Estimation sur petits domaines fondée sur un modèle sous échantillonnage informatif 1. IntroductionEstimation sur petits domaines fondée sur un modèle sous échantillonnage informatif 1. Introduction

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L’estimation des totaux et des moyennes de population pour de petites sous-populations (ou petits domaines) est souvent nécessaire. Or, les estimateurs de domaine directs classiques ne sont pas fiables si la taille de l’échantillon de domaine est petite. Par conséquent, il faut « emprunter de l’information » à d’autres domaines en procédant à une estimation indirecte qui s’appuie sur des modèles fournissant un lien avec les domaines apparentés. Les modèles de lien utilisent des données de population auxiliaires au niveau du domaine ou au niveau de l’unité. Rao (2003, chapitre 7) décrit en détail les modèles au niveau du domaine et au niveau de l’unité dont l’usage est très répandu pour l’estimation sur petits domaines.

Supposons que la population d’intérêt, $U,$ est constituée de $M$ domaines non chevauchants avec $N_i$ éléments dans le $i^{\text{e}}$ domaine $\left(i=1,\dots ,M\right).$ Un échantillon, $s,$ de $m$ domaines est d’abord sélectionné en utilisant un plan d’échantillonnage spécifié avec les probabilités d’inclusion ${\pi }_i=m{p}_i\left(i=1,\dots ,M\right),$ où $p_i$ désigne la probabilité de sélection du domaine $i.$ Des sous-échantillons $s_i$ de tailles spécifiées $n_i$ sont ensuite sélectionnés indépendamment à partir des domaines échantillonnés $i$ conformément à des plans d’échantillonnage spécifiés avec les probabilités de sélection $p_{j|i}\left({\displaystyle {\sum }_{j=1}^{N_i}{p}_{j|i}}=1\right)$ telles que les probabilités d’inclusion de deuxième degré soient ${\pi }_{j|i}=n_i{p}_{j|i}$ pour l’unité $j$ dans le domaine $i$ $\left(j=1,\dots ,N_i\right).$ Habituellement, la probabilité de sélection est donnée par $p_{j|i}=b_{ij}/{\displaystyle {\sum }_{k=1}^{N_i}{b}_{ik}},$ où $b_{ij}$ est une mesure de taille reliée à la variable de réponse $y_{ij}.$ Dans le présent article, nous nous concentrons sur le cas particulier où tous les domaines sont échantillonnés, $m=M.$

Nous émettons l’hypothèse d’un modèle de régression linéaire à erreurs emboîtées pour la population, fondé sur les covariables $x_{ij}$ reliées à la variable de réponse $y_{ij}.$ Nous supposons que le modèle de la population est donné par

$$y_{ij}=x_{ij}^T\beta +v_i+e_{ij};j=1,\dots ,N_i;i=1,\dots ,M,(1.1)$$

où les $v_i\stackrel{\text{iid}}{\sim }N\left(0,{\sigma }_v^2\right)$ sont les effets aléatoires de petit domaine qui sont indépendants des erreurs au niveau de l’unité $e_{ij}\stackrel{\text{iid}}{\sim }N\left(0,{\sigma }_e^2\right),x_{ij}={\left(1,x_{ij1},x_{ij2},\dots ,x_{ijp}\right)}^T$ et $\beta ={\left({\beta }_0,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_p\right)}^T.$ Les paramètres d’intérêt sont les moyennes de petit domaine ${\overline{Y}}_i=N_i^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{N_i}{y}_{ij}},$ qui peuvent être approximées par ${\mu }_i={\overline{X}}_i^T\beta +v_i$ si les tailles de domaine $N_i$ sont grandes, où ${\overline{X}}_i=N_i^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{N_i}{x}_{ij}}$ est la moyenne de population connue de $x$ pour le domaine $i.$

Des estimateurs efficaces fondés sur un modèle des moyennes de domaine ${\mu }_i$ peuvent être obtenus si le plan d’échantillonnage est non informatif pour le modèle, ce qui implique que les modèles soient les mêmes pour l’échantillon et pour la population. En particulier, les estimateurs du meilleur prédicteur linéaire sans biais empirique (EBLUP, de l’anglais Empirical Best Linear Unbiased Prediction) (Henderson 1975), fondés sur le modèle supposé de l’échantillon sous échantillonnage non informatif, peuvent être utilisés pour estimer les moyennes de petit domaine ${\overline{Y}}_i$ ou ${\mu }_i$ (voir la section 2 et Rao 2003, chapitre 7). Cependant, dans de nombreuses situations pratiques, les probabilités de sélection $p_{j|i}$ peuvent être reliées à la variable d’intérêt connexe $y_{ij},$ même après conditionnement sur les covariables $x_{ij}.$ Le cas échéant, nous avons un « échantillonnage informatif » au sens où le modèle de la population (1.1) n’est plus vérifié pour l’échantillon. Par exemple, Pfeffermann et Sverchkov (2007) supposent que les poids de sondage des unités de l’échantillon $w_{j|i}={\pi }_{j|i}^{-1}$ sont aléatoires et que leur espérance conditionnelle est

$$\begin{array}{lll}{E}_{s_i}\left(w_{j|i}|x_{ij},y_{ij},v_i\right)\hfill & =\hfill & E_{s_i}\left(w_{j|i}|x_{ij},y_{ij}\right)\hfill \\ \hfill & =\hfill & k_i\exp \left(x_{ij}^{T}a+b{y}_{ij}\right),\hfill \end{array}(1.2)$$

où $a$ et $b$ sont des constantes inconnues fixes et

$$k_i=N_i{n}_i^{-1}\left\{{\displaystyle \sum _{j=1}^{N_i}\exp \left(-x_{ij}^{T}a-b{y}_{ij}\right)}/N_i\right\}.$$

Sous échantillonnage informatif dans les domaines, l’estimateur EBLUP de ${\overline{Y}}_i,$ en supposant que le modèle (1.1) est vérifié pour l’échantillon, peut être fortement biaisé. Il faut donc élaborer des estimateurs qui peuvent tenir compte du biais de sélection dans l’échantillon et réduire ainsi le biais d’estimation. Pfeffermann et Sverchkov (2007) ont élaboré un estimateur de la moyenne ${\overline{Y}}_i$ corrigé du biais sous l’hypothèse (1.2) concernant les poids de sondage $w_{j|i}$ et en supposant que le modèle de l’échantillon est un modèle à erreurs emboîtées

$$y_{ij}=x_{ij}^T\alpha +u_i+h_{ij};j=1,\dots ,n_i;i=1,\dots ,M,(1.3)$$

où $u_i\stackrel{\text{iid}}{\sim }N\left(0,{\sigma }_u^2\right)\text{,}$ et $h_{ij}|j\in s_i\stackrel{\text{iid}}{\sim }N\left(0,{\sigma }_h^2\right).$ Pfeffermann et Sverchkov (2007) notent que, sous un plan d’échantillonnage qui satisfait (1.2), le modèle de la population est aussi un modèle à erreurs emboîtées, mais dont les paramètres sont différents. Toutefois, ils n’utilisent pas la forme du modèle de la population pour l’échantillon. Pour déterminer le modèle de l’échantillon (1.3), ils ajustent le modèle aux données d’échantillon, puis lui appliquent certains tests diagnostiques. De même, ils déterminent le modèle (1.2) pour les poids d’après les données d’échantillon $\left\{w_{j|i},y_{ij},x_{ij},j\in s_i\text{,}i\in s\right\}.$ Leurs estimateurs sont identifiés (PS) dans ce qui suit.

Prasad et Rao (1999) et You et Rao (2002) ont élaboré des estimateurs pseudo-EBLUP des moyennes de petit domaine ${\mu }_i$ qui dépendent des poids d’échantillonnage $w_{j|i},$ en supposant que l’échantillonnage est non informatif pour le modèle (1.1). La raison qui les a motivés à utiliser le pseudo-EBLUP était de s’assurer de la convergence sous le plan à mesure que la taille de l’échantillon de domaine, $n_i,$ augmente. Les estimateurs de You et Rao (identifiés (YR) dans ce qui suit) satisfont aussi une propriété d’étalonnage au sens où la somme des estimateurs des totaux de domaine est égale à un estimateur direct fiable du total, contrairement aux estimateurs EBLUP. Stefan (2005) a étudié les propriétés empiriques des estimateurs pseudo-EBLUP sous échantillonnage informatif pour le modèle (1.1) et montré qu’ils donnent lieu à un biais plus faible que l’estimateur EBLUP.

L’objectif principal de notre article est d’étudier des modèles d’échantillon augmentés de la forme

$$y_{ij}=x_{ij}^T{\beta }_0+g\left(p_{j|i}\right){\delta }_0+{\tilde{v}}_i+{\tilde{e}}_{ij};j=1,\dots ,n_i;i=1,\dots ,M(1.4)$$

pour une fonction convenablement définie $g_{ij}=g\left(p_{j|i}\right)$ de la probabilité $p_{j|i},$ où les ${\tilde{v}}_i\stackrel{\text{iid}}{\sim }N\left(0,{\sigma }_{v0}^2\right)$ et sont indépendants de ${\tilde{e}}_{ij}\stackrel{\text{iid}}{\sim }N\left(0,{\sigma }_{e0}^2\right),$ et ${\beta }_0={\left({\beta }_{00},{\beta }_{01},\dots ,{\beta }_{0p}\right)}^T.$ Le modèle de l’échantillon (1.4) est déterminé après ajustement du modèle aux données d’échantillon pour différents choix de la fonction $g(\cdot )$ et vérification de leur adéquation. Par exemple, les résidus $r_{ij}$ de l’ajustement du modèle (1.4) sans la variable d’augmentation $g\left(p_{j|i}\right)$ peuvent être représentés graphiquement en fonction de $g\left(p_{j|i}\right)$ pour choisir $g(\cdot ).$ Le modèle d’échantillon augmenté déterminé sera vérifié pour la population (Skinner 1994, Rao 2003, section 5.3). Des choix possibles de $g\left(p_{j|i}\right)$ sont $p_{j|i},\log p_{j|i},w_{j|i}$ et $n_i{w}_{j|i}=p_{j|i}^{-1}.$

Partant du modèle d’échantillon augmenté (1.4), nous obtenons les estimateurs EBLUP de ${\overline{Y}}_i$ ou ${\mu }_i={\overline{X}}_i^T{\beta }_0+{\overline{G}}_i{\delta }_0+{\tilde{v}}_i,$ la moyenne de domaine approximative sous le modèle de population augmenté, où ${\overline{G}}_i$ est la moyenne de domaine des valeurs de population $g\left(p_{j|i}\right)\equiv g_{ij}.$ L’EBLUP de ${\overline{Y}}_i$ ou ${\mu }_i$ requiert la connaissance de ${\overline{G}}_i$ qui dépend de toutes les valeurs de population $p_{j|i}.$ Cependant, le choix de $g\left(p_{j|i}\right)=p_{j|i}$ donne ${\overline{G}}_i=1/N_i$ et le choix de $g\left(p_{j|i}\right)=n_i{w}_{j|i}$ donne ${\overline{G}}_i=n_i{\overline{W}}_i,$ où ${\overline{W}}_i$ est la moyenne de population de domaine des poids $w_{j|i}.$ Les moyennes ${\overline{W}}_i$ sont souvent connues en pratique. Les estimateurs pseudo-EBLUP sous le modèle augmenté sont également étudiés.

Nous avons réalisé une étude en simulation sous le cadre plan de sondage-modèle (ou pm) pour étudier le biais et l’EQM des estimateurs proposés comparativement aux estimateurs EBLUP et pseudo-EBLUP basés sur un échantillonnage non informatif, et les estimateurs corrigés du biais de Pfeffermann et Sverchkov (2007). Nous avons également étudié les propriétés des estimateurs de l’EQM en ce qui concerne le biais relatif.

À la section 2, nous résumons les méthodes existantes fondées sur un modèle pour estimer les moyennes de petit domaine ${\overline{Y}}_i$ ou ${\mu }_i.$ À la section 3, nous présentons les méthodes proposées basées sur le modèle d’échantillon augmenté (1.4). À la section 4, nous donnons les résultats de l’étude en simulation. Enfin, à la section 5, nous présentons les conclusions.

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