Un exemple : Terre-Neuve-et-Labrador et l'Ontario

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Avant de présenter les résultats globaux, nous illustrons à la présente section une comparaison du faible revenu dans deux provinces, Terre-Neuve-et-Labrador et l'Ontario, en utilisant la méthode décrite plus haut. Les comparaisons pour d'autres paires de provinces sont examinées de la même façon. À la figure 3, nous traçons les deux fonctions de répartition pour Terre-Neuve-et-Labrador et l'Ontario, respectivement, où le revenu est corrigé pour tenir compte des besoins et des prix régionaux. Nous pouvons obtenir les taux de faible revenu selon le seuil de faible revenu (SRF) en traçant un SFR standardisé (15 352 $) sur l'axe des x. Les valeurs correspondantes de y confirment l'information de la figure 1, c'est-à-dire que le taux de faible revenu est égal à 13,2 % à Terre-Neuve-et-Labrador et à 10,8 % en Ontario. Toutefois, fait plus important, la figure 3 révèle immédiatement l'inconvénient du SFR, parce que la réponse à la question « Où le niveau de faible revenu est-il le plus élevé? » dépend de manière cruciale de l'endroit où est tracé le seuil de faible revenu. En effet, dans cette comparaison, le classement par rang peut aboutir à un résultat entièrement opposé si l'on fixe le seuil de faible revenu à une valeur inférieure à 10 000 $ de revenu équivalent.

Tests de dominance stochastique sur le domaine complet de la distribution du faible revenu

La tâche consiste donc ici à faire des inférences statistiques afin de vérifier si la prévalence du faible revenu diffère significativement entre deux régions. Les tests de dominance stochastique sont d'abord effectués en couvrant entièrement la queue inférieure de la distribution du revenu (c.-à-d. pour toutes les valeurs possibles de seuil de faible revenu comprises entre 0+ $ et 20 000 $). Il convient de souligner que les statistiques de test sont calculées à chaque valeur de x observée dans l'échantillon. À titre d'exemple, au tableau 1, nous représentons uniquement une grille de 20 seuils de faible revenu, qui s'étendent de 1 000 $ à 20 000 $ à intervalle de 1 000 $. Nous donnons les taux de faible revenu estimés et leurs erreurs-types asymptotiques pour les deux provinces, ainsi que la statistique t de la différence DSA (x) -DB pour chacun de ces 20 points ¹³. Au seuil de signification de 5 %, le tableau 1 indique que Terre-Neuve-et-Labrador possède un taux de faible revenu plus faible que l'Ontario pour toutes les valeurs de x inférieures à 8 000 $ (la borne estimée est 8 416 $), tandis que l'Ontario domine Terre-Neuve-et-Labrador pour les seuils de faible revenu supérieurs à 13 000 $ (la borne estimée est 12 366 $)¹⁴. Puisque les deux distributions se coupent dans l'intervalle d'intérêt et que les statistiques t minimales indiquent que chaque province domine l'autre sur certains domaines de x au seuil de signification choisi, il est impossible de conclure à la dominance stochastique du premier ordre.

Comme nous ne pouvons pas tirer de conclusion catégorique pour un test du premier ordre, nous procédons à un test de dominance du deuxième ordre qui est axé sur la mesure de l'écart de faible revenu. La figure 4 présente des courbes de déficit du revenu par rapport au seuil de faible revenu dans lesquelles, pour tout seuil de faible revenu donné x, la valeur y représente l'écart de faible revenu proportionnel moyen (défini par le pourcentage de x). C'est donc dire qu'un point (y, x)=(0,06, 20 000) dans une courbe de déficit indique que la distance moyenne sous la courbe de faible revenu est de 1 200 $ (20 000*,06) pour la population, si le seuil de faible revenu est établi à 20 000 $. Comme les courbes d'incidence, les deux courbes de déficit se recoupent à x autour de 15 000 $. La statistique de test fondée sur le ratio t minimal au seuil de signification de 5 % montre une dominance du deuxième ordre de Terre-Neuve-et-Labrador sur l'Ontario pour les valeurs de x inférieures à 11 424 $, mais une dominance de l'Ontario sur Terre-Neuve-et-Labrador pour x > 18 470 $. Par conséquent, la dominance du deuxième ordre n'est pas réalisée.

Pour procéder à un test de dominance du troisième ordre, nous traçons les courbes de gravité du faible revenu à la figure 5, où la valeur y correspond à l'écart de faible revenu proportionnel moyen au carré. Cette mesure tient compte de l'inégalité entre les personnes pauvres, grâce à l'attribution de poids inégaux à la population pauvre, les poids correspondant aux écarts de faible revenu proportionnels proprement dits. En élevant au carré l'écart, la comparaison du faible revenu entre ces deux provinces devient plus claire, la courbe de Terre-Neuve-et-Labrador se situant maintenant en dessous de celle de l'Ontario pour toutes les valeurs de x < à 14 684 $, au seuil de 5 %, sans renversement pour toutes les autres valeurs de x < = 20 000 $. Cela n'est pas surprenant, étant donné que cette mesure donne plus de poids aux plus pauvres des pauvres, l'Ontario semblant compter une proportion plus élevé de personnes pauvres au bas de la distribution. Par conséquent, nous concluons que Terre-Neuve-et-Labrador a une plus faible prévalence du faible revenu que l'Ontario, du fait de la dominance du troisième ordre de Terre-Neuve-et-Labrador sur l'Ontario sur le domaine (0 $+, 14 684 $).

L'exercice révèle aussi la sensibilité des mesures de faible revenu utilisées. En fait, il montre qu'il est impossible d'obtenir un classement des mesures de la pauvreté (voir Zheng 2000) quand on utilise le SFR. Autrement dit, sous le SFR, l'Ontario est considérée comme ayant une plus faible prévalence du faible revenu que Terre-Neuve-et-Labrador si l'on s'en tient au taux de faible revenu au seuil de 5 %; ensuite, le classement devient plus ambigu pour la mesure de l'écart de faible revenu et est inversé dans le cas de la mesure du carré de l'écart de faible revenu.

Tests de dominance stochastique sur un domaine restreint

Notons que les relations de dominance susmentionnées pourraient ne pas tenir si l'intervalle d'intérêt est redéfini sur un domaine restreint [zmin, zmax], plutôt que sur l'étendue complète de la queue inférieure de la distribution du revenu [0, zmax]. Rappelons que les deux distributions se coupent autour de 10 000 $. Au seuil de signification de 5 %, Terre-Neuve-et-Labrador domine l'Ontario pour les valeurs de x inférieures à 8 416 $ et l'Ontario domine Terre-Neuve-et-Labrador pour les valeurs de x supérieures à 12 366 $. Cela signifie que nous pouvons effectivement aboutir à la conclusion fort différente de la dominance du premier ordre de l'Ontario sur Terre-Neuve-et-Labrador pour tout x > 12 366 $, si la borne inférieure d'intérêt est fixée au-delà de 8 416 $.

Ici, le défi consiste à choisir une borne inférieure raisonnable où les statistiques de test doivent être calculées. Dans le présent document, nous considérons un choix arbitraire de 5 000 $. Même si cette valeur n'a pas vraiment de sens comme « seuil de pauvreté correspondant au minimum nécessaire à la survie », nous le choisissons parce que la valeur est suffisamment faible pour rendre nos comparaisons plus robustes, mais suffisamment grande pour éviter les problèmes d'observations faibles et d'erreurs de mesure qui dominent habituellement dans la queue inférieure de la distribution. Étant donné le domaine d'intérêt restreint, le résultat du test (la statistique t minimale au seuil de signification de 5 %) mène encore à la conclusion que Terre-Neuve-et-Labrador domine stochastiquement l'Ontario dans les conditions de troisième ordre sur l'intervalle (5 000 $, 14 684 $) avec une borne inférieure déclarée censurée à 5 000 $.

L'exemple simple qui précède démontre que les classements par rang des taux de faible revenu fondés sur les indicateurs de seuil de faible revenu utilisés couramment ne sont pas robustes, parce que ce genre de comparaison ne classe les taux de faible revenu que pour un seul seuil de faible revenu et qu'un résultat contradictoire pourrait être obtenu en choisissant des seuils de faible revenu différents. Cet exemple qui s'appuie sur l'approche par dominance stochastique montre que les deux distributions du revenu peuvent être classées en utilisant une grande gamme de seuils de faible revenu possibles. Nous montrons aussi que le classement des distributions peut être altéré si l'on émet l'hypothèse de différents domaines d'intérêt. En fait, puisque les statistiques t sont calculées à chaque point de l'échantillon, nous pouvons obtenir les bornes inférieure/supérieure pour la dominance à un certain seuil de signification en utilisant l'approche de la statistique t minimale. Celle-ci nous permet de poursuivre les vérifications jusqu'à ce que nous atteignions les valeurs minimales/maximales de seuils de faible revenu jusqu'auxquelles nous pouvons aller afin de classer les taux de faible revenu dans les deux provinces.

Le choix de l'indice du coût de la vie importe-t-il?

Aux figures 6, 7, 8, nous répétons le même exercice que précédemment, mais en utilisant l'indice du coût de la vie basé sur la mesure fondée sur la panier de consommation (MPC) comme facteurs d'échelle pour calculer le revenu équivalent¹⁵. Nous continuons d'utiliser l'échelle d'équivalence du SFR pour l'ajustement en fonction de la composition de la famille. Contrairement aux constatations antérieures, la relation de dominance ne peut pas être établie entre Terre-Neuve-et-Labrador et l'Ontario lorsque l'intervalle d'intérêt couvre toutes les valeurs possibles comprises entre 0 et 20 000 $. Il est évident, lorsqu'on examine les graphiques, que les deux courbes de densité se recoupent pour toutes les conditions du premier, du deuxième et du troisième ordres et que chaque province domine l'autre en ce qui a trait aux faibles revenus à différents intervalles de la distribution. Par exemple, les courbes de gravité du faible revenu montrent une dominance du troisième ordre de l'Ontario sur Terre-Neuve-et-Labrador pour les seuils de faible revenu supérieurs à 14 358 $ au seuil de signification de 5 %, mais aussi un résultat entièrement opposé pour les seuils de faible revenu inférieurs à 9 091 $. Il s'avère donc que les classements selon le faible revenu sont sensibles au choix des facteurs d'échelle liés au coût de la vie. Toutefois, il convient de souligner que les deux courbes d'incidence du faible revenu se coupent à une valeur nettement plus faible de x quand on utilise l'indice du coût de la vie fondé sur la MPC. En effet, nous n'observons pas d'effet de renversement au seuil de signification de 5 % jusqu'à x< 6 000 $. Par conséquent, nous pourrions obtenir une dominance du premier ordre restreinte de l'Ontario sur Terre-Neuve-et-Labrador pour les seuils de faible revenu compris entre 8 430 $ et 20 000 $, si l'intervalle d'intérêt est fixé à une valeur supérieure à 6 000 $.

Le choix de l'échelle d'équivalence importe-t-il?

Un argument comparable concernant la robustesse peut s'appliquer au choix de l'échelle d'équivalence. Pour examiner la situation, nous recalculons le revenu équivalent en utilisant deux autres échelles d'équivalence, qui sont la « racine carrée de la taille de la famille » et l'« échelle modifiée de l'OCDE »¹⁶. Au seuil de signification de 5 %, les résultats (non présentés) ressemblent beaucoup à ceux du cas de référence. Ils mènent à la conclusion d'une dominance du troisième ordre de Terre-Neuve-et-Labrador sur l'Ontario si les statistiques de test sont calculées sur le domaine complet. Pour la dominance restreinte, les résultats mènent à la conclusion d'une dominance du premier ordre de l'Ontario sur Terre-Neuve-et-Labrador pour les seuils de faible revenu supérieurs à 10 471 $ (comparativement à 12 366 $ pour le modèle du cas de base). Les classements selon la prévalence du faible revenu paraissent donc généralement moins sensibles, du moins dans le présent exemple, au choix des échelles d'équivalence.

Concept relatif de faible revenu

Comment le passage d'un concept absolu à un concept relatif de faible revenu affecte-t-il les classements des profils de faible revenu? Pour répondre à cette question, nous normalisons le revenu équivalent pour chaque individu en le divisant par le revenu provincial médian pertinent. Nous continuons de corriger le revenu en fonction des besoins et des différences de prix en utilisant les facteurs fondés sur le SFR. Le seuil de faible revenu maximal possible est fixé à 70 % du revenu provincial médian. Pour un cas restreint, nous calculons les statistiques de test pour une gamme de seuils de faible revenu allant de 15 % à 70 % du revenu médian estimé, ces valeurs étant considérées comme des bornes inférieure et supérieure raisonnables pour les seuils de faible revenu. La figure 9 révèle que les courbes des deux fonctions de répartition ont une allure assez semblable, sauf à la partie inférieure de la distribution. Selon les valeurs de la statistique t maximale présentées au tableau 4, Terre-Neuve-et-Labrador exerce une dominance du premier ordre sur l'Ontario pour les seuils de faible revenu inférieurs à 34,2 % du revenu médian pertinent. Il n'est pas nécessaire que nous recherchions des conditions d'ordre plus élevé, parce qu'aucun résultat inverse n'est découvert dans l'intervalle d'intérêt au seuil de signification choisi.

Comparativement aux résultats pour le cas de base, le présent exercice illustre la sensibilité au choix d'un concept absolu ou relatif de seuils de faible revenu. Dans le deuxième cas, l'Ontario ne domine jamais stochastiquement Terre-Neuve-et-Labrador pour aucune gamme de seuils de faible revenu. Il convient aussi de souligner que les classements des profils de faible revenu d'après le concept relatif sont moins affectés par le choix de l'indice du coût de la vie (résultats non présentés), parce que les individus sont maintenant comparés à la norme (% de la médiane) dans la province de résidence. Donc, les différences de prix interprovinciales sont sans pertinence et seules les différences intraprovinciales importent.