Échantillonnage inverse à probabilités inégales Section 6. Tirage à probabilités inégales sans remiseÉchantillonnage inverse à probabilités inégales Section 6. Tirage à probabilités inégales sans remise

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6.1 Tirage séquentiel sans remise

Pour le tirage sans remise, le premier problème est la définition du plan. Une option est d’utiliser la méthode d’Ohlsson (1995) appelée échantillonnage de Poisson séquentiel. Cette méthode consiste à générer $M$ variable aléatoires uniformes dans l’intervalle $\left[\mathrm{0,1}\right]$ notée $u_{ik}.$ Ensuite on choisit les $n$ unités correspondant aux plus petites valeurs de $u_{ik}/{\pi }_{k\mathrm{<mo>|</mo>}i}\mathrm{.}$ Cette méthode a l’avantage d’être utilisable pour toute taille d’échantillon et de fournir une suite d’échantillons qui sont inclus l’un dans l’autre. Malheureusement, elle ne vérifie qu’approximativement les probabilités d’inclusion fixées. Les approximations sont cependant très précises selon les simulations données dans Ohlsson (1995).

Des méthodes ont été également proposées par Sampford (1962) et Pathak (1964). Nous proposons une solution exacte à ce problème au sens où les probabilités d’inclusion sont exactement vérifiées. On commence par calculer les probabilités d’inclusion pour un plan de taille fixe $n$ avec des probabilités d’inclusion proportionnelles à une variable auxiliaire strictement positive $b_k\mathrm{,}k\in L\mathrm{.}$ Les probabilités sont déterminées par

$${\pi }_{k|i}\left(n\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\min \left(\mathrm{1,}{C}_n\frac{b_k}{{\displaystyle \sum _{\mathcal{l}\in L}}{b}_{\mathcal{l}}}\right)\mathrm{,}$$

où $C_n$ est déterminé de sorte que

$${\displaystyle \sum _{k\in L}}{\pi }_{k|i}\left(n\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in L}}\min \left(\mathrm{1,}{C}_n\frac{b_k}{{\displaystyle \sum _{\mathcal{l}\in L}}{b}_{\mathcal{l}}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}n\mathrm{.}$$

Un algorithme simple pour calculer ces probabilités est décrit entre autres dans Tillé (2006, page 19). Ces probabilités peuvent être calculées simplement au moyen de la fonction inclusionprobabilities du package R sampling.

Une méthode de tirage séquentielle doit donc sélectionner un échantillon de taille $n$ avec des probabilités d’inclusion ${\pi }_{k|i}\left(n\right)\mathrm{.}$ Ensuite, elle doit permettre de passer de la taille $n$ à la taille $n+1$ en sélectionnant simplement une unité supplémentaire de manière à ce que l’échantillon complété ait bien une probabilité d’inclusion ${\pi }_{k|i}\left(n+1\right)\mathrm{.}$ Il semble que la seule méthode permettant de réaliser cela est la méthode éliminatoire (Tillé 1996). La méthode éliminatoire part de la population complète (la liste des professions) et élimine une unité à chaque étape. À l’étape $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}$ l’unité est éliminée parmi les unités restantes avec la probabilité

$$1-\frac{{\pi }_{k|i}\left(N-j\right)}{{\pi }_{k|i}\left(N-j+1\right)}\mathrm{.}$$

Cette méthode permet ainsi de créer une suite d’échantillons inclus l’un dans l’autre qui vérifient les probabilités d’inclusion relatifs à leur taille.

Il suffit donc d’appliquer la méthode éliminatoire pour la taille d’échantillon $n\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ afin que l’algorithme élimine toutes les unités successivement. En les prenant dans l’ordre inverse des éliminations, on obtient une suite d’unités. Les $n$ premières unités de cette suite sont bien sélectionnées avec les probabilités d’inclusion ${\pi }_{k|i}\left(n\right)\mathrm{.}$ L’Annexe contient une fonction en langage R qui permet de générer cette suite. Ce code est soumis à une simulation qui montre que les probabilités obtenues par simulations en appliquant cette fonction sont bien égales aux probabilités d’inclusions fixées pour toutes les tailles d’échantillon.

6.2 Plan inverse ou négatif à probabilités inégales

Maintenant que le plan est bien défini, on peut définir le plan inverse. On prend les unités dans la liste de professions au moyen de la méthode éliminatoire jusqu’à ce que $r$ professions présentes dans l’entreprise soient sélectionnées. Dans ce cas, la distribution de probabilité du nombre d’échecs $X_i$ semble impossible à calculer. Le calcul de la probabilité d’inclusion conditionnelle $\text{E}\left(A_{ik}|X_i\right)$ est également problématique.

On peut cependant procéder par analogie et estimer les probabilités d’inclusion en se basant sur l’expression (5.1) développée pour le cas avec remise où l’on remplace simplement $p_{ik}$ par

$$\frac{{\pi }_{k|i}\left(r+X_i\right)}{r+X_i}\mathrm{.}$$

On obtient alors

$$\widehat{1/{\pi }_{k|i}}\mathrm{<mo>=</mo>}\{\begin{array}{ll}\frac{\left(r-1\right)\left(r+X_i\right)}{r\left(X_i+r-1\right){\pi }_{k|i}\left(r+X_i\right)}\hfill & \text{si}k\in F_i\hfill \\ \frac{r+X_i}{\left(X_i+r-1\right){\pi }_{k|i}\left(r+X_i\right)}\hfill & \text{si}k\in D_i\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

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