Échantillonnage inverse à probabilités inégales Section 2. Formalisation du problèmeÉchantillonnage inverse à probabilités inégales Section 2. Formalisation du problème

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On utilise la notation suivante :

• $U:$ la population de $N$ entreprises, i.e., $U\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}i\mathrm{,}\dots \mathrm{,}N\right\}$ $(U$ peut désigner la population d’entreprises dans une région économique),

• $L:$ la liste de professions,

• $M:$ le nombre de professions dans la liste, c’est-à-dire la taille de $L,$

• $F_i:$ la liste des professions présentes dans l’entreprise $i,$ avec $F_i\subset L\mathrm{,}$

• $D_i:$ la liste des professions absentes dans l’entreprise $i,$ avec $D_i\subset L\mathrm{,}$ $F_i\cup D_i\mathrm{<mo>=</mo>}L$ et $D_i\cap F_i\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{,}$

• $M{p}_i:$ le nombre de professions dans l’entreprise $i,$ c’est-à-dire la taille de $F_i,$

• $r:$ le nombre de professions distinctes que l’on veut obtenir dans chaque entreprise,

• $X_i:$ le nombre d’échecs obtenus avant d’obtenir les $r$ professions dans l’entreprise $i$ en sélectionnant les professions selon un plan particulier.

L’objectif principal est d’estimer le salaire moyen pour une profession dans la population entière. Soient $y_{ik}$ le salaire moyen dans la profession $k$ au sein de l’entreprise $i$ et $z_{ik}$ le nombre d’employés ayant la profession $k$ au sein de l’entreprise $i.$ L’objectif est d’estimer le salaire moyen de la profession $k$ donné par

$${\overline{Y}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle \sum _{i\in U|F_i∍k}}{z}_{ik}{y}_{ik}}{{\displaystyle \sum _{i\in U|F_i∍k}}{z}_{ik}}\mathrm{.}$$

Supposons qu’un échantillon d’entreprises $S_1$ soit sélectionné dans $U$ au moyen d’un plan donné quelconque avec des probabilités d’inclusion ${\pi }_{1i}\mathrm{.}$ Dans l’entreprise $i,$ on sélectionne un échantillon $S_i$ de professions au moyen d’un des plans décrits ci-dessous avec la probabilité d’inclusion ${\pi }_{k|i}.$ Si le plan est avec remise, ${\pi }_{k|i}$ représente l’espérance de nombre de fois que la profession $k$ est sélectionnée dans l’entreprise $i.$

On peut estimer ${\overline{Y}}_k$ au moyen d’un estimateur de type « quotient » (Hájek 1971):

$${\widehat{\overline{Y}}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle \sum _{i\in S_1|\left(S_i\cap F_i\right)∍k}}\frac{z_{ik}{y}_{ik}}{{\pi }_{1i}{\pi }_{k\mathrm{<mo>|</mo>}i}}}{{\displaystyle \sum _{i\in S_1|\left(S_i\cap F_i\right)∍k}}\frac{z_{ik}}{{\pi }_{1i}{\pi }_{k\mathrm{<mo>|</mo>}i}}}\mathrm{.}$$

Il est donc nécessaire de connaître la probabilité qu’une profession soit sélectionnée au sein d’une entreprise. Cependant, avec un plan de type inverse, cette probabilité n’est pas connue et devra donc être estimée pour pouvoir procéder à une estimation de ${\overline{Y}}_k.$ Comme les probabilités d’inclusion apparaissent au dénominateur, il est préférable d’estimer les inverses des ${\pi }_{k|i}.$ Au sein d’une entreprise, une profession a d’autant moins de chance d’être sélectionnée que le nombre de professions qu’elle comporte est élevé. De plus, cette probabilité dépend du plan de sondage inverse utilisé au sein de chacune des entreprises.

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