Décomposition des inégalités salariales selon le sexe par calage : application à l’Enquête suisse sur la structure des salaires
Section 4. La méthode DFL pondérée

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4.1  La méthode

La méthode proposée par DiNardo et coll. (1996) fait appel à une fonction de repondération au moyen de laquelle la distribution des caractéristiques des femmes est rendue similaire à la distribution des caractéristiques des hommes. La distribution repondérée est la distribution contrefactuelle des caractéristiques des femmes. La méthode DFL est présentée en utilisant les poids de sondage, afin de tenir compte du plan de sondage.

La fonction de repondération est égale à

$$\psi \left(x_k\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\mathrm{Pr}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>}1|x_k\right)/\mathrm{Pr}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}\right)}{\mathrm{Pr}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>}0|x_k\right)/\mathrm{Pr}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}\right)}\mathrm{,}$$

où $D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ si l’individu $k$ est un homme et $D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}$ sinon, et $x_k$ est le vecteur des caractéristiques observées pour l’individu $k.$ Manifestement, $\mathrm{Pr}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>}1|x_k\right)$ et $\mathrm{Pr}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>}0|x_k\right)$ doivent être estimées. Pour ce type d’estimation, DiNardo et coll. (1996) ont proposé d’utiliser un modèle logit ou probit. En se servant de l’information provenant de l’échantillon,

$$\widehat{\psi }\left(x_k\right)\mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>}\frac{\widehat{\mathrm{Pr}}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>}1|x_k\right)/\widehat{\mathrm{Pr}}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}\right)}{\widehat{\mathrm{Pr}}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>}0|x_k\right)/\widehat{\mathrm{Pr}}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}\right)}.(4.1)$$

En utilisant le facteur de repondération, la moyenne contrefactuelle des salaires des femmes est estimée par

$${\widehat{\overline{Y}}}_{F|M}^{\text{DFL}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\widehat{\psi }\left(x_k\right)y_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\widehat{\psi }\left(x_k\right)}}\mathrm{,}(4.2)$$

et les moyennes contrefactuelles des caractéristiques des femmes sont estimées par

$${\widehat{\overline{X}}}_{F|M}^{\text{DFL}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\widehat{\psi }\left(x_k\right)x_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\widehat{\psi }\left(x_k\right)}}.(4.3)$$

Le facteur de repondération estimé défini en l’équation (4.1) sera égal à

$$\widehat{\psi }\left(x_k\right)\mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>}\widehat{a}\text{exp}\left(x_k^{ㄒ}\widehat{\gamma }\right)\mathrm{,}$$

où $\widehat{\gamma }$ est l’estimation de $\gamma$ d’après l’échantillon en utilisant la vraisemblance empirique et $\widehat{a}$ est le ratio des proportions estimées de femmes et d’hommes. Il est donné par :

$$\widehat{a}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\widehat{\mathrm{Pr}}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 0}\right)}{\widehat{\mathrm{Pr}}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_M}{d}_k}}\mathrm{.}$$

Puisque la méthode DFL est présentée en tenant compte des poids de sondage, le facteur de repondération ${\psi }_k$ sera multiplié par $d_k\mathrm{,}k\in S_F.$ Nous appellerons ce facteur résultant « facteur DFL pondéré ». La moyenne contrefactuelle des salaires estimée des femmes peut être réexprimée sous la forme

$${\widehat{\overline{Y}}}_{F|M}^{\text{DFL}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\widehat{\psi }\left(x_k\right)y_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\widehat{\psi }\left(x_k\right)}}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\exp \left(x^{ㄒ}\widehat{\gamma }\right)y_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\exp \left(x^{ㄒ}\widehat{\gamma }\right)}}.(4.4)$$

Les moyennes contrefactuelles des caractéristiques des femmes sont estimées par

$${\widehat{\overline{X}}}_{F|M}^{\text{DFL}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\widehat{\psi }\left(x_k\right)x_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\widehat{\psi }\left(x_k\right)}}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\exp \left(x^{ㄒ}\widehat{\gamma }\right)x_k}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in S_F}{d}_k\exp \left(x^{ㄒ}\widehat{\gamma }\right)}}.$$

En utilisant le facteur de repondération, les coefficients contrefactuels dans l’échantillon de femmes sont donnés par

$${\beta }_F^{\text{DFL}}\mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>}{\left({\displaystyle \sum _{k\in U_F}\psi \left(x_k\right)x_k{x}_k^{ㄒ}}\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{k\in U_F}\psi \left(x_k\right)x_k{y}_k}\mathrm{,}$$

et estimés par

$${\widehat{\beta }}_F^{\text{DFL}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k\widehat{\psi }\left(x_k\right)x_k{x}_k^{ㄒ}}\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{k\in S_F}{d}_k\widehat{\psi }\left(x_k\right)x_k{y}_k}.(4.5)$$

Les coefficients susmentionnés doivent être calculés, parce que, sous la même condition que dans le résultat 1, la moyenne contrefactuelle des salaires des femmes définie dans (4.2) est donnée par

$${\widehat{\overline{Y}}}_{F|M}^{\text{DFL}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\overline{X}}}_{F|M}^{{\text{DFL}}^{ㄒ}}{\widehat{\beta }}_F^{\text{DFL}}\mathrm{.}$$

La formule de la décomposition BO peut maintenant être exprimée sous la forme

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\overline{Y}}}_M-{\widehat{\overline{Y}}}_F\hfill & \mathrm{<mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext>=</mo>}\left({\widehat{\overline{Y}}}_{F|M}^{\text{DFL}}-{\widehat{\overline{Y}}}_F\right)+\left({\widehat{\overline{Y}}}_M-{\widehat{\overline{Y}}}_{F|M}^{\text{DFL}}\right)\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\left({\widehat{\overline{X}}}_{F|M}^{{\text{DFL}}^{ㄒ}}{\widehat{\beta }}_F^{\text{DFL}}-{\widehat{\overline{X}}}_F^{ㄒ}{\widehat{\beta }}_F\right)+\left({\widehat{\overline{X}}}_M^{ㄒ}{\widehat{\beta }}_M-{\widehat{\overline{X}}}_{F|M}^{{\text{DFL}}^{ㄒ}}{\widehat{\beta }}_F^{\text{DFL}}\right)\mathrm{,}(4.6)\hfill \end{array}$$

où ${\widehat{\beta }}_M$ et ${\widehat{\beta }}_F$ sont définis dans (3.1). Le premier terme de l’équation (4.6) est l’effet de composition et le second, l’effet de structure.

4.2  Décomposition plus poussée de l’effet de structure

Comme le soulignent Fortin et coll. (2011), l’objectif du facteur de repondération DFL est de rendre la distribution des caractéristiques des femmes identique à celle des hommes. Cela implique que les moyennes des variables auxiliaires dans les deux groupes doivent être égales. Or, cela n’est pas le cas pour la méthode DFL. En effet,

$${\widehat{\overline{X}}}_{F|M}^{\text{DFL}}<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>\ne <mtext>\hspace{0.17em}</mtext>{\widehat{\overline{X}}}_M(4.7)$$

(voir, par exemple, Fortin et coll. 2011; Donzé, 2013). Le facteur de repondération n’arrive donc pas à faire concorder parfaitement les deux distributions.

L’effet de structure dans l’équation (4.6) peut être subdivisé en les éléments suivants

$$\left({\widehat{\overline{X}}}_M^{ㄒ}{\widehat{\beta }}_M-{\widehat{\overline{X}}}_{F|M}^{{\text{DFL}}^{ㄒ}}{\widehat{\beta }}_F^{\text{DFL}}\right)\mathrm{<mo>=<mtext>\hspace{0.17em}</mtext></mo>}{\widehat{\overline{X}}}_M^{ㄒ}\left({\widehat{\beta }}_M-{\widehat{\beta }}_F^{\text{DFL}}\right)+\left({\widehat{\overline{X}}}_M-{\widehat{\overline{X}}}_{F|M}^{\text{DFL}}\right){\widehat{\beta }}_F^{\text{DFL}}\mathrm{,}(4.8)$$

où ${\widehat{\overline{X}}}_{F|M}^{\text{DFL}}$ et ${\widehat{\beta }}_F^{\text{DFL}}$ sont définis dans les équations (4.3) et (4.5), respectivement (Fortin et coll. 2011). Le premier terme du deuxième membre de l’équation (4.8) est l’effet pur et le deuxième, l’effet résiduel ou erreur totale de repondération (Fortin et coll. 2011). L’effet pur est la part inexpliquée réelle de l’écart salarial. L’effet résiduel contient l’inadéquation du modèle, autrement dit, ce que le facteur de repondération n’a pas réussi à faire concorder entre les distributions des caractéristiques des hommes et des femmes. Cette méthode permet de construire une distribution contrefactuelle des salaires. Cette nouvelle distribution peut alors être comparée aux distributions observées des salaires des femmes et des hommes. L’inconvénient de la méthode est qu’il peut arriver qu’au moins une caractéristique soit un bon prédicteur du sexe (par exemple, le secteur économique). Cette situation implique que $\mathrm{Pr}\left(D_{Mk}\mathrm{<mo>=</mo>}1|x_k\right)$ peut s’approcher de 1 et que le facteur de repondération prendra une grande valeur (Fortin et coll. 2011). Cela mène de toute évidence à une grande variance de ce facteur, comme nous le montrerons à la section 8.

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