Combiner l’échantillonnage par dépistage de liens et l’échantillonnage en grappes pour estimer la taille d’une population cachée en présence de probabilités de lien hétérogènes 3. Estimateurs du maximum de vraisemblance de ${\tau }_1,{\tau }_2$  et $\tau$Combiner l’échantillonnage par dépistage de liens et l’échantillonnage en grappes pour estimer la taille d’une population cachée en présence de probabilités de lien hétérogènes 3. Estimateurs du maximum de vraisemblance de ${\tau }_1,{\tau }_2$  et $\tau$

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3.1 Modèles probabilistes

Pour construire les EMV des $\tau ,$ nous devons spécifier des modèles pour les variables observées. Donc, comme dans Félix-Medina et Thompson (2004), nous supposons que les nombres $M_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{M}_N$ de personnes qui appartiennent aux sites $A_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{A}_N$ sont des variables aléatoires de Poisson indépendantes de moyenne ${\lambda }_1.$ Par conséquent, la loi conditionnelle conjointe de $\left(M_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{M}_n\mathrm{,}{\tau }_1-M\right)$ sachant que ${\displaystyle {\sum }_1^N}{M}_i={\tau }_1$ est une loi multinomiale dont la fonction de masse de probabilité (fmp) est :

$$f\left(m_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{m}_n\mathrm{,}{\tau }_1-m\right)=\frac{{\tau }_1!}{{\displaystyle \prod _1^n}{m}_i!\left({\tau }_1-m\right)!}{\left(\frac{1}{N}\right)}^m{\left(1-\frac{n}{N}\right)}^{{\tau }_1-m}\mathrm{.}(3.1)$$

Pour modéliser les liens entre les membres de la population et les sites échantillonnés, nous définissons les variables aléatoires suivantes : $X_{ij}^{\left(k\right)}=1$ si la personne $j$ dans $U_k-A_i$ est liée au site $A_i$ et $X_{ij}^{\left(k\right)}=0$ si $j\in A_i$ ou que la personne n’est pas liée à $A_i,j=1,\dots \mathrm{,}{\tau }_k,i=1,\dots \mathrm{,}n.$ Nous supposons que, étant donné l’échantillon $S_A$ de sites, les $X_{ij}^{\left(k\right)}$ sont des variables aléatoires de Bernoulli de moyenne $p_{ij}^{\left(k\right)},$ où la probabilité de lien $p_{ij}^{\left(k\right)}$ satisfait le modèle de Rasch suivant :

$$p_{ij}^{\left(k\right)}=\mathrm{Pr}\left(X_{ij}^{\left(k\right)}=1|{\beta }_j^{\left(k\right)}\mathrm{,}{S}_A\right)=\frac{\exp \left({\alpha }_i^{\left(k\right)}+{\beta }_j^{\left(k\right)}\right)}{1+\exp \left({\alpha }_i^{\left(k\right)}+{\beta }_j^{\left(k\right)}\right)}\mathrm{,}j\in U_k-A_i;i=1,\dots \mathrm{,}n\mathrm{.}(3.2)$$

Il convient de souligner que ce modèle a été pris en considération par Coull et Agresti (1999) dans le contexte de l’échantillonnage par capture-recapture. Dans ce modèle, ${\alpha }_i^{\left(k\right)}$ est un effet fixe (non aléatoire) qui représente la possibilité qu’a la grappe $A_i$ de former des liens avec les personnes comprises dans $U_k-A_i,$ et ${\beta }_j^{\left(k\right)}$ est un effet aléatoire qui représente la propension de la personne $j\in U_k$ à être liée à une grappe. Nous supposons que ${\beta }_j^{\left(k\right)}$ suit une loi normale de moyenne 0 et de variance inconnue ${\sigma }_k^2,$ et que ces variables sont indépendantes. Le paramètre ${\sigma }_k^2$ détermine le degré d’hétérogénéité des $p_{ij}^{\left(k\right)}:$ de grandes valeurs de ${\sigma }_k^2$ impliquent un haut degré d’hétérogénéité.

Avant de conclure la présente sous-section, nous formulerons certains commentaires au sujet des modèles supposés. Premièrement, la loi multinomiale des $M_i$ observés (qui est celle utilisée dans la fonction de vraisemblance) implique que les personnes sont distribuées indépendamment et avec probabilités égales sur les sites de la base de sondage. Cette hypothèse est difficile à satisfaire en pratique; cependant, comme nous le montrerons plus loin, la fonction de vraisemblance dépend des $M_i$ essentiellement par la voie de leur somme $M$ et, puisque $NM/n$ est un estimateur de ${\tau }_1$ fondé sur le plan de sondage, c’est-à-dire qu’il s’agit d’un estimateur exempt d’une loi, il s’ensuit que l’EMV de ${\tau }_1$ sera également robuste aux écarts par rapport à la loi multinomiale des $M_i\text{.}$ Néanmoins, les écarts par rapport à ce modèle auront une incidence sur la performance des estimateurs de variance et des intervalles de confiance calculés sous cette hypothèse. Deuxièmement, le modèle de Rasch donné par (3.2) implique ce qui suit : i) la probabilité de lien $p_{ij}^{\left(k\right)}$ dépend uniquement de deux effets : la sociabilité des personnes dans la grappe $A_i$ et celle de la personne $j\in U_k-A_i;$ ii) les deux effets sont additifs, et iii) pour tout site $A_i$ dans la base de sondage et toute personne $j\in U-A_i,p_{ij}^{\left(k\right)}\text{>}0.$ Le modèle (3.2) est un cas particulier d’un modèle mixte linéaire généralisé. (Voir Agresti 2002, section 2.1, pour un bref examen de ce type de modèle.) Par conséquent, nous pourrions incorporer les structures de réseau des personnes comprises dans la grappe $A_i$ et de la personne $j\in U_k-A_i$ pour modéliser la probabilité de lien $p_{ij}^{\left(k\right)}$ en étendant le modèle (3.2) à un modèle qui comprend les covariables associées à la personne $j$ et à la grappe $A_i,$ ainsi que leurs termes d’interaction. Cependant, en utilisant un modèle plus général que (3.2), nous rendrons le problème d’inférence beaucoup plus difficile que celui que nous devons résoudre dans la présente étude. Donc, malgré la simplicité relative du modèle (3.2), nous nous attendons à ce qu’il rende compte de l’hétérogénéité des probabilités de lien et qu’il nous permette de faire des inférences au sujet des $\tau$ dont au moins l’ordre de grandeur est correct.

3.2 Fonction de vraisemblance

Le moyen le plus facile de construire la fonction de vraisemblance consiste à la factoriser en différentes composantes. L’une d’elles est associée à la probabilité de sélectionner l’échantillon initial $S_0,$ qui est donnée par la loi multinomiale (3.1), c’est-à-dire

$$L_{\text{MULT}}\left({\tau }_1\right)\propto \frac{{\tau }_1!}{\left({\tau }_1-m\right)!}{\left(1-n/N\right)}^{{\tau }_1-m}\mathrm{.}$$

Deux autres composantes sont associées aux probabilités conditionnelles des configurations de liens entre les personnes dans $U_k-S_0,k=1,2,$ et les grappes $A_i\in S_A,$ sachant $S_A.$ Pour obtenir ces facteurs, nous devons calculer les probabilités de certains événements. Soit $X_j^{\left(k\right)}=\left(X_{1j}^{\left(k\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_{nj}^{\left(k\right)}\right)$ le vecteur de dimension $n$ de variables indicatrices de lien $X_{ij}^{\left(k\right)}$ associées à la $j^{\text{e}}$ personne dans $U_k-S_0.$ Notons que $X_j^{\left(k\right)}$ indique quelles grappes $A_i\in S_A$ sont liées à cette personne. Soit $x=\left(x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\right)$ un vecteur dont le $i^{\text{e}}$ élément est $0$ ou $1,i=1,\dots \mathrm{,}n.$ En raison des hypothèses que nous avons faites au sujet des lois des variables $X_{ij}^{\left(k\right)}\text{,}$ la probabilité conditionnelle, sachant ${\beta }_j^{\left(k\right)},$ que $X_j^{\left(k\right)}$ soit égale à $x,$ c’est-à-dire la probabilité que la $j^{\text{e}}$ personne soit liée uniquement aux grappes $A_i\in S_A$ de manière telle que le $i^{\text{e}}$ élément $x_i$ de $x$ soit égal à 1, est

$$\mathrm{Pr}\left(X_j^{\left(k\right)}=x|{\beta }_j^{\left(k\right)}\mathrm{,}{S}_A\right)={\displaystyle \prod _{i=1}^n}{\left[p_{ij}^{\left(k\right)}\right]}^{x_i}{\left[1-p_{ij}^{\left(k\right)}\right]}^{1-x_i}={\displaystyle \prod _{i=1}^n}\frac{\exp \left[x_i\left({\alpha }_i^{\left(k\right)}+{\beta }_j^{\left(k\right)}\right)\right]}{1+\exp \left({\alpha }_i^{\left(k\right)}+{\beta }_j^{\left(k\right)}\right)}\mathrm{.}$$

Donc, la probabilité que le vecteur de variables indicatrices de lien associé à une personne sélectionnée aléatoirement dans $U_k-S_0$ soit égal à $x$ est

$${\pi }_x^{\left(k\right)}\left({\alpha }_k\mathrm{,}{\sigma }_k\right)={\displaystyle \int }{\displaystyle \prod _{i=1}^n}\frac{\exp \left[x_i\left({\alpha }_i^{\left(k\right)}+{\sigma }_{k}z\right)\right]}{1+\exp \left({\alpha }_i^{\left(k\right)}+{\sigma }_{k}z\right)}\varphi \left(z\right)dz\mathrm{,}$$

où ${\alpha }_k=\left({\alpha }_1^{\left(k\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\alpha }_n^{\left(k\right)}\right)$ et $\varphi (\cdot )$ désignent la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite $\left[\text{N}\left(0,1\right)\right].$

Comme dans Coull et Agresti (1999), au lieu d’utiliser ${\pi }_x^{\left(k\right)}\left({\alpha }_k\mathrm{,}{\sigma }_k\right)$ dans la fonction de vraisemblance, nous utilisons son approximation par quadrature gaussienne ${\tilde{\pi }}_x^{\left(k\right)}\left({\alpha }_k\mathrm{,}{\sigma }_k\right)$ donnée par

$${\tilde{\pi }}_x^{\left(k\right)}\left({\alpha }_k\mathrm{,}{\sigma }_k\right)={\displaystyle \sum _{t=1}^q}{\displaystyle \prod _{i=1}^n}\frac{\exp \left[x_i\left({\alpha }_i^{\left(k\right)}+{\sigma }_k{z}_t\right)\right]}{1+\exp \left({\alpha }_i^{\left(k\right)}+{\sigma }_k{z}_t\right)}{\nu }_t\mathrm{,}(3.3)$$

où $q$ est une constante fixée, et $\left\{z_t\right\}$ et les valeurs de $\left\{{\nu }_t\right\}$ sont tirées de tables.

Nous pouvons maintenant calculer les deux facteurs susmentionnés de la fonction de vraisemblance. Soit $\Omega =\left\{\left(x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\right):x_i=0,1;i=1,\dots \mathrm{,}n\right\},$ l’ensemble de tous les vecteurs de dimension $n$ tels que chacun de leurs éléments est 0 ou 1. Pour $x=\left(x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\right)\in \Omega ,$ soit $R_x^{\left(k\right)}$ la variable aléatoire qui indique le nombre de personnes distinctes dans $U_k-S_0$ dont les vecteurs de variables indicatrices de lien sont égaux à $x.$ Enfin, soit $R_k$ la variable aléatoire qui indique le nombre de personnes distinctes dans $U_k-S_0$ qui sont liées à au moins une grappe $A_i\in S_A.$ Notons que $R_k={\displaystyle {\sum }_{x\in \Omega -\text{{}0\text{}}}{R}_x^{\left(k\right)}},$ où $0$ désigne le vecteur de dimension $n$ de zéros.

En raison des hypothèses que nous avons émises au sujet des lois des variables $X_{ij}^{(k)},$ la loi de probabilité conjointe conditionnelle des variables ${\left\{R_x^{(1)}\right\}}_{x\in \Omega -\left\{0\right\}}$ et ${\tau }_1-m-R_1,$ sachant que ${\left\{M_i=m_i\right\}}_{i=1}^n,$ est une loi multinomiale de paramètre de taille ${\tau }_1-m$ et de probabilités ${\left\{{\pi }_x^{\left(1\right)}\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\right\}}_{x\in \Omega -\left\{0\right\}}$ et ${\pi }_0^{\left(1\right)}\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right),$ et celle des variables ${\left\{R_x^{\left(2\right)}\right\}}_{x\in \Omega -\left\{0\right\}}$ et ${\tau }_2-R_2$ est une loi multinomiale de paramètre de taille ${\tau }_2$ et de probabilités ${\left\{{\pi }_x^{\left(2\right)}\left({\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\right\}}_{x\in \Omega -\left\{0\right\}}$ et ${\pi }_0^{\left(2\right)}\left({\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right).$

Par conséquent, les facteurs associés aux probabilités des configurations des liens entre les personnes dans $U_k-S_0,k=1,2,$ et les grappes $A_i\in S_A$ sont

$$L_1\left({\tau }_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\propto \frac{\left({\tau }_1-m\right)!}{\left({\tau }_1-m-r_1\right)!}{\displaystyle \prod _{x\in \Omega -\left\{0\right\}}}{\left[{\tilde{\pi }}_x^{\left(1\right)}\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\right]}^{r_x^{\left(1\right)}}{\left[{\tilde{\pi }}_0^{\left(1\right)}\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\right]}^{{\tau }_1-m-r_1}$$

et

$$L_2\left({\tau }_2\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\propto \frac{{\tau }_2!}{\left({\tau }_2-r_2\right)!}{\displaystyle \prod _{x\in \Omega -\left\{0\right\}}}{\left[{\tilde{\pi }}_x^{\left(2\right)}\left({\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\right]}^{r_x^{\left(2\right)}}{\left[{\tilde{\pi }}_0^{\left(2\right)}\left({\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\right]}^{{\tau }_2-r_2}\mathrm{.}$$

La dernière composante de la fonction de vraisemblance est associée à la probabilité conditionnelle, sachant $S_A,$ de la configuration des liens entre les personnes dans $S_0$ et les grappes $A_i\in S_A.$ Pour calculer ce facteur, observons pour commencer que, par définition des variables indicatrices $X_{ij}^{\left(k\right)},$ le $i^{\text{e}}$ élément du vecteur des variables indicatrices de lien associé à une personne dans $A_i\in S_A$ est égal à zéro. Donc, soit ${\Omega }_{-i}=\left\{\left(x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{i-1}\mathrm{,}{x}_{i+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\right):x_j=0,1,j\ne i\mathrm{,}j=1,\dots \mathrm{,}n\right\},$ c’est-à-dire l’ensemble de tous les vecteurs de dimension $\left(n-1\right)$ obtenu à partir des vecteurs dans $\Omega$ en omettant leur $i^{\text{e}}$ coordonnée. Pour $x=\left(x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{i-1}\mathrm{,}{x}_{i+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\right)\in {\Omega }_{-i}$ , soit $R_x^{\left(A_i\right)}$ la variable aléatoire qui indique le nombre de personnes distinctes dans $A_i\in S_A$ dont les vecteurs de variables indicatrices de lien, quand la $i^{\text{e}}$ coordonnée est omise, sont égaux à $x.$ Enfin, soit $R^{\left(A_i\right)}$ la variable aléatoire qui indique le nombre de personnes distinctes dans $A_i\in S_A$ qui sont liées à au moins un site $A_j\in S_A,j\ne i.$ Notons que $R^{\left(A_i\right)}={\displaystyle {\sum }_{x\in {\Omega }_{-i}-\left\{0\right\}}{R}_x^{\left(A_i\right)}},$ où $0$ désigne le vecteur de dimension $\left(n-1\right)$ de zéros. Alors, comme dans les cas précédents, la loi de probabilité conjointe conditionnelle des variables ${\left\{R_x^{\left(A_i\right)}\right\}}_{x\in {\Omega }_{-i}-\left\{0\right\}}$ et $m_i-R^{\left(A_i\right)},$ sachant que ${\left\{M_i=m_i\right\}}_{i=1}^n,$ est une loi multinomiale de paramètre de taille $m_i$ et de probabilités ${\left\{{\pi }_x^{\left(A_i\right)}\left({\alpha }_1^{\left(-i\right)}\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\right\}}_{x\in {\Omega }_{-i}-\left\{0\right\}}$ et ${\pi }_0^{\left(A_i\right)}\left({\alpha }_1^{\left(-i\right)}\mathrm{,}{\sigma }_1\right),$ où ${\alpha }_1^{\left(-i\right)}=\left({\alpha }_1^{\left(1\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\alpha }_{i-1}^{\left(1\right)}\mathrm{,}{\alpha }_{i+1}^{\left(1\right)}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\alpha }_n^{\left(1\right)}\right)$ et

$${\pi }_x^{\left(A_i\right)}\left({\alpha }_1^{\left(-i\right)}\mathrm{,}{\sigma }_1\right)={\displaystyle \int }{\displaystyle \prod _{j\ne i}^n}\frac{\exp \left[x_j\left({\alpha }_j^{\left(1\right)}+{\sigma }_{1}z\right)\right]}{1+\exp \left({\alpha }_j^{\left(1\right)}+{\sigma }_{1}z\right)}\varphi \left(z\right)dz\mathrm{.}$$

Par conséquent, la probabilité de la configuration des liens entre les personnes dans $S_0$ et les grappes $A_j\in S_A$ est donnée par le produit des probabilités multinomiales précédentes (une pour chaque $A_i\in S_A),$ et conséquemment le facteur de la vraisemblance qui est associé à cette probabilité est

$$L_0\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\propto {\displaystyle \prod _{i=1}^n}{\displaystyle \prod _{x\in {\Omega }_{-i}-\left\{0\right\}}}{\left[{\tilde{\pi }}_x^{\left(A_i\right)}\left({\alpha }_1^{\left(-i\right)}\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\right]}^{r_x^{\left(A_i\right)}}{\left[{\tilde{\pi }}_0^{\left(A_i\right)}\left({\alpha }_1^{\left(-i\right)}\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\right]}^{m_i-r^{\left(A_i\right)}},$$

où

$${\tilde{\pi }}_x^{\left(A_i\right)}\left({\alpha }_1^{\left(-i\right)}\mathrm{,}{\sigma }_1\right)={\displaystyle \sum _{t=1}^q}{\displaystyle \prod _{j\ne i}^n}\frac{\exp \left[x_j\left({\alpha }_j^{\left(1\right)}+{\sigma }_1{z}_t\right)\right]}{1+\exp \left({\alpha }_j^{\left(1\right)}+{\sigma }_1{z}_t\right)}{\nu }_t\mathrm{,}(3.4)$$

est l’approximation par quadrature gaussienne de la probabilité ${\pi }_x^{\left(A_i\right)}\left({\alpha }_1^{\left(-i\right)}\mathrm{,}{\sigma }_1\right).$

Des résultats qui précèdent, il découle que la fonction de vraisemblance est donnée par

$$L\left({\tau }_1\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_1\mathrm{,}{\sigma }_2\right)=L_{\left(1\right)}\left({\tau }_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)L_{\left(2\right)}\left({\tau }_2\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\mathrm{,}$$

où

$$L_{\left(1\right)}\left({\tau }_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)=L_{\text{MULT}}\left({\tau }_1\right)L_1\left({\tau }_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)L_0\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)$$

et

$$L_{\left(2\right)}\left({\tau }_2\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)=L_2\left({\tau }_2\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\mathrm{.}$$

Dans les commentaires à la fin de la sous-section 3.1, nous avons indiqué que la fonction de vraisemblance dépend des $M_i$ essentiellement par la voie de leur somme $M.$ On peut le constater en remarquant que seul le facteur $L_0$ dépend directement des $M_i\text{.}$ Les facteurs $L_{\text{MULT}}$ et $L_1$ dépendent des $M_i$ par la voie de $M,$ tandis que le facteur $L_{\left(2\right)}$ ne dépend pas des $M_i.$

3.3 Estimateurs du maximum de vraisemblance inconditionnel

La maximisation numérique de la fonction de vraisemblance $L\left({\tau }_1\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_1\mathrm{,}{\sigma }_2\right)$ par rapport aux paramètres donne les estimateurs du maximum de vraisemblance ordinaire ou inconditionnel (EMVI) ${\widehat{\tau }}_k^{\left(U\right)},{\widehat{\alpha }}_k^{\left(U\right)}$ et ${\widehat{\sigma }}_k^{\left(U\right)}$ de ${\tau }_k,{\alpha }_k$ et ${\sigma }_k,k=1,2.$ Par conséquent, l’EMVI de $\tau ={\tau }_1+{\tau }_2$ est ${\widehat{\tau }}^{\left(U\right)}={\widehat{\tau }}_1^{\left(U\right)}+{\widehat{\tau }}_2^{\left(U\right)}.$ Il n’existe pas d'expressions analytiques pour les EMVI; cependant, en utilisant l’approximation asymptotique $\partial \ln \left({\tau }_k!\right)/\partial {\tau }_k\approx \ln \left({\tau }_k\right),$ nous obtenons les approximations suivantes de ${\widehat{\tau }}_1^{\left(U\right)}$ et ${\widehat{\tau }}_2^{\left(U\right)}:$

$${\widehat{\tau }}_1^{\left(U\right)}=\frac{M+R_1}{1-\left(1-n/N\right){\tilde{\pi }}_0^{\left(1\right)}\left({\widehat{\alpha }}_1^{\left(U\right)}\mathrm{,}{\widehat{\sigma }}_1^{\left(U\right)}\right)}\text{ et }{\widehat{\tau }}_2^{\left(U\right)}=\frac{R_2}{1-{\tilde{\pi }}_0^{\left(2\right)}\left({\widehat{\alpha }}_2^{\left(U\right)}\mathrm{,}{\widehat{\sigma }}_2^{\left(U\right)}\right)}\mathrm{.}(3.5)$$

Notons qu’il ne s’agit pas d’expressions analytiques, puisque ${\widehat{\alpha }}_k^{\left(U\right)}$ et ${\widehat{\sigma }}_k^{\left(U\right)}$ dépendent de ${\widehat{\tau }}_k^{\left(U\right)},k=1,2.$ Néanmoins, ces expressions sont utiles pour obtenir les formules des variances asymptotiques de ${\widehat{\tau }}_1^{\left(U\right)}$ et ${\widehat{\tau }}_2^{\left(U\right)}.$

3.4 Estimateurs du maximum de vraisemblance conditionnel

Un autre moyen d’obtenir les EMV de ${\tau }_k,{\alpha }_k$ et ${\sigma }_k$ consiste à suivre l’approche de Sanathanan (1972), qui donne des estimateurs du maximum de vraisemblance conditionnel (EMVC). Ces estimateurs sont numériquement plus simples à calculer que les EMVI. En outre, si l’on utilise des covariables dans le modèle pour la probabilité de lien $p_{ij}^{\left(k\right)},$ cette approche pourrait encore être utilisée pour obtenir des estimateurs de ${\tau }_k,{\alpha }_k$ et ${\sigma }_k,$ tandis que l’approche de la vraisemblance inconditionnelle ne pourrait pas l’être, puisque les valeurs des covariables associées aux éléments non échantillonnés seraient inconnues.

L’idée qui sous-tend l’approche de Sanathanan est de factoriser la fmp des lois multinomiales des fréquences $R_x^{\left(k\right)}$ des différentes configurations des liens comme il suit :

$$\begin{array}{lll}{L}_1\left({\tau }_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\hfill & \propto \hfill & f\left({\left\{r_x^{\left(1\right)}\right\}}_{x\in \Omega -\left\{0\right\}}\mathrm{,}{\tau }_1-m-r_1|\left\{m_i\right\}\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\hfill \\ \hfill & =\hfill & f\left({\left\{r_x^{\left(1\right)}\right\}}_{x\in \Omega -\left\{0\right\}}|\left\{m_i\right\}\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{,}{r}_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)f\left(r_1|\left\{m_i\right\}\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\hfill \\ \hfill & \propto \hfill & {\displaystyle \prod _{x\in \Omega -\left\{0\right\}}}{\left[\frac{{\tilde{\pi }}_x^{\left(1\right)}\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)}{1-{\tilde{\pi }}_0^{\left(1\right)}\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)}\right]}^{r_x^{\left(1\right)}}\times \frac{\left({\tau }_1-m\right)!}{\left({\tau }_1-m-r_1\right)!}{\left[1-{\tilde{\pi }}_0^{\left(1\right)}\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\right]}^{r_1}{\left[{\tilde{\pi }}_0^{\left(1\right)}\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\right]}^{{\tau }_1-m-r_1}\hfill \\ \hfill & =\hfill & L_{11}\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)L_{12}\left({\tau }_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\hfill \end{array}$$

et

$$\begin{array}{lll}{L}_2\left({\tau }_2\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\hfill & \propto \hfill & f\left({\left\{r_x^{\left(2\right)}\right\}}_{x\in \Omega -\text{{}0\text{}}}\mathrm{,}{\tau }_2-r_2|\left\{m_i\right\}\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\hfill \\ \hfill & =\hfill & f\left({\left\{r_x^{\left(2\right)}\right\}}_{x\in \Omega -\left\{0\right\}}|\left\{m_i\right\}\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{,}{r}_2\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)f\left(r_2|\left\{m_i\right\}\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\hfill \\ \hfill & \propto \hfill & {\displaystyle \prod _{x\in \Omega -\left\{0\right\}}}{\left[\frac{{\tilde{\pi }}_x^{\left(2\right)}\left({\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)}{1-{\tilde{\pi }}_0^{\left(2\right)}\left({\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)}\right]}^{r_x^{\left(2\right)}}\times \frac{{\tau }_2!}{\left({\tau }_2-r_2\right)!}{\left[1-{\tilde{\pi }}_0^{\left(2\right)}\left({\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\right]}^{r_2}{\left[{\tilde{\pi }}_0^{\left(2\right)}\left({\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\right]}^{{\tau }_2-r_2}\hfill \\ \hfill & =\hfill & L_{21}\left({\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)L_{22}\left({\tau }_2\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Observons que, dans chaque cas, le premier facteur $L_{k1}\left({\alpha }_k\mathrm{,}{\sigma }_k\right)$ est proportionnel à la fmp conjointe conditionnelle des ${\left\{R_x^{\left(k\right)}\right\}}_{x\in \Omega -0},$ sachant que ${\left\{M_i=m_i\right\}}_1^n$ et $R_k=r_k,$ ce qui est la loi multinomiale de paramètre de taille $r_k$ et de probabilités ${\left\{{\tilde{\pi }}_x^{\left(k\right)}/\left[1-{\tilde{\pi }}_0^{\left(k\right)}\right]\right\}}_{x\in \Omega -0},$ et que cette loi ne dépend pas de ${\tau }_k.$ Notons aussi que les seconds facteurs $L_{12}\left({\tau }_1\mathrm{,}{\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)$ et $L_{22}\left({\tau }_2\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)$ sont proportionnels aux fmp conditionnelles de $R_1$ et $R_2,$ sachant que ${\left\{M_i=m_i\right\}}_1^n,$ qui sont les lois $\text{Bin}\left({\tau }_1-m\mathrm{,1}-{\tilde{\pi }}_0^{\left(1\right)}\right)$ et $\text{Bin}\left({\tau }_2\mathrm{,1}-{\tilde{\pi }}_0^{\left(2\right)}\right),$ respectivement, où $\text{Bin}\left(\tau \mathrm{,}\theta \right)$ désigne la loi binomiale de paramètre de taille $\tau$ et de probabilité $\theta .$

Les EMVC ${\widehat{\alpha }}_k^{\left(C\right)}$ et ${\widehat{\sigma }}_k^{\left(C\right)}$ de ${\alpha }_k$ et ${\sigma }_k,k=1,2$ s’obtiennent en maximisant numériquement

$$L_{11}\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)L_0\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)\text{ et }{L}_{21}\left({\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right)(3.6)$$

par rapport à $\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\sigma }_1\right)$ et $\left({\alpha }_2\mathrm{,}{\sigma }_2\right),$ respectivement. Notons que, dans (3.6), les facteurs ne dépendent pas de ${\tau }_k,k=1,2.$

Enfin, en introduisant les estimations ${\widehat{\alpha }}_k^{\left(C\right)}$ et ${\widehat{\sigma }}_k^{\left(C\right)}$ dans les facteurs de la fonction de vraisemblance qui dépendent de ${\tau }_k,k=1,2,$ et en maximisant ces facteurs, c’est-à-dire en maximisant $L_{12}\left({\tau }_1\mathrm{,}{\widehat{\alpha }}_1^{\left(C\right)}\mathrm{,}{\widehat{\sigma }}_1^{\left(C\right)}\right)L_{\text{MULT}}\left({\tau }_1\right)$ et $L_{22}\left({\tau }_2\mathrm{,}{\widehat{\alpha }}_2^{\left(C\right)}\mathrm{,}{\widehat{\sigma }}_2^{\left(C\right)}\right)$ par rapport à ${\tau }_1$ et ${\tau }_2,$ respectivement, nous obtenons que les EMVC ${\widehat{\tau }}_1^{\left(C\right)}$ et ${\widehat{\tau }}_2^{\left(C\right)}$ de ${\tau }_1$ et ${\tau }_2$ sont donnés par (3.5) en remplaçant ${\widehat{\alpha }}_k^{\left(U\right)}$ et ${\widehat{\sigma }}_k^{\left(U\right)}$ par ${\widehat{\alpha }}_k^{\left(C\right)}$ et ${\widehat{\sigma }}_k^{\left(C\right)},k=1,2.$ Observons que ces expressions pour ${\widehat{\tau }}_1^{\left(C\right)}$ et ${\widehat{\tau }}_2^{\left(C\right)}$ sont des expressions analytiques. L’EMVC de $\tau$ est ${\widehat{\tau }}^{\left(C\right)}={\widehat{\tau }}_1^{\left(C\right)}+{\widehat{\tau }}_2^{\left(C\right)}.$

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