Décomposition des inégalités salariales selon le sexe par calage : application à l’Enquête suisse sur la structure des salaires
Section 2. Problème et notation

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La question d’intérêt est l’estimation des écarts salariaux entre les hommes et les femmes, plus précisément, quelle part de ces écarts est attribuable à la discrimination. Supposons qu’il existe une population finie $U$ de taille $N$ pouvant être divisée en deux sous-populations, les femmes (F) et les hommes (M), et que nous désignons par $U_h\mathrm{,}h\in \left\{F,M\right\},$ de taille $N_h.$ En outre, nous tirons de $U$ un échantillon aléatoire $S$ qui contient à la fois des hommes et des femmes. L’échantillon $S$ est sélectionné selon un plan d’échantillonnage $p\left(s\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{Pr}\left(S=s\right)$ pour tout $s\subset U,$ où

L’échantillon $S$ peut être divisé en deux sous-échantillons, $S_h\mathrm{,}h\in \left\{F\mathrm{,}M\right\},$ de femmes et d’hommes, tels que $S\mathrm{<mo>=</mo>}\cup S_h.$ La variable d’intérêt, désignée par $y,$ est ici le logarithme du salaire. Les totaux de la variable d’intérêt dans les deux sous-populations sont donnés par

$$Y_h\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in U_h}{y}_k}\mathrm{,}h\in \left\{F\mathrm{,}M\right\}\mathrm{,}$$

où $y_k$ est le logarithme du salaire du $k^{\text{e}}$ individu. Puisque l’on n’observe pas toutes les unités des sous-populations, les totaux peuvent être estimés par

$${\widehat{Y}}_h\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_h}{d}_k{y}_k}\mathrm{,}h\in \left\{F\mathrm{,}M\right\}\mathrm{,}$$

où $d_k$ est un poids de sondage affecté à la $k^{\text{e}}$ unité de l’échantillon. Les poids de sondage sont obtenus après plusieurs traitements statistiques (par exemple, ajustement pour la non-réponse).

Les moyennes de population des logarithmes des salaires sont données par

$${\overline{Y}}_h\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N_h}{\displaystyle \sum _{k\in U_h}{y}_k}\mathrm{,}h\in \left\{F\mathrm{,}M\right\}\mathrm{,}$$

et peuvent être estimées par

$${\widehat{\overline{Y}}}_h\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_h}{d}_k{y}_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_h}{d}_k}}\mathrm{,}h\in \left\{F\mathrm{,}M\right\}\mathrm{.}$$

En outre, supposons que, pour chaque $k^{\text{e}}$ individu dans l’un ou l’autre des deux sous-échantillons, il existe un vecteur de $p$ variables auxiliaires désigné par

$$x_k\mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>}{\left(x_{k1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{kj}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{kp}\right)}^{ㄒ}\in {ℝ}^p\mathrm{.}$$

Ce vecteur est supposé connu pour chaque unité sélectionnée dans l’échantillon. Les variables auxiliaires contiennent certaines caractéristiques de l’individu, par exemple l’âge, le niveau d’études ou le niveau d’ancienneté. Il peut exister des variables qualitatives ou quantitatives, de sorte que $x_{kj}$ peut être une variable catégorielle ou une quantité. En outre, supposons que la première variable auxiliaire est une constante, c’est-à-dire $x_{k1}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}$ pour tout $k\in U\mathrm{.}$

Les totaux de ces variables auxiliaires au niveau de la sous-population sont donnés par

$$X_h\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in U_h}{x}_k}\mathrm{,}h\in \left\{F\mathrm{,}M\right\}\mathrm{.}$$

En utilisant les poids $d_k$ définis plus haut, ces deux totaux peuvent être estimés par

$${\widehat{X}}_h\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in S_h}{d}_k{x}_k}\mathrm{,}h\in \left\{F\mathrm{,}M\right\}\mathrm{.}$$

Les vecteurs des valeurs moyennes peuvent être estimés de manière analogue. Les valeurs moyennes au niveau des sous-populations sont données par

$${\overline{X}}_h\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N_h}{\displaystyle \sum _{k\in U_h}{x}_k}\mathrm{,}h\in \left\{F\mathrm{,}M\right\}\mathrm{,}$$

et estimées par

$${\widehat{\overline{X}}}_h\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_h}{d}_k{x}_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_h}{d}_k}}\mathrm{,}h\in \left\{F\mathrm{,}M\right\}\mathrm{.}(2.1)$$

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