3 Cadre analytique
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Nous avons adopté pour l'étude la méthodologie employée par Gottschalk et Moffitt (1994, p. 254), qui comprend une méthode de décomposition de la variance au moyen de données longitudinales. Le point de départ commun est la variance (du logarithme) des gains d'un travailleur au cours du temps. Considérons les variables suivantes :
y it = logarithme des gains de la personne i durant l'année t;
T i = nombre d'années pour lesquelles des données sur les gains sont observées pourla personne i, i = 1, ..., N
et 
où la barre au-dessus du symbole de la variable indique
une moyenne d'échantillon. T est donc le
nombre moyen d'années pour lesquelles des
données surles gains existent pour
l'échantillon de N travailleurs. Il
s'ensuit que 
est la moyenne (du logarithme) des
gains surles
années de déclaration de gains du travailleur i, et que
est le niveau moyen global (du
logarithme) des gains sur l'ensemble des travailleurs dans
l'ensemble de données. La mesure de la variation
totale des gains utilisée est alors une estimation sans
biais de la variance totale :
Cette expression reflète à la fois la variation des gains de chaque travailleur au cours du temps et la variation des gains d'un travailleur à l'autre. On peut lancer le processus de décomposition en définissant une mesure de la variance transitoire, ou instabilité temporaire des gains, de la forme :
La quantité susmentionnée représente la moyenne, sur l'ensemble des travailleurs, de la variance entre périodes (du logarithme) des gains. La mesure qui figure entre crochets est une estimation (sans biais) de la volatilité ou instabilité d'une année sur l'autre (du logarithme) des gains du travailleur i. L'étape suivante consiste à définir une mesure de la variance persistante ou permanente des gains de la forme:
Quoique l'expression (3) entière soit moins intuitive que l'expression (2), le terme de gauche reflète essentiellement la variation des gains (dont on a déjà calculé la moyenne au cours du temps pour chaque travailleur) pour l'ensemble des travailleurs compris dans l'échantillon. On peut alors montrer que la variance totale est égale à la somme de la variance transitoire et de la variance permanente, ce qui donne une décomposition commode de la variance totale. En utilisant la même notation que précédemment, nous avons :
à condition que Ti= T pour tout i, ce qui signifie que le nombre d'observations chronologiques est le même pour tous les individus contenus dans l'échantillon. Cette condition s'applique tout au long de l'analyse.
Lors de l'application des formules (1), (2) et (3), yit est remplacé par les gains (en logarithme) ajustés en fonction du cycle de vie, que nous obtenons comme suit :
où ln Yit représente les gains (en logarithme) réels déclarés et ( ln Yit ) estimé est le logarithme des gains prévus d'après l'équation de régression par les moindres carrés ordinaires du logarithme des gains sur une quartique de l'âge; yait est donc généré sous forme du logarithme des gains, net des effets du cycle de vie associés à l'âge. Par conséquent, dans l'équation (2), la mesure entre crochets traduit la variance ajustée en fonction du cycle de vie (du logarithme) des gains, ou la variation (du logarithme) des gains autour de la trajectoire des gains au cours du cycle de vie du travailleur. L'expression (2) complète reflète la moyenne sur l'ensemble des travailleurs de cette variabilité des gains. De même, la formule (3) reflète essentiellement les différences de niveau des trajectoires du logarithme des gains au cours du cycle de vie entre les travailleurs. Puisque nous n'estimons qu'une seule régression (du logarithme) des gains au cours du cycle de vie pour l'ensemble des travailleurs dans chacun de nos échantillons, les travailleurs très spécialisés, dont la trajectoire des gains est élevée, auront une série de grandes valeurs positives de yait et les travailleurs peu spécialisés, dont la trajectoire des gains est faible, auront une série de grandes valeurs négatives de yait . La variance transitoire reflète la fluctuation des gains autour des trajectoires au cours du cycle de vie des individus, tandis que la variance permanente reflète la variation plus persistante du logarithme des gains entre les travailleurs ayant des trajectoires de gains au cours du cycle de vie de niveau différent (c.-à-d. entre des travailleurs dont le niveau de compétence diffère).
Les formules (1) à (4) peuvent également être interprétées comme un modèle à effets aléatoires, ou à composantes de l'erreur, de la structure de l'erreur dans l'équation de régression du logarithme des gains en fonction de l'âge tenant compte du cycle de vie (voir Johnston, 1984, p. 400). La composante permanente de la variation du logarithme des gains est la « composante inter (travailleurs) » de la variation, et la composante transitoire est la « composante intra » (c.-à-d. au cours du cycle de vie d'un travailleur donné) de la variation.
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