2), nous pouvons exprimer $\overline{\sqrt{c}}$ en fonction de $\overline{c}:$

$$\overline{c}=N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i=N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{\left(\sqrt{c_i}\right)}^2={\left(\overline{\sqrt{c}}\right)}^2\left(1+C_{\sqrt{c}}^2\right)\mathrm{.}(\text{A}.4)$$

De même,

$$\overline{z}={\left(\overline{\sqrt{z}}\right)}^2\left(1+C_{\sqrt{z}}^2\right)\mathrm{.}(\text{A}.5)$$

En supposant que le dernier terme de (3.2) est négligeable, l’application de (A.3), (A.4) et (A.5) donne (3.3).

Obtention de (3.4)

Le lemme 1d implique que $C_{\sqrt{c}}^2=\left(1/4\right)C_c^2+o\left(C_c^2\right)\approx \left(1/4\right)C_c^2$ et $C_{\sqrt{z}}^2=\left(1/4\right)C_z^2+o\left(C_z^2\right)\approx \left(1/4\right)C_z^2.$ Le résultat (3.4) découle de (3.3) en utilisant ces approximations, et en supposant que $C_{\sqrt{c}\mathrm{,}\sqrt{z}}=0.$

Obtention de (3.7)

Premièrement, ${\displaystyle {\sum }_{i\in U}{c}_i{z}_i^{1/2}}=N\overline{c}\overline{\sqrt{z}}\left(1+C_{c\mathrm{,}\sqrt{z}}\right),$ d’après (2.5), où $C_{c\mathrm{,}\sqrt{z}}$ est la covariance relative dans la population entre les valeurs de $z_i^{1/2}$ et $c_i.$ Nous supposons que les valeurs de $c_i$ et $z_i$ ne sont pas liées, de sorte que $C_{c\mathrm{,}\sqrt{z}}=0.$ Nous supposons aussi que le deuxième terme de (3.6) est négligeable, ce qui correspond à une faible fraction d’échantillonnage. Donc, (3.6) devient :

$$A{V}_{nocosts}={\sigma }^2{N}^2{C}_f^{-1}\overline{c}{\left(\overline{\sqrt{z}}\right)}^2\mathrm{.}(\text{A}.6)$$

Partant de (A.5) et du lemme 1d, nous obtenons

$${\left(\overline{\sqrt{z}}\right)}^2=\frac{\overline{z}}{1+C_{\sqrt{z}}^2}\approx \frac{\overline{z}}{1+\left(1/4\right)C_z^2}.$$

La substitution dans (A.6) donne (3.7).

Obtention de (4.2)

Deux termes dans (4.1) se simplifient en utilisant (2.5). Premièrement,

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{\widehat{c}}_i^{1/2}{z}_i^{1/2}& ={\displaystyle \sum _{i\in U}}{b}_i^{1/2}{c}_i^{1/2}{z}_i^{1/2}\hfill \\ & =N\left(N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{b}_i^{1/2}\right)\left(N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i^{1/2}{z}_i^{1/2}\right)+C_{\sqrt{b}\mathrm{,}\sqrt{cz}}(\text{A}.7)\hfill \end{array}$$

où $C_{\sqrt{b}\mathrm{,}\sqrt{cz}}$ est la covariance entre les valeurs de population de $b_i^{1/2}$ et $c_i^{1/2}{z}_i^{1/2}.$ Deuxièmement,

$$\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{z}_i^{1/2}{\widehat{c}}_i^{-1/2}{c}_i& ={\displaystyle \sum _{i\in U}}{b}_i^{-1/2}{c}_i^{1/2}{z}_i^{1/2}\hfill \\ & =N\left(N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{b}_i^{-1/2}\right)\left(N^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i^{1/2}{z}_i^{1/2}\right)+C_{1/\sqrt{b}\mathrm{,}\sqrt{cz}}(\text{A}.8)\hfill \end{array}$$

où $C_{1/\sqrt{b}\mathrm{,}\sqrt{cz}}$ est la covariance entre les valeurs de population de $b_i^{-1/2}$ et $c_i^{1/2}{z}_i^{1/2}.$

Si nous supposons que les valeurs de population de $b_i$ ne sont pas reliées aux valeurs de $c_i$ et $z_i,$ de sorte que $C_{\sqrt{b}\mathrm{,}\sqrt{cz}}=C_{1/\sqrt{b}\mathrm{,}\sqrt{cz}}=0,$ et que nous introduisons (A.7) et (A.8) par substitution dans (4.1), alors nous obtenons (4.2).

Obtention de (4.3)

Nous pouvons exprimer (4.2) en fonction de $A{V}_{opt}$ qui est défini dans (3.2), en supposant que le dernier terme de (3.2) est négligeable, ce qui correspond à une faible fraction d’échantillonnage :

$$A{V}_{ests}\approx A{V}_{opt}{N}^{-2}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{b}_i^{-1/2}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{b}_i^{1/2}(\text{A}.9)$$

Le lemme 1c implique que

$$N^{-2}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{b}_i^{-1/2}{\displaystyle \sum }{b}_i^{1/2}=1+\frac{1}{4}{C}_b^2+o\left(C_b^2\right)\approx 1+\frac{1}{4}{C}_b^2\mathrm{.}$$

L’introduction de cette expression et de (3.3) par substitution dans (A.9) donne (4.3).

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